Перспектива и проективная геометрия

Это отображение действительно является проективным, поскольку сложное отношение четырех точек прямой равно сложному отношению четырех их поляр.

Кроме того, в силу принципа двойственности, если поляра точки А проходит через точку А', то и поляра точки А' проходит через точку А. Трехвершинник SАА' – автополярный. Значит, при данном отображении точка А' переходит обратно в точку А. Отображения, при которых точки обмениваются местами, называют инволюциями. Поэтому, отображение, которая коника порождает на прямой, называют инволюцией сопряженных точек.

Если прямая s пересекает конику, то инволюция меняет местами точки в парах, которые гармонически разделяют точки пересечения. Сами точки пересечения остаются на месте. Если же коника и прямая s не пересекаются, то инволюция не имеет неподвижных точек.

Возвращаясь к двум касающимся коникам – исходной и порожденной, сформулируем следующее утверждение:

Утверждение является вполне очевидным, если ось отображения пересекает исходную конику. Действительно, в этом случае инволюция однозначно задается двумя неподвижными точками. Для любой точки А прямой s ее образ строится, как четвертая гармоническая точка к ней самой и двум неподвижным точкам.

Заметим сначала, что если стороны четырехвершинника касаются коники, то его диагонали образуют автополярный трехвершинник, то есть каждая диагональ является полярой противоположной вершины. Применим это утверждение к двум коникам.

Возьмем на оси отображения любую точку М и проведем прямую MS, точки ее пересечения с коникой обозначим А' и В'. Построим теперь точки А, В, А'', В'' (обозначения предыдущей теоремы). Получаем, что диагональ четырехсторонника, описанного вокруг порожденной коники, является полярой точки М. Та же диагональ SM' будет полярой точки М и относительно исходной коники. Это следует из того, что она проходит через точки пересечения прямых АА' и В'В'', ВВ' и А'А'', каждая из которых лежит на поляре.