Практикалық cабақ №1 Тақырыбы: Жиындар. Нақты сандар

2
2
2
2
2
2
2
2
)
y
x
(
y
x
y
x
y
y
y
x
z



















Мысал 5.
 
3
2
y
6
xy
3
x
5
z



болса, 
z
d
2
неге тең болады? 
Шешуі:
Алдымен берілген функцияның екінші ретті дербес туындыларын 
табамыз, олар: 
2
y
18
x
3
y
z
,
y
3
x
10
x
z








y
36
y
z
,
3
y
x
z
,
10
x
z
2
2
2
2
2











Енді 
2
2
2
ydy
36
dxdy
6
dx
10
z
d



. 
Мысал 6.
1
y
3
x
2
z
2
3



функцияның Р(1;2) нүктесінде Ох ӛсімен 120
0
бұрыш 
жасайтын бағыттағы туындысын табыңдар. 
12
y
z
;
y
6
y
z
;
6
x
z
;
x
6
x
z
P
P
2
























, 
2
3
120
sin
sin
;
2
1
120
cos
cos
0
0







. 
Туындыны табамыз:
3
6
3
2
3
12
2
1
6
a
z














. 
Мысал 7.
2
xy
z

функцияның Р(1;1) нүктесіндегі градиентін табу керек. 
Шешуі:
 
Функцияның дербес туындыларын және Р(1;1) нүктесіндегі мәндерін 
есептейміз: 
2
y
z
;
xy
2
y
z
;
1
x
z
;
y
x
z
P
P
2
























. 
Сонда, 




j
2
i
gradz
. 
Мысал 8
.
 
dydx
u
d
dxdy
u
d
2
2

теңдікті тексеру керек, егер:
2
y
x
u

. 
Шешуі:
 
Берілген функцияның дербес туындыларын есептейік 
1
2
2


y
x
y
dx
du
,
x
yx
dy
du
y
ln
2
2

, 


x
y
yx
dydx
u
d
y
ln
1
2
2
1
2
2



,


x
y
yx
dxdy
u
d
y
ln
1
2
2
1
2
2



. 
Осыдан, аралас туындылар 







y
x
,
0
анықталу облысының барлық 
 
y
x
,
нүктелерінде орындалатын 
dydx
u
d
dxdy
u
d
2
2

теңдікке келеміз. 
Аудиториялық жұмысы: Көп айнымалы функциялардың дербес туындыларын 
және дифференциалдарын, күрделі функциялардың дербес туындыларын, бағыт 
бойынша туындыны, жоғарғы ретті туындыларды және дифференциалдарды 
табу:
[8] №№ 3213-3229 (тақ), 3235-3241 (тақ), 3245 а)г), 3256-3260 (жұп), 3269-

3273 (тақ), 3283, 3285, 3288, 3294, 3341. 
Тейлор формуласы:
[8] №№ 3581, 3583, 
3594. 
Үй жұмысы 
№№ 3214-3228 (жұп), 3236-3242 (жұп), 3245 б)в)д), 3257-3261 (тақ), 3270-3274 
(жұп), 3284, 3286, 3289-3295 (тақ), 3346. №№ 3582, 3597. 
Практикалық cабақ №13 
Тақырыбы: Айқындалмаған функцияларды дифференциалдау. 
Мақсаты: Айқындалмаған функциялардың дербес туындыларын және 
дифференциалдарын табу. 
1 - есеп
. 
)
,
(
y
x
z
z

функциясы үшін бірінші және екінші ретті дербес 
туындыларын табу керек, егер
3
3
3
a
xyz
z


. 
Шешім
: 
0
)
,
,
(

z
y
x
F
теңдеуімен анықталған 
z
функциясының дербес 
туындылары 
z
x
x
F
F
z





, 
z
y
y
F
F
z





формулалары арқылы табылады. 
Берілген функция үшін
xy
z
yz
xy
z
yz
z
x







2
2
3
3
3
, 
xy
z
xz
z
y



2
, 
xy
z

2
. 
)
,
(
y
x
z
z

, яғни 
z
функциясы 
x
пен 
y
-ке тәуелді болатынын, ескере отырып, 
екінші ретті дербес туындыларын есептейік 









2
2
2
)
(
)
2
(
)
(
xy
z
y
z
z
yz
z
y
xy
z
z
x
x
xx
3
2
3
2
2
2
2
2
)
(
2
)
(
)
2
(
)
(
xy
z
z
xy
xy
z
y
xy
z
yz
z
yz
xy
z
yz
y
xy
z












, 










2
2
2
)
(
)
2
(
)
)(
(
xy
z
x
z
z
yz
z
y
z
xy
z
z
y
y
xy
3
2
2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
)
(
)
2
(
)
(
2
)
(
xy
z
y
x
xy
z
z
z
xy
z
x
xy
z
xz
yz
xy
z
xyz
z
xy
z
























, 
3
2
3
)
(
2
xy
z
z
yx
z
yy




,
xy
z

2
. 
Аудиториялық жұмысы: Айқындалмаған функциялардың дербес туындыларын 
және дифференциалдарын табу:
[8] №№ 3371, 3375, 3383, 3385, 3390, 3392, 3539, 
3540. 
Үй жұмысы 
№№ 3372, 3384, 3386, 3391, 3543. 
Тақырыбы: Көп айнымалы функцияның экстремумы. 
Мақсаты: Көп айнымалы функцияны экстремумге зерттеу. 
Мысал 1.
 
2
2
4
4
2
y
xy
x
y
x
z





функциясын экстремумге зерттеу керек. 

Шешуі
: 
z
функциясының дербес туындыларын есептейік: 
y
x
x
z
x
2
2
4
3




, 
y
x
y
z
y
2
2
4
3




. Стационар нүктелер 
0
2
2
4
3



y
x
x
, 
0
2
2
4
3



y
x
y
жүйесінен табылады. 
Осы жүйенің үш шешімі бар: 
0
1

x
, 
0
1

y
, 
1
2


x
, 
1
2


y
, 
1
3

x
, 
1
3

y
. 
Локальді экстремумның жеткілікті шарттын тексеру үшін екінші ретті дербес 
туындыларды есептейік 
2
12
2




x
z
A
xx
, 
2




xy
z
B
, 
2
12
2




y
z
C
yy
, онда 
4
)
2
12
)(
2
12
(
)
,
(
2
2
2







y
x
B
AC
y
x
. 
0
)
0
,
0
(


болғандықтан экстремум бар болатынын анықтау үшін 
)
0
,
0
(
нүктесіндегі 
z
функциясының ӛсімшесін қарастырайіқ: 
)
0
,
0
(
)
,
(
)
0
,
0
(
z
k
h
z
z



. 
Егер 
h
k

болса, мұндағы 
2
0


h
, онда 


0
2
2
)
0
,
0
(
2
2




h
h
z
. Егер де 
h
k


болса, мұндағы 
0

h
, онда 
0
2
)
0
,
0
(
4



h
z
. 
Сонымен, 
)
0
,
0
(
z

ӛсімшесі әртүрлі таңбалы мәндерді қабылдайды, сондықтан 
0
1

x
, 
0
1

y
болғанда экстремум жоқ. 
)
1
,
1
(


және 
)
1
,
1
(
нүктелерінде 
0
96



, сонымен бірге 
0
10


A
болғандықтан осы нүктелер функцияның минимум нүктелері және
2
min


z
. 

жүктеу/скачать 0,91 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: