Перспектива и проективная геометрия
жүктеу/скачать 0,73 Mb.
|
Перспектива и проективная геометрия
Полярное преобразованиеРанее было замечено, что в проективной геометрии в формулировках теорем можно менять местами точки и прямые, сохраняя отношение «инцидентности». То есть вместо слов «прямая, проходящая через точку» подставлять в текст теоремы слова «точка, лежащая на прямой» и т.п. При этом некоторые теоремы вообще не изменяются, а некоторые переходят в другие, двойственные теоремы. Теперь можно указать геометрическое преобразование плоскости, которое точки переводит в прямые, а прямые – в точки. При этом прямой, соединяющей две точки, соответствует точка пересечения двух прямых. Зафиксируем на плоскости произвольную окружность и рассмотрим преобразование, которое каждой точке ставит в соответствие ее поляру, и каждой прямой – ее полюс относительно данной окружности. Это так называемое полярное преобразование. Действительно, если поляры точек А и В проходят через точку М, то поляра точки М проходит через точки А и В. Это и значит, что при полярном преобразовании прямая m, соединяющая точки А и В, переходит в точку М пересечения поляр а и b. Если же прямая m проходит через центр окружности, то поляры точек А и В параллельны или, другими словами, прямые а и b пересекаются в бесконечно удаленной точке. Следовательно, полюсом прямой, проходящей через центр окружности является бесконечно удаленная точка. Полярой центра окружности является бесконечно удаленная прямая. Таким образом каждой точке проективной плоскости соответствует единственная прямая, а каждой прямой – единственная точка, а отношение инцидентности сохраняется. Однако, это еще не все. Ранее мы определяли сложное отношение четырех точек, лежащих на одной прямой и сложное отношение пучка прямых, проходящих через одну точку. Для точек . Для прямых . Если прямые a, b, m, p проходят через точки А, В, М, Р, то (АВ,МР) = (ab, mp). Оказывается, полярное преобразование сохраняет сложное отношение. Теорема Если полюса А, В, М, Р лежат на одной прямой, то их поляры a, b, m, p проходят через одну точку и (АВ, МР) = (ab, mp). Заметим, во-первых, что если точки А, В, М, Р лежат на одной прямой l, то их поляры a, b, m, p проходят через полюс L этой прямой. Сложное отношение точек (АВ, МР) равно сложному отношению прямых (ОА ОВ, ОМ ОР), проходящих через точку О. Осталось заметить, что поляры a, b, m, p соответственно перпендикулярны прямым ОА, ОВ, ОМ, ОР и, следовательно, углы между полярами равны углам между этими прямыми. Это и доказывает утверждение теоремы, поскольку сложное отношение четырех прямых выражается через синусы углов между ними.
жүктеу/скачать 0,73 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|