Перспектива и проективная геометрия
жүктеу/скачать 0,73 Mb.
|
Перспектива и проективная геометрия
| Теорема Брианшона
Прямые, соединяющие противоположные вершины шестиугольника, стороны которого касаются конического сечения, пересекаются в одной точке. Интересно теперь поставить такой вопрос: что является образом коники при полярном преобразовании? Действительно, точки переходят в прямые, прямые – в точки, а во что перейдет коника? Совершим сначала полярное преобразование коники относительно себя самой. Каждая точка коники перейдет в свою поляру – касательную к конике. Получается, что коника, которая была множеством точек, станет теперь множеством прямых. Это множество называют оболочкой коники. Рассмотрим два пучка, порождающие конику. Между ними установлено проективное соответствие. В результате полярного преобразования прямые каждого пучка перейдут в точки одной прямой. Между точками двух прямых также будет установлено проективное соответствие, поскольку полярное преобразование сохраняет сложное отношение. Точки пересечения соответственных прямых превратятся в прямые, соединяющие соответственные точки. Как мы только что выяснили, эти прямые являются касательными к конике. Значит оболочку коники можно представить, как множество прямых, соединяющих пары соответственных точек при проективном отображении одной прямой на другую. Принцип двойственности позволяет высказать и более общее утверждение. Рассмотрим две прямые, между точками которых установлено проективное соответствие. Множество прямых, соединяющих соответственные точки, образует оболочку какой-либо коники. Полное доказательство этой теоремы приводить не будем. Вдумчивый читатель может рассмотреть оболочку коники, как центральную проекцию оболочки окружности и доказать двойственный аналог соответствующей теоремы о пучках. Теперь можно сформулировать еще один замечательный двойственный результат. А также:
Рассмотрим теперь проективное отображение прямой а на прямую а', при котором бесконечно удаленная точка одной прямой перейдет в бесконечно удаленную точку другой прямой. Поскольку прямые, соединяющие соответственные точки, являются касательными к коническому сечению, то среди этих касательных будет и бесконечно удаленная прямая. Коника, касающаяся бесконечно удаленной прямой, называется параболой. Прямые а и а' – касательные. Обозначим точки касания М и N. Возьмем теперь еще какую-нибудь касательную к параболе, которая соединяет соответственные точки В и В'. Пусть прямые а и а' пересекаются в точке S. При отображении одной прямой на другую точка М переходит в S, точка S – в N, точка В – в В', бесконечно удаленная точка Х – в бесконечно удаленную точку Х'. Значит, (MS, BX) = (SN, B'Х'). Но . Следовательно, , то есть касательная к параболе делит отрезки двух других касательных в одном и том же отношении (в противоположных направлениях). Отложим теперь на сторонах какого-либо угла два отрезка, начиная от вершины, и поделим каждый на n равных частей. Соединяя точки, которые делят отрезки в одном и том же отношении (см. чертеж), получаем семейство касательных к параболе. жүктеу/скачать 0,73 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|