Предположения и опровержения Рост научного знания

VII

Мы не знаем даты доказательства иррациональности квадратного корня из двух или даты, когда это открытие получило известность. Хотя и существует традиция приписывать его Пифагору (шестой век до н.э.) и некоторые авторы³⁵ называют его «теоремой Пифагора», трудно сомневаться в том, что это открытие не было сделано и, во всяком случае, не было известно до 450 г. до н.э., скорее даже до 420 г. Неясно, было ли оно известно Демокриту. Теперь я склонен считать, что он не знал об этом открытии и что названия двух последних книг Демокрита «Peri alagцn grammцn kai naston» следует переводить как «О нелогичных отрезках и полных телах (атомах)»³⁶ и что эти две книги не содержали каких-либо ссылок на открытие иррациональности³⁷.

Мое убеждение в том, что Демокрит не осознавал проблемы иррациональности, опирается на тот факт, что нет никаких следов, указывающих на то, что он хотел защитить свою теорию от удара, который наносило ей это открытие. Однако этот удар оказался фатальным как для атомизма, так и для пифагорейства. Обе теории исходили из учения о том, что всякое измерение в конечном счете сводится к подсчету естественных единиц, так что каждое измерение должно выражаться числом. Следовательно, расстояние между любыми атомными точками должно состоять из определенного числа атомных расстояний; таким образом, все отрезки должны быть соизмеримы. Однако это оказывается невозможным даже для простого случая расстояний между углами квадрата вследствие несоизмеримости его диагонали d со стороной а.

142

Возвратимся ненадолго к характеристике этого метода натуральных чисел и их соотношений. Превознесение Числа Пифагором оказало плодотворное влияние на развитие научных идей. Это часто, хотя и несколько неопределенно, выражают утверждением о том, что пифагорейцы стимулировали развитие количественного научного измерения. Я же настаиваю на том, что для пифагорейцев все это было скорее счетом, чем измерением. Это был счет чисел, невидимых сущностей, или «природ», которые были числами мельчайших точек. Они знали, что эти мельчайшие точки нельзя сосчитать непосредственно, ибо они невидимы, и что реально мы не считаем Числа или Естественные единицы, а измеряем, т.е. считаем произвольные видимые единицы. Однако измерения они интерпретировали как косвенное раскрытие истинных соотношений Естественных единиц или натуральных чисел.

Метод доказательства Евклидом так называемой «теоремы Пифагора» (Евклид, 1, 47), согласно которому если а есть сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла, образованного сторонами b и с, то

(1) a² = b² + c²,

был чужд духу пифагорейской математики. Ныне считается, что эта теорема была известна уже вавилонянам и доказывалась ими геометрически. Однако ни Пифагор, ни Платон не могли знать геометрического доказательства Евклида (который использовал разные треугольники с общим основанием и высо-

143

(2) а — т² + п²; b = 2тп; с = т² — п².

Однако формула (2) была, по-видимому, неизвестна как Пифагору, так и Платону. Согласно традиции³⁸, Пифагор предложил следующую формулу (полученную из (2) посредством подстановки т = п + 1):

(3) а = 2п (п + 1); b = 2« (п +1); с = 2п + 1.

Ее можно истолковать как гномон квадратных чисел, хотя эта формула является менее общей, нежели формула (2), ибо она не будет верной, например, для 17:8:15. Платону, который улучшил³⁹ формулу Пифагора (3), приписывают другую формулу, которая все-таки еще не равнозначна общему решению (2).

Для иллюстрации разницы между пифагорейским, или арифметическим, методом и геометрическим методом следует упомянуть доказательство Платоном того факта, что квадрат диагонали единичного квадрата (т.е. квадрата со стороной, равной 1) равен удвоенной единице в квадрате. Доказательство заключается в изображении квадрата с диагональю:

а затем в расширении этого изображения следующим образом:

Отсюда искомый результат получается посредством счета. Однако переход от первого рисунка ко второму нельзя обо-

144

сновать посредством арифметического подсчета точек и даже посредством рациональных дробей.

(1) V2 = п/т,

гласящее, что V2 равен рациональной дроби двух натуральных чисел пит, приводит к противоречию. Сначала мы можем предположить, что

(2) только одно из двух чисел пит является четным. Если бы оба числа были четными, то мы всегда могли бы

сократить их на 2 и получить два других числа п' и т', таких что ^п/т = ^п'/т\ и из которых лишь одно могло быть четным. Возведя в квадрат обе части равенства (1), мы получаем:

(3) 2 = п²/т², а из этого получаем:

(4) 2т² = п². Таким образом,

(5) п является четным.

Это означает, что должно существовать такое натуральное число а, что:

(6) п = 2а Теперь из (3) и (6) мы получаем:

(7) 2т² = п²= Аа² из чего следует, что:

(8) т² = 2а² Но это означает, что

(9) т является четным.

Ясно, что (5) и (9) противоречат допущению (2). Таким образом, предположение о том, что существуют два натуральных числа пит, рациональная дробь которых равна V2, приводит к абсурдному выводу. Следовательно, V2 не является рациональной дробью, он «иррационален».

145

В этом доказательстве используется только арифметика натуральных чисел. Следовательно, здесь мы имеем дело с чисто пифагорейскими методами, поэтому не стоит спорить с традицией, приписывающей открытие этого доказательства пифагорейской школе. Однако невероятно, чтобы оно было сделано Пифагором или очень рано, ибо о нем не знал ни Зенон, ни Демокрит. Более того, поскольку оно подрывало основы пифагорейского учения, постольку можно предполагать, что это открытие не было сделано до того, как это учение достигло пика своего влияния, ибо оно должно было содействовать упадку этого учения. Мысль о том, что оно было открыто в пифагорейской школе, но держалось в секрете, представляется мне вполне допустимой. В ее пользу свидетельствует то обстоятельство, что старый термин для слова «иррациональный» — «arrhetos», «непроизносимый» или «не-упоминаемый» — вполне может указывать на скрываемый секрет. Традиция говорит о том, что члены школы, пытавшиеся раскрыть этот секрет, были убиты за предательство⁴⁰. Так или иначе, но трудно сомневаться в том, что осознание существования иррациональных величин (которые, конечно, не считались числами) и возможности доказательства их существования подрывало веру в пифагорейское учение и надежду на то, что из арифметики натуральных чисел можно вывести космологию или хотя бы геометрию.

7. VIII

Платон был очень близок к пифагорейцам и к школе эле-атов, и хотя он, по-видимому, недолюбливал Демокрита, сам он был в некотором роде атомистом. (Атомистическое учение сохранялось в качестве одной из традиций Академии⁴¹.) Это

146

неудивительно, если принять во внимание тесную связь пифагорейства с идеями атомизма. Однако все это оказалось под угрозой благодаря открытию иррациональности. Я полагаю, что главный вклад Платона в науку обусловлен его осознанием проблемы иррациональности и той модификацией пифагорейства и атомизма, которую он предпринял для спасения науки от катастрофы.

Каковы факты? Я попытаюсь кратко суммировать их.

(1) Учение пифагорейцев и атомизм Демокрита существенно опирались на арифметику, т.е. на счет.

(2) Платон подчеркнул катастрофические последствия открытия иррациональности.

(3) Над входом в Академию он написал: «Да не войдет сюда никто, не знающий геометрии». Но геометрия, согласно прямому ученику Платона Аристотелю⁴² и Евклиду, часто говорит о несоизмеримостях и иррациональности в отличие от арифметики, рассматривающей «четное и нечетное» (т.е. целые числа и их отношения).

(4) Вскоре после смерти Платона его школа в «Элементах» Евклида создала произведение, освободившее математику от «арифметического» предположения о соизмеримости и рациональности.

(5) Платон и сам внес вклад в это развитие, в частности, в разработку геометрии твердых тел.

(6) Говоря точнее, в «Тимее» он предложил геометрический вариант ранее чисто арифметической атомной теории — вариант, в котором элементарные частицы (знаменитые платоновские Тела) строились из треугольников, включавших в себя иррациональные квадратные корни из двух и трех. (См. ниже.) Во всех других отношениях он сохраняет идеи пифагорейцев и наиболее важные идеи Демокрита⁴³. В то же время он

147

устраняет пустоту Демокрита, ибо понимает⁴⁴, что движение возможно даже в «заполненном» мире, если его истолковывать наподобие вихрей в жидкости. Таким образом, он сохраняет и некоторые из наиболее важных идей Парменида⁴⁵.

8. IX

148

Но можно ли считать это достижение собственно философским? Не относится ли оно скорее к физике — фактуальной науке или к чистой математике — разделу тавтологичной логики, как считает школа Витгенштейна?

Я полагаю, что теперь мы достаточно ясно можем увидеть, почему достижение Платона (хотя оно, без сомнения, включало в себя физические, логические и смешанные компоненты) было именно философским, почему по крайней мере часть его философии природы и физики сохранилась до сих пор и, я думаю, будет сохраняться в дальнейшем.

У Платона и его предшественников мы находим сознательное построение и изобретение нового подхода к миру и его познанию. Первоначальную теологическую идею объяснения видимого мира с помощью постулируемого невидимого мира™ этот подход преобразует в важнейший инструмент теоретической науки. Эта идея в явном виде была сформулирована Анаксагором и Демокритом⁴⁹ в качестве принципа изучения природы материи или материальных тел. Видимая материя объясняется посредством гипотез, говорящих о невидимом, о невидимой структуре, которая слишком мала, чтобы ее можно было видеть. Платон принимает и обобщает эту идею: изменчивый видимый мир объясняется посредством невидимого мира неизменных «форм» (субстанций, сущностей или «природ»; т.е., как я пытаюсь показать, посредством геометрических образов или фигур).

Является ли эта идея относительно невидимой структуры материи физической или философской? Если физик лишь действует в русле этой теории, если он, возможно неосознанно, принимает ее, побуждаемый к этому собственной проблемной

149

Однако я не буду больше заниматься вопросом о правильном употреблении слова «философия», ибо это — проблема Витгенштейна и очевидно относится к употреблению языка. Здесь мы имеем дело с типичной псевдопроблемой, обсуждение которой не может принести ничего, кроме скуки. Теперь мне хочется добавить несколько слов относительно теории форм или идей Платона, точнее, относительно пункта (6) данного выше списка исторических фактов.

Теорию структуры материи Платона можно найти в «Тимее». Она имеет внешнее сходство с современной теорией твердых тел, истолковывающей их как кристаллы. Физические тела у Платона составлены из невидимых элементарных частиц различного вида. Видом этих частиц обусловлены макроскопические свойства видимой материи. Вид же элементарных частиц, в свою очередь, детерминирован видом плоских фигур, образующих их стороны. Наконец, сами эти плоские фигуры все состоят из двух элементарных треугольников: равнобедренного прямоугольного треугольника (половина квадрата), содержащего квадратный корень из двух, и прямоугольного треугольника (половина прямоугольника), содержащего квадратный корень из трех, т.е. иррациональные величины.

Эти треугольники считаются копиями⁵⁰ неизменных «форм» или «идей». Это означает, что геометрические «формы» включаются в сферу пифагорейских арифметических форм-чисел.

150

Трудно сомневаться в том, что побудительным мотивом этого построения было стремление преодолеть кризис атомизма посредством включения иррациональностей в конечные элементы мира. Как только это было сделано, затруднение, вызванное существованием иррациональных расстояний, исчезло.

Однако Платон не претендовал на доказательство этой теории. Напротив, он отмечал, что принимает эти два треугольника в качестве принципов, «в соответствии с подходом, соединяющим предполагаемое с необходимым». А несколько ниже, после утверждения о том, что полу-прямоугольный треугольник он принимает в качестве второго принципа, он говорит: «Слишком долго рассказывать о причинах, но если кто-то захочет заняться этим вопросом и доказать, что он обладает этим свойством (я думаю, тем свойством, что все другие треугольники можно составить из этих двух), то мы охотно отдадим ему награду»⁵⁴. Язык несколько темен, и можно допустить, что Платон осознавал отсутствие доказательства его (ошибочного) предположения относительно этих двух треугольников и надеялся, что кто-то его предложит. (151:)

Неясность этого отрывка привела к странному следствию. Большинство читателей и комментаторов Платона не заметили, что избранные им треугольники вводят иррациональности в его мир форм, хотя в других местах Платон подчеркивает важность проблемы иррациональности. Возможно, это объясняет, почему теория форм Платона могла показаться Аристотелю по существу аналогичной пифагорейской теории форм-чисел⁵⁵ и почему атомизм Платона показался Аристотелю лишь вариантом атомизма Демокрита⁵⁶. Несмотря на то что Аристотель ассоциировал арифметику с четным и нечетным, а геометрию — с иррациональным, он не воспринимал проблему иррациональности всерьез. Опираясь на интерпретацию «Тимея», отождествлявшую платоновское Пространство с материей, Аристотель, по-видимому, считал платоновскую программу реформы геометрии выполненной. Отчасти это было осуществлено Евдоксом еще до того, как Аристотель пришел в Академию, а сам он лишь весьма поверхностно интересовался математикой. Он нигде не упоминает о надписи над воротами Академии.

Подводя итоги сказанному, можно предположить, что теория форм Платона и его теория материи были обновлением теорий его предшественников — пифагорейцев и Демокрита — в свете осознания им того факта, что иррациональности требуют поставить геометрию впереди арифметики. Содействуя этому, Платон внес важный вклад в разработку системы Евклида — самой влиятельной из всех когда-либо созданных дедуктивных систем. Приняв геометрию в качестве теории мира, он проложил путь для творчества Аристарха, Ньютона и Эйнштейна. Благодаря этому кризис греческого атомизма был преобразован в фундаментальное достижение. Однако научные интересы Платона в значительной мере оказались забытыми. Ситуация в науке, породившая его философские проблемы, была плохо понята. А его величайшее достижение — геометрическая теория мира — до такой степени влияла на наше представление о мире, что мы неосознанно считали эту теорию несомненной. (152:)

9. X

Его книга была написана для тех, кто кое-что знал о небесной механике Ньютона и имел какое-то представление о его предшественниках — о Копернике, Тихо Браге, Кеплере и Галилее.

Просвещенным людям нашего времени, избалованным зрелищем непрерывных успехов науки, трудно понять, чем была теория Ньютона не только для Канта, но для любого мыслителя восемнадцатого столетия. После эпохи безудержной смелости, с которой древние штурмовали загадки природы, наступил длительный период упадка и постепенного возрождения. Ньютон открыл новый путь к успехам. Его геометрическая теория, опиравшаяся на работу Евклида, первоначально вызывала большое недоверие, причем даже у ее собственного создателя⁵⁸. Причина заключалась в том, что сила гравитационного притяжения казалась чем-то «оккультным» и во всяком случае нуждалась в объяснении. Несмотря на то что приемлемого объяснения так и не нашли (а Ньютон не хотел прибегать к ad hoc гипотезам), все опасения в отношении его теории рассеялись задолго до того, как Кант внес в нее собственный важный вклад. Это случилось через семьдесят восемь лет после выхода в свет «Principia»⁵⁹. Ни один образованный человек⁶⁰ не мог больше сомневаться в том, что теория Ньютона истинна. Для ее проверки использовались самые точные измерения, но она всегда оказывалась права. Она предсказала небольшие отклонения от законов Кеплера и иные новые открытия. В

153

Таким образом, для Канта теория Ньютона была просто истинной, и убеждение в ее истинности сохранялось в течение столетия после смерти Канта. В конце концов Кант признал, что он и все другие лишь считали ее scientia или episteme. Вначале он принимал эту теорию без каких бы то ни было сомнений. Это состояние он назвал своим «догматическим сном». Разбужен он был Юмом.

Юм учил, что несомненного знания универсальных законов, или episteme, не может существовать; что все наше знание получено с помощью наблюдения, которое относится только к единичным вещам, поэтому все теоретическое знание недостоверно. Его аргументы были убедительны (и он, конечно, был прав). Однако существовал факт или то, что казалось фактом, — получение Ньютоном episteme.

Юм заставил Канта усомниться в том, что он считал фактом. Здесь была проблема, от которой нельзя было отмахнуться. Как мог бы человек получить знание? Знание, которое было бы общим, точным, математическим, доказуемым и бесспорным, подобно Евклидовой геометрии, и вместе с тем давать каузальное объяснение наблюдаемым фактам?

Так возникает центральная проблема «Критики чистого разума»: «Как возможно чистое естествознание?» Под «чистым естествознанием» — scientia, episteme— Кант подразумевает просто теорию Ньютона. (К сожалению, сам он об этом не сказал, и я не понимаю, каким образом студент, читающий

154

Хотя «Критика» была написана плохим языком и отличалась громоздким стилем, эта проблема не могла быть сведена к лингвистической головоломке. Существовало знание. Каким образом Ньютон смог получить его? Нельзя было уйти от этого вопроса⁶². Однако он был неразрешим, ибо кажущийся факт получения epistдneHz был реальным фактом. Как нам теперь известно или кажется, что известно, теория Ньютона была лишь изумительным предположением, удивительно хорошим приближением. Она действительно была уникальна, но не как божественная истина, а как уникальное достижение человеческого гения, она представляла собой не episteme, а лишь doxa. Поэтому-то и рушится кантовская проблема «Как возможно чистое естествознание?» и исчезает большая часть волновавших его трудностей.

Предложенное Кантом решение его неразрешимой проблемы заключалось в том, что он с гордостью назвал «копер-никанской революцией», совершенной им в теории познания. Знание — episteme — возможно потому, что мы не пассивно воспринимаем данные органов чувств, а активно перерабатываем их. Ассимилируя и перерабатывая их, мы образуем из них Космос, мир природы. На материал, предоставляемый нашими чувствами, мы налагаем математические законы, являющиеся частью нашего организующего механизма. Таким образом, наш разум не открывает универсальные законы в

155

Эта теория представляет собой странную смесь абсурда и истины. Она абсурдна, ибо пытается решить неправильно поставленную проблему и доказывает слишком много, стремясь и доказать слишком много. Согласно теории Канта, «чистое естествознание» не просто возможно. Хотя он не всегда осознает это, но вопреки его намерениям оно оказывается необходимым результатом нашей мыслительной деятельности. Если факт получения нами episteme можно объяснить посредством того факта, что наш разум создает и налагает свои собственные законы на природу, то первый из двух фактов не может быть более случайным, чем второй⁶³. Таким образом, проблема заключается не в том, как смог Ньютон совершить свое открытие, а в том, как можно было бы не совершить его. Почему наш интеллектуальный механизм не работал раньше?

В этом заключается очевидно абсурдное следствие идеи Канта. Однако было бы не вполне правомерно просто отбросить ее и саму проблему как псевдопроблему. В идее Канта мы можем обнаружить зерно истины (как и в некоторых воззрениях Юма) после того, как надлежащим образом сформулируем его проблему. Как нам теперь известно (или мы считаем, что известно), его вопрос должен звучать так: «Как возможны успешные предположения?» И в духе его «коперниканской революции» наш ответ, как мне кажется, может быть таким: потому что мы, как вы сказали, являемся не пассивными регистраторами чувственных данных, а активными организмами. Потому что на наше окружение мы реагируем не только инстинктивно, но иногда сознательно и свободно. Потому что мы способны изобретать мифы и теории, стремимся к объяснению, хотим знать. Потому что мы не только изобретаем мифы и теории, но стремимся узнать, работают ли они и как работают. Потому что за счет огромных усилий и преодоления множества ошибок иногда, в случае удачи, мы создаем такой сюжет, такое объяснение, которое «спасает феномены», например, миф о «невидимых» вещах, скажем, атомах или силах гра-

156

10. XI

Следует опасаться бессмысленных и бесплодных тонкостей, которыми имитаторы обволакивают подлинную проблему первопроходца. Нужно помнить о том, что хотя его проблема и не была эмпирической в обыденном смысле, тем не менее неожиданно оказалась в каком-то смысле фактуальной (Кант называл такие факты «трансцендентальными»), ибо была (157:) порождена кажущимся, хотя реально не существующим, примером scientia или episteme. И я полагаю, что следует серьезно рассмотреть предположение о том, что ответ Канта, несмотря на его частичную абсурдность, содержит зерно истинной философии науки.

11. Примечания автора

158

159

160

162

«Позитивистские» тенденции можно встретить у Бэкона, в теории (к счастью, не в практике) Королевского общества, у Маха (выступавшего против атомной теории) и теоретиков чувственно данного.

163

164

По поводу современной тенденции к «арифметизации геометрии» (которая никоим образом не характерна для всех современных работ в области геометрии) или анализа следует заметить, что она мало похожа на подход пифагорейцев, поскольку основным средством здесь являются множества или бесконечные последовательности, а не сами натуральные числа.

166

Теперь следует отметить, что хотя эта процедура «производит» (по крайней мере в первом примере) только последовательности натуральных чисел, тем не менее в ней содержится геометрический элемент — разделение линии сначала на две равные части, а затем на части согласно определенной пропорции \:п. Оба вида разделения требуют геометрических методов, а второй нуждается в теории пропорций Евдокса. Я предполагаю, что Платон стал спрашивать себя,

почему бы не разделять диаду в пропорции 1: V2 или 1: V5. Здесь он должен был почувствовать, что это было бы отходом от метода производства натуральных чисел, отходом от «арифметических» и принятием «геометрических» методов. Но вместо натуральных чисел это позволило бы «произвести» линейные элементы в пропорции 1: >/2 и 1:V3 и отождествить их с «атомными линиями» («Метафизика», 992а 19), из которых строятся атомные треугольники. В то же время характеристика диады как «неопределенной» стала в высшей степени подходящей, если учесть позицию пифагорейцев (см. Филолай, Diets, фрагменты 2 и 3) по отношению к иррациональности. (Возможно, выражение «великое и малое» стало постепенно заменяться выражением «неопределенная диада» после введения иррациональных пропорций в дополнение к рациональным.)

Если это верно, то мы могли бы предположить, что Платон постепенно приходил (начиная с «Гиппия Большого», т.е. задолго до «Государства», в противоположность мнению Росса, op. cit., p. 56) к осознанию того факта, что иррациональности являются числами, так как (а) они сравнимы с числами («Метафизика», 1021а4) и (б) натуральные числа и иррациональности «производятся» посредством сходных и по сути геометрических процессов. Как только это было осознано (впервые, по-видимому, в «Epinomis», 990-е; я думаю, это произведение принадлежит Платону, хотя это и не так важно), то даже иррациональные треугольники «Тимея» становятся «числами» (т.е. характеризуются числовыми, пусть даже иррациональными, пропорциями). Однако здесь важные идеи Платона и разница между его теорией и теорией пифагорейцев могли стать совершенно неразличимыми. Это объясняет, почему этой разницы не заметил даже Аристотель (который допускал и «геометризацию», и «арифметизацию»).

3. 
   
   жүктеу/скачать 6,99 Mb.
   
   Достарыңызбен бөлісу: