Перспектива и проективная геометрия

Центральное отображение

Возьмем любую точку S, не лежащую на конике и рассмотрим пучок с вершиной S. Если прямая пучка пересекает конику в точках А и А', то будем считать, что точки А и А' переходят друг в друга при центральном отображении с центром S. Если же прямая пучка касается коники в точке Р, то будем считать, что точка Р переходит сама в себя.

Докажем, что центральное отображение является проективным, а его ось – это поляра точки S.

Заметим сначала, что если прямые АА' и ВВ' пересекаются в полюсе S, то точки пересечения прямых АВ', А'В и АВ, А'В' лежат на поляре s.

Построим теперь отображение, заданное парой соответственных точек А, А' и осью s. Для любой точки В ее образ В' строится так:

Построим точку Р пересечения прямой А'В с осью s. потом проведем прямую АР до пересечения с коникой в точке В'. Нетрудно заметить, что поскольку ось s является полярой точки S, то прямая ВВ' проходит через полюс S. Более того, то же самое построение, будучи примененным к точке В', приведет обратно к точке В.

Значит, проективное отображение, заданное парой точек А, А' и осью s, совпадает с центральным отображением с центром S.

Точно так же несложно доказать, что если при проективном отображении коники хотя бы одна пара точек меняется местами, то отображение является центральным. Доказательство можно провести на том же самом чертеже.

Действительно, если точка А' является образом точки А, и одновременно, точка А является образом точки А', то построение точки В' по известной точке В можно вести двумя способами.

Можно строить прямую А'В, находить точку Р ее пересечения с осью, потом проводить прямую АР до пересечения с коникой в точке В'. Но можно идти и в обратном порядке. Построим точку Q пересечения прямой АВ с осью s. потом проведем прямую А'Q до пересечения с коникой в точке В'. Чтобы построение двумя способами привело к одной и той же точке В', прямая АА' должна обязательно проходить через полюс S оси s. Но в этом случае, как мы уже видели, отображение является центральным.

Используя доказанные свойства, решим интересную задачу.

Построим теперь образ точки А' при этой же композиции отображений. По теореме Паскаля мы вернемся обратно в точку А.

Значит, при композиции трех центральных отображений с центрами S, P, Q точки А и А' меняются местами. Следовательно это – центральное отображение. Назовем его центр М.

Последовательное применение всех четырех центральных отображений возвращает любую точку на ее исходное место или, как говорят, является тождественным отображением.

Значит, применяя к любой точке композицию отображений с центрами S и P, или же композицию отображений с центрами М и Q, (в обратном порядке!) будем получать один и тот же результат. Следовательно, осью этой композиции служит как прямая SP, так и прямая МQ. Это и значит, что точка М лежит на прямой, проходящей через точки S, P, Q.

Построим теперь все четыре центральные отображения для двух различных точек А и В. Получаем следующий результат:

Интересно было бы найти «школьное» доказательство этой теоремы для двух четырехугольников, вписанных в окружность.

Можно, конечно же, сформулировать и двойственную теорему. Для этого построим полярное отображение. Вместо вписанных четырехсторонников появятся описанные четырехсторонники, а теорема станет звучать так:

Рассматривая композицию трех произвольных центральных отображений коники на себя, получаем решение следующей задачи

Действительно, задача сводится к тому, чтобы найти неподвижную точку отображения, которое является композицией трех центральных отображений. Для этого достаточно построить образы трех произвольных точек А, В и С при этом отображении, и по трем точкам и их образам А', В' и С' построить ось отображения. Точки пересечения этой оси с коникой и будут неподвижными точками. Каждая из неподвижных точек является вершиной одного из искомых трехсторонников.

К сожалению, чертеж к задаче получается весьма запутанным и перегруженным вспомогательными линиями, так что нет смысла приводить его здесь. Гораздо полезнее построить его самостоятельно.