Предположения и опровержения Рост научного знания
жүктеу/скачать 6,99 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Примечания автора
VIIАтомизм Демокрита был разработан в качестве основы для ответа34 на аргументы его предшественников-элеатов — Парменида и его ученика Зенона. В частности, его теория атомарных расстояний и временных интервалов была непосредственным результатом аргументов Зенона или, точнее, отрицания выводов Зенона. Однако теперь из того, что нам известно о Зеноне, мы можем усмотреть намек на открытие иррациональных величин — открытие, имевшее решающее значение для нашей истории. Мы не знаем даты доказательства иррациональности квадратного корня из двух или даты, когда это открытие получило известность. Хотя и существует традиция приписывать его Пифагору (шестой век до н.э.) и некоторые авторы35 называют его «теоремой Пифагора», трудно сомневаться в том, что это открытие не было сделано и, во всяком случае, не было известно до 450 г. до н.э., скорее даже до 420 г. Неясно, было ли оно известно Демокриту. Теперь я склонен считать, что он не знал об этом открытии и что названия двух последних книг Демокрита «Peri alagцn grammцn kai naston» следует переводить как «О нелогичных отрезках и полных телах (атомах)»36 и что эти две книги не содержали каких-либо ссылок на открытие иррациональности37. Мое убеждение в том, что Демокрит не осознавал проблемы иррациональности, опирается на тот факт, что нет никаких следов, указывающих на то, что он хотел защитить свою теорию от удара, который наносило ей это открытие. Однако этот удар оказался фатальным как для атомизма, так и для пифагорейства. Обе теории исходили из учения о том, что всякое измерение в конечном счете сводится к подсчету естественных единиц, так что каждое измерение должно выражаться числом. Следовательно, расстояние между любыми атомными точками должно состоять из определенного числа атомных расстояний; таким образом, все отрезки должны быть соизмеримы. Однако это оказывается невозможным даже для простого случая расстояний между углами квадрата вследствие несоизмеримости его диагонали d со стороной а. 142
Английский термин «несоизмеримый» несколько неудачен. В нем подразумевается несуществование соотношения натуральных чисел, например, можно доказать для квадрата со стороной, равной единице, что не существует таких двух натуральных чисел пит, отношение которых п/т равно диагонали этого квадрата. Таким образом, «несоизмеримость» не означает несравнимости с помощью геометрических методов или измерений, а только несравнимость на основе арифметических методов счета или на основании натуральных чисел, включая пифагорейский метод сравнения отношений натуральных чисел и, конечно, подсчет единиц длины (или «меры»). Возвратимся ненадолго к характеристике этого метода натуральных чисел и их соотношений. Превознесение Числа Пифагором оказало плодотворное влияние на развитие научных идей. Это часто, хотя и несколько неопределенно, выражают утверждением о том, что пифагорейцы стимулировали развитие количественного научного измерения. Я же настаиваю на том, что для пифагорейцев все это было скорее счетом, чем измерением. Это был счет чисел, невидимых сущностей, или «природ», которые были числами мельчайших точек. Они знали, что эти мельчайшие точки нельзя сосчитать непосредственно, ибо они невидимы, и что реально мы не считаем Числа или Естественные единицы, а измеряем, т.е. считаем произвольные видимые единицы. Однако измерения они интерпретировали как косвенное раскрытие истинных соотношений Естественных единиц или натуральных чисел. Метод доказательства Евклидом так называемой «теоремы Пифагора» (Евклид, 1, 47), согласно которому если а есть сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла, образованного сторонами b и с, то (1) a2 = b2 + c2, был чужд духу пифагорейской математики. Ныне считается, что эта теорема была известна уже вавилонянам и доказывалась ими геометрически. Однако ни Пифагор, ни Платон не могли знать геометрического доказательства Евклида (который использовал разные треугольники с общим основанием и высо- 143
той). Проблема, которую они решали, была арифметической задачей нахождения общего решения для сторон прямоугольных треугольников. Если равенство (1) известно, то эта задача может быть легко решена посредством следующей формулы (тип — натуральные числа и т > п)\ (2) а — т2 + п2; b = 2тп; с = т2 — п2. Однако формула (2) была, по-видимому, неизвестна как Пифагору, так и Платону. Согласно традиции38, Пифагор предложил следующую формулу (полученную из (2) посредством подстановки т = п + 1): (3) а = 2п (п + 1); b = 2« (п +1); с = 2п + 1. Ее можно истолковать как гномон квадратных чисел, хотя эта формула является менее общей, нежели формула (2), ибо она не будет верной, например, для 17:8:15. Платону, который улучшил39 формулу Пифагора (3), приписывают другую формулу, которая все-таки еще не равнозначна общему решению (2). Для иллюстрации разницы между пифагорейским, или арифметическим, методом и геометрическим методом следует упомянуть доказательство Платоном того факта, что квадрат диагонали единичного квадрата (т.е. квадрата со стороной, равной 1) равен удвоенной единице в квадрате. Доказательство заключается в изображении квадрата с диагональю: 
а затем в расширении этого изображения следующим образом: 
Отсюда искомый результат получается посредством счета. Однако переход от первого рисунка ко второму нельзя обо- 144 сновать посредством арифметического подсчета точек и даже посредством рациональных дробей. Невозможность этого устанавливается знаменитым доказательством иррациональности диагонали, т.е. квадратного корня из 2, — доказательством, хорошо известным Платону и Аристотелю. Это доказательство заключается в демонстрации того, что предположение (1) V2 = п/т, гласящее, что V2 равен рациональной дроби двух натуральных чисел пит, приводит к противоречию. Сначала мы можем предположить, что (2) только одно из двух чисел пит является четным. Если бы оба числа были четными, то мы всегда могли бы сократить их на 2 и получить два других числа п' и т', таких что п/т = п'/т\ и из которых лишь одно могло быть четным. Возведя в квадрат обе части равенства (1), мы получаем: (3) 2 = п2/т2, а из этого получаем: (4) 2т2 = п2. Таким образом, (5) п является четным. Это означает, что должно существовать такое натуральное число а, что: (6) п = 2а Теперь из (3) и (6) мы получаем: (7) 2т2 = п2= Аа2 из чего следует, что: (8) т2 = 2а2 Но это означает, что (9) т является четным. Ясно, что (5) и (9) противоречат допущению (2). Таким образом, предположение о том, что существуют два натуральных числа пит, рациональная дробь которых равна V2, приводит к абсурдному выводу. Следовательно, V2 не является рациональной дробью, он «иррационален». 145 В этом доказательстве используется только арифметика натуральных чисел. Следовательно, здесь мы имеем дело с чисто пифагорейскими методами, поэтому не стоит спорить с традицией, приписывающей открытие этого доказательства пифагорейской школе. Однако невероятно, чтобы оно было сделано Пифагором или очень рано, ибо о нем не знал ни Зенон, ни Демокрит. Более того, поскольку оно подрывало основы пифагорейского учения, постольку можно предполагать, что это открытие не было сделано до того, как это учение достигло пика своего влияния, ибо оно должно было содействовать упадку этого учения. Мысль о том, что оно было открыто в пифагорейской школе, но держалось в секрете, представляется мне вполне допустимой. В ее пользу свидетельствует то обстоятельство, что старый термин для слова «иррациональный» — «arrhetos», «непроизносимый» или «не-упоминаемый» — вполне может указывать на скрываемый секрет. Традиция говорит о том, что члены школы, пытавшиеся раскрыть этот секрет, были убиты за предательство40. Так или иначе, но трудно сомневаться в том, что осознание существования иррациональных величин (которые, конечно, не считались числами) и возможности доказательства их существования подрывало веру в пифагорейское учение и надежду на то, что из арифметики натуральных чисел можно вывести космологию или хотя бы геометрию. VIIIИменно Платон осознал этот факт и выразительно подчеркнул его значение в «Законах», обвинив своих современников в неспособности оценить его следствия. Как мне представляется, влияние этого факта испытала на себе вся его философия и, в частности, его теория «форм» или «идей». Платон был очень близок к пифагорейцам и к школе эле-атов, и хотя он, по-видимому, недолюбливал Демокрита, сам он был в некотором роде атомистом. (Атомистическое учение сохранялось в качестве одной из традиций Академии41.) Это 146 неудивительно, если принять во внимание тесную связь пифагорейства с идеями атомизма. Однако все это оказалось под угрозой благодаря открытию иррациональности. Я полагаю, что главный вклад Платона в науку обусловлен его осознанием проблемы иррациональности и той модификацией пифагорейства и атомизма, которую он предпринял для спасения науки от катастрофы. Он понял, что чисто арифметическая теория природы рухнула и нужен новый математический метод описания и объяснения мира. Поэтому он приступил к разработке самостоятельного геометрического метода. Свое наиболее полное воплощение этот метод нашел в «Элементах» платоника Евклида. Каковы факты? Я попытаюсь кратко суммировать их. (1) Учение пифагорейцев и атомизм Демокрита существенно опирались на арифметику, т.е. на счет. (2) Платон подчеркнул катастрофические последствия открытия иррациональности. (3) Над входом в Академию он написал: «Да не войдет сюда никто, не знающий геометрии». Но геометрия, согласно прямому ученику Платона Аристотелю42 и Евклиду, часто говорит о несоизмеримостях и иррациональности в отличие от арифметики, рассматривающей «четное и нечетное» (т.е. целые числа и их отношения). (4) Вскоре после смерти Платона его школа в «Элементах» Евклида создала произведение, освободившее математику от «арифметического» предположения о соизмеримости и рациональности. (5) Платон и сам внес вклад в это развитие, в частности, в разработку геометрии твердых тел. (6) Говоря точнее, в «Тимее» он предложил геометрический вариант ранее чисто арифметической атомной теории — вариант, в котором элементарные частицы (знаменитые платоновские Тела) строились из треугольников, включавших в себя иррациональные квадратные корни из двух и трех. (См. ниже.) Во всех других отношениях он сохраняет идеи пифагорейцев и наиболее важные идеи Демокрита43. В то же время он 147 устраняет пустоту Демокрита, ибо понимает44, что движение возможно даже в «заполненном» мире, если его истолковывать наподобие вихрей в жидкости. Таким образом, он сохраняет и некоторые из наиболее важных идей Парменида45. (7) Платон стимулировал создание геометрических моделей мира, в частности, моделей, объясняющих движения планет. И я полагаю, что геометрия Евклида была не просто очерком чистой геометрии (как обычно считают), а органоном теории мира. С этой точки зрения, «Элементы» были не «учебником по геометрии», а попыткой систематического решения основных проблем космологии Платона. Это было осуществлено столь успешно, что решенные проблемы ушли в тень и оказались почти забытыми. Какой-то их след сохранился у Прокла, который пишет: «Некоторые думали, что содержание разнообразных книг (Евклида) имеет отношение к космосу и что они были предназначены для того, чтобы изучать универсум» (op. cit., прим. 38 выше, Prologus, II, р. 71, 2—5). Однако даже Прокл не упоминает в этом контексте о главной проблеме — проблеме иррациональности (он, конечно, упоминает о ней в других местах), хотя и указывает, что «Элементы» явились высшим достижением в построении «космических» или «платонических» правильных многогранников. Именно со времен46 Платона и Евклида, но не ранее, геометрия (а не арифметика) становится важнейшим инструментом всех физических объяснений и описаний как в теории материи, так и в космологии47. IXТаковы исторические факты. Я полагаю, они в достаточной мере обосновывают мой главный тезис: prima facie метод изучения философии не способен дать подлинного понимания тех проблем, которые стимулировали Платона. И этот метод не способен привести к правильной оценке его важнейшего философского достижения — геометрической теории мира. Крупнейшие физики Возрождения — Коперник, Галилей, 148
Кеплер, Гилберт, — обратившиеся от Аристотеля к Платону, стремились заменить аристотелевские качественные субстанции или потенциальности геометрическим методом космологии. Действительно, (в науке) Возрождение означало возрождение геометрического метода, лежащего в основе деятельности Евклида, Аристарха, Архимеда, Коперника, Кеплера, Галилея, Декарта, Ньютона, Максвелла и Эйнштейна. Но можно ли считать это достижение собственно философским? Не относится ли оно скорее к физике — фактуальной науке или к чистой математике — разделу тавтологичной логики, как считает школа Витгенштейна? Я полагаю, что теперь мы достаточно ясно можем увидеть, почему достижение Платона (хотя оно, без сомнения, включало в себя физические, логические и смешанные компоненты) было именно философским, почему по крайней мере часть его философии природы и физики сохранилась до сих пор и, я думаю, будет сохраняться в дальнейшем. У Платона и его предшественников мы находим сознательное построение и изобретение нового подхода к миру и его познанию. Первоначальную теологическую идею объяснения видимого мира с помощью постулируемого невидимого мира™ этот подход преобразует в важнейший инструмент теоретической науки. Эта идея в явном виде была сформулирована Анаксагором и Демокритом49 в качестве принципа изучения природы материи или материальных тел. Видимая материя объясняется посредством гипотез, говорящих о невидимом, о невидимой структуре, которая слишком мала, чтобы ее можно было видеть. Платон принимает и обобщает эту идею: изменчивый видимый мир объясняется посредством невидимого мира неизменных «форм» (субстанций, сущностей или «природ»; т.е., как я пытаюсь показать, посредством геометрических образов или фигур). Является ли эта идея относительно невидимой структуры материи физической или философской? Если физик лишь действует в русле этой теории, если он, возможно неосознанно, принимает ее, побуждаемый к этому собственной проблемной 149
ситуацией, и если при этом он создает новую конкретную теорию структуры материи, то я не могу назвать его философом. Но если он размышляет над этой идеей и, например, отвергает ее (подобно Беркли или Маху), предпочитая феноменологическую или позитивистскую физику теоретическому и отчасти теологическому подходу, то его можно назвать философом. И точно так же тот, кто сознательно избирает теоретический подход, разрабатывает его и выражает в явном виде, перенося тем самым гипотетический и дедуктивный метод из теологии в физику, будет философом, даже если в качестве физика он пытается создавать конкретные теории невидимой структуры материи. Однако я не буду больше заниматься вопросом о правильном употреблении слова «философия», ибо это — проблема Витгенштейна и очевидно относится к употреблению языка. Здесь мы имеем дело с типичной псевдопроблемой, обсуждение которой не может принести ничего, кроме скуки. Теперь мне хочется добавить несколько слов относительно теории форм или идей Платона, точнее, относительно пункта (6) данного выше списка исторических фактов. Теорию структуры материи Платона можно найти в «Тимее». Она имеет внешнее сходство с современной теорией твердых тел, истолковывающей их как кристаллы. Физические тела у Платона составлены из невидимых элементарных частиц различного вида. Видом этих частиц обусловлены макроскопические свойства видимой материи. Вид же элементарных частиц, в свою очередь, детерминирован видом плоских фигур, образующих их стороны. Наконец, сами эти плоские фигуры все состоят из двух элементарных треугольников: равнобедренного прямоугольного треугольника (половина квадрата), содержащего квадратный корень из двух, и прямоугольного треугольника (половина прямоугольника), содержащего квадратный корень из трех, т.е. иррациональные величины. Эти треугольники считаются копиями50 неизменных «форм» или «идей». Это означает, что геометрические «формы» включаются в сферу пифагорейских арифметических форм-чисел. 150 Трудно сомневаться в том, что побудительным мотивом этого построения было стремление преодолеть кризис атомизма посредством включения иррациональностей в конечные элементы мира. Как только это было сделано, затруднение, вызванное существованием иррациональных расстояний, исчезло. Но почему Платон избрал именно эти два вида треугольников? В другом месте51 я высказал предположение о том, что Платон верил, будто все другие иррациональности можно получить посредством рационального умножения квадратных корней из двух или трех52. Теперь я думаю, что это не вытекает из важнейшего отрывка из «Тимея» (это неверно, как впоследствии показал Евклид). В упомянутом отрывке Платон говорит совершенно ясно: «Все треугольники выводимы из двух, имеющих прямой угол», и характеризует эти два треугольника как полу-квадрат и полу-прямоугольник. Однако в его контексте это может означать лишь, что все треугольники можно представить как комбинацию этих двух треугольников. Такая точка зрения эквивалентна ошибочной теории относительно соизмеримости всех иррациональных величин и суммы рационального числа с квадратными корнями из двух и трех53. Однако Платон не претендовал на доказательство этой теории. Напротив, он отмечал, что принимает эти два треугольника в качестве принципов, «в соответствии с подходом, соединяющим предполагаемое с необходимым». А несколько ниже, после утверждения о том, что полу-прямоугольный треугольник он принимает в качестве второго принципа, он говорит: «Слишком долго рассказывать о причинах, но если кто-то захочет заняться этим вопросом и доказать, что он обладает этим свойством (я думаю, тем свойством, что все другие треугольники можно составить из этих двух), то мы охотно отдадим ему награду»54. Язык несколько темен, и можно допустить, что Платон осознавал отсутствие доказательства его (ошибочного) предположения относительно этих двух треугольников и надеялся, что кто-то его предложит. (151:) Неясность этого отрывка привела к странному следствию. Большинство читателей и комментаторов Платона не заметили, что избранные им треугольники вводят иррациональности в его мир форм, хотя в других местах Платон подчеркивает важность проблемы иррациональности. Возможно, это объясняет, почему теория форм Платона могла показаться Аристотелю по существу аналогичной пифагорейской теории форм-чисел55 и почему атомизм Платона показался Аристотелю лишь вариантом атомизма Демокрита56. Несмотря на то что Аристотель ассоциировал арифметику с четным и нечетным, а геометрию — с иррациональным, он не воспринимал проблему иррациональности всерьез. Опираясь на интерпретацию «Тимея», отождествлявшую платоновское Пространство с материей, Аристотель, по-видимому, считал платоновскую программу реформы геометрии выполненной. Отчасти это было осуществлено Евдоксом еще до того, как Аристотель пришел в Академию, а сам он лишь весьма поверхностно интересовался математикой. Он нигде не упоминает о надписи над воротами Академии. Подводя итоги сказанному, можно предположить, что теория форм Платона и его теория материи были обновлением теорий его предшественников — пифагорейцев и Демокрита — в свете осознания им того факта, что иррациональности требуют поставить геометрию впереди арифметики. Содействуя этому, Платон внес важный вклад в разработку системы Евклида — самой влиятельной из всех когда-либо созданных дедуктивных систем. Приняв геометрию в качестве теории мира, он проложил путь для творчества Аристарха, Ньютона и Эйнштейна. Благодаря этому кризис греческого атомизма был преобразован в фундаментальное достижение. Однако научные интересы Платона в значительной мере оказались забытыми. Ситуация в науке, породившая его философские проблемы, была плохо понята. А его величайшее достижение — геометрическая теория мира — до такой степени влияла на наше представление о мире, что мы неосознанно считали эту теорию несомненной. (152:) XОдного примера всегда недостаточно. Из громадного множества интересных возможностей я избираю в качестве второго примера Канта. Его «Критика чистого разума» является одной из наиболее сложных из когда-либо написанных книг. Кант работал в великой спешке57 и размышлял над проблемой, которая, как я попытаюсь показать, была не только неразрешима, но и неправильно понята. Тем не менее это была не псевдопроблема, ибо она была порождена реальной ситуацией, сложившейся в науке. Его книга была написана для тех, кто кое-что знал о небесной механике Ньютона и имел какое-то представление о его предшественниках — о Копернике, Тихо Браге, Кеплере и Галилее. Просвещенным людям нашего времени, избалованным зрелищем непрерывных успехов науки, трудно понять, чем была теория Ньютона не только для Канта, но для любого мыслителя восемнадцатого столетия. После эпохи безудержной смелости, с которой древние штурмовали загадки природы, наступил длительный период упадка и постепенного возрождения. Ньютон открыл новый путь к успехам. Его геометрическая теория, опиравшаяся на работу Евклида, первоначально вызывала большое недоверие, причем даже у ее собственного создателя58. Причина заключалась в том, что сила гравитационного притяжения казалась чем-то «оккультным» и во всяком случае нуждалась в объяснении. Несмотря на то что приемлемого объяснения так и не нашли (а Ньютон не хотел прибегать к ad hoc гипотезам), все опасения в отношении его теории рассеялись задолго до того, как Кант внес в нее собственный важный вклад. Это случилось через семьдесят восемь лет после выхода в свет «Principia»59. Ни один образованный человек60 не мог больше сомневаться в том, что теория Ньютона истинна. Для ее проверки использовались самые точные измерения, но она всегда оказывалась права. Она предсказала небольшие отклонения от законов Кеплера и иные новые открытия. В 153
наше время, когда теории приходят и уходят подобно автобусам на Пиккадилли и когда каждый школьник слышал о том, что Эйнштейн давно превзошел Ньютона, трудно понять то чувство уверенности, восторга и свободы, которое внушала теория Ньютона. В истории человеческого мышления произошло уникальное событие, которое уже никогда не может повториться: первое и последнее открытие абсолютной истины о мире. Тысячелетняя мечта осуществилась. Человечество получило знание — реальное, несомненное и доказанное знание, божественную scientia или episteme, а не только doxa, человеческое мнение. Таким образом, для Канта теория Ньютона была просто истинной, и убеждение в ее истинности сохранялось в течение столетия после смерти Канта. В конце концов Кант признал, что он и все другие лишь считали ее scientia или episteme. Вначале он принимал эту теорию без каких бы то ни было сомнений. Это состояние он назвал своим «догматическим сном». Разбужен он был Юмом. Юм учил, что несомненного знания универсальных законов, или episteme, не может существовать; что все наше знание получено с помощью наблюдения, которое относится только к единичным вещам, поэтому все теоретическое знание недостоверно. Его аргументы были убедительны (и он, конечно, был прав). Однако существовал факт или то, что казалось фактом, — получение Ньютоном episteme. Юм заставил Канта усомниться в том, что он считал фактом. Здесь была проблема, от которой нельзя было отмахнуться. Как мог бы человек получить знание? Знание, которое было бы общим, точным, математическим, доказуемым и бесспорным, подобно Евклидовой геометрии, и вместе с тем давать каузальное объяснение наблюдаемым фактам? Так возникает центральная проблема «Критики чистого разума»: «Как возможно чистое естествознание?» Под «чистым естествознанием» — scientia, episteme— Кант подразумевает просто теорию Ньютона. (К сожалению, сам он об этом не сказал, и я не понимаю, каким образом студент, читающий 154
его первую «Критику» в 1781 и 1787 гг., мог бы обнаружить это. Но то, что Кант имел в виду именно теорию Ньютона, выясняется из «Метафизических оснований естествознания», 1786 г., где он дает априорную дедукцию теории Ньютона; см. восемь теорем Второй главной части и Приложение 2, замечание 1, параграф 2.) В пяти параграфах заключительного «Общего замечания о феноменологии» Кант относит теорию Ньютона к «звездному небу». Это можно увидеть также из «Заключения» к «Критике практического разума», 1788 г., где обращение к «звездному небу» поясняется ссылкой на априорный характер новой астрономии61. Хотя «Критика» была написана плохим языком и отличалась громоздким стилем, эта проблема не могла быть сведена к лингвистической головоломке. Существовало знание. Каким образом Ньютон смог получить его? Нельзя было уйти от этого вопроса62. Однако он был неразрешим, ибо кажущийся факт получения epistдneHz был реальным фактом. Как нам теперь известно или кажется, что известно, теория Ньютона была лишь изумительным предположением, удивительно хорошим приближением. Она действительно была уникальна, но не как божественная истина, а как уникальное достижение человеческого гения, она представляла собой не episteme, а лишь doxa. Поэтому-то и рушится кантовская проблема «Как возможно чистое естествознание?» и исчезает большая часть волновавших его трудностей. Предложенное Кантом решение его неразрешимой проблемы заключалось в том, что он с гордостью назвал «копер-никанской революцией», совершенной им в теории познания. Знание — episteme — возможно потому, что мы не пассивно воспринимаем данные органов чувств, а активно перерабатываем их. Ассимилируя и перерабатывая их, мы образуем из них Космос, мир природы. На материал, предоставляемый нашими чувствами, мы налагаем математические законы, являющиеся частью нашего организующего механизма. Таким образом, наш разум не открывает универсальные законы в 155
природе, а предписывает ей свои собственные законы, налагает их на природу. Эта теория представляет собой странную смесь абсурда и истины. Она абсурдна, ибо пытается решить неправильно поставленную проблему и доказывает слишком много, стремясь и доказать слишком много. Согласно теории Канта, «чистое естествознание» не просто возможно. Хотя он не всегда осознает это, но вопреки его намерениям оно оказывается необходимым результатом нашей мыслительной деятельности. Если факт получения нами episteme можно объяснить посредством того факта, что наш разум создает и налагает свои собственные законы на природу, то первый из двух фактов не может быть более случайным, чем второй63. Таким образом, проблема заключается не в том, как смог Ньютон совершить свое открытие, а в том, как можно было бы не совершить его. Почему наш интеллектуальный механизм не работал раньше? В этом заключается очевидно абсурдное следствие идеи Канта. Однако было бы не вполне правомерно просто отбросить ее и саму проблему как псевдопроблему. В идее Канта мы можем обнаружить зерно истины (как и в некоторых воззрениях Юма) после того, как надлежащим образом сформулируем его проблему. Как нам теперь известно (или мы считаем, что известно), его вопрос должен звучать так: «Как возможны успешные предположения?» И в духе его «коперниканской революции» наш ответ, как мне кажется, может быть таким: потому что мы, как вы сказали, являемся не пассивными регистраторами чувственных данных, а активными организмами. Потому что на наше окружение мы реагируем не только инстинктивно, но иногда сознательно и свободно. Потому что мы способны изобретать мифы и теории, стремимся к объяснению, хотим знать. Потому что мы не только изобретаем мифы и теории, но стремимся узнать, работают ли они и как работают. Потому что за счет огромных усилий и преодоления множества ошибок иногда, в случае удачи, мы создаем такой сюжет, такое объяснение, которое «спасает феномены», например, миф о «невидимых» вещах, скажем, атомах или силах гра- 156
витации, объясняющий видимое. Потому что познание есть приключение идей. Верно, что эти идеи создаются нами, а не окружающим миром, они представляют собой не просто следы повторяющихся впечатлений или стимулов. В этом вы правы. Но мы даже более активны и свободны, чем думали вы, ибо сходные наблюдения или похожие ситуации не приводят, как следует из вашей теории, к одинаковым объяснениям у разных людей. И успешность наших теорий64 объясняется вовсе не тем, что мы сами создаем их и пытаемся налагать на природу. Подавляющее большинство наших теорий, свободно изобретаемых нами идей оказываются безуспешными, они не выдерживают проверки и отбрасываются как фальсифицированные опытом. И лишь очень немногие из них, да и то на время, добиваются успеха в борьбе за выживание65. XIНемногие из последователей Канта имели ясное представление о той проблемной ситуации, которая стимулировала его деятельность. Перед ним стояли две проблемы: небесная механика Ньютона и абсолютные стандарты человеческого братства и справедливости, к которым апеллировала Французская революция, или, как выразился сам Кант, «звездное небо надо мной и моральный закон во мне». Однако редко понимают, чем было «звездное небо» Канта — напоминанием о Ньютоне66. Начиная с Фихте67, многие пытались копировать «метод» Канта и сложный стиль его «Критики». Однако большинство этих имитаторов, не понимая первоначальных интересов и проблем Канта, бессмысленно пытались распутать тот гордиев узел, в котором Кант, хотя и не по своей вине, запутался сам. Следует опасаться бессмысленных и бесплодных тонкостей, которыми имитаторы обволакивают подлинную проблему первопроходца. Нужно помнить о том, что хотя его проблема и не была эмпирической в обыденном смысле, тем не менее неожиданно оказалась в каком-то смысле фактуальной (Кант называл такие факты «трансцендентальными»), ибо была (157:) порождена кажущимся, хотя реально не существующим, примером scientia или episteme. И я полагаю, что следует серьезно рассмотреть предположение о том, что ответ Канта, несмотря на его частичную абсурдность, содержит зерно истинной философии науки. Примечания автора1 Я называю эту проблему мелкой, потому что считаю, что она легко решается посредством опровержения («релятивистского») учения, порождающего этот вопрос. (Поэтому ответ на него является отрицательным. См. Приложение к т. II моего «Открытого общества», включенного в четвертое издание 1962 года.) 2 Эта точка зрения является частью «эссенциализма». См., например, мое «Открытое общество», гл. 2 и 11 или «Нищету истори-цизма», раздел 10. 3 Эту тенденцию можно объяснить тем, что теории тем более удовлетворительны, чем лучше их можно подтвердить независимыми свидетельствами. Теории должны быть широкими и точными для того, чтобы их можно было подтвердить взаимно независимыми свидетельствами. 4 Высказывание «Все животные равны, однако некоторые являются более равными, чем другие», дает прекрасный пример выражения, которое «бессмысленно» в техническом смысле Рассела и Витгенштейна, хотя далеко не бессмысленно в контексте «Скотного двора» Оруэлла. Любопытно, что позднее Оруэлл рассмотрел возможность создать и навязать язык, в котором утверждение «Все люди равны» было бы бессмысленно в техническом смысле Витгенштейна. 5 Поскольку Витгенштейн охарактеризовал свой собственный «Трактат» как бессмысленный (см. также следующее примечание), постольку он проводит различие, пусть неявное, между ценной или важной и пустой или неинтересной бессмыслицей. Однако это не затрагивает его главной идеи, которая здесь меня интересует, относительно того, что философских проблем не существует. (Обсуждение других идей Витгенштейна можно найти в примечаниях к моему «Открытому обществу», в частности, в прим. 26, 46, 51 и 52 к гл. 11.) 6 В нем сразу же можно заметить один недостаток: это учение само является философской теорией, претендующей на истинность и осмысленность. Возможно, это критическое замечание является слабым. На него можно ответить двумя способами. (1) Можно сказать, что данное учение действительно лишено смысла как учение, но не как деятельность. (Это позиция самого Витгенштейна, который в конце своего «Логико-философского трактата» говорит, что тот, кто понял его книгу, должен понять, что она бессмысленна, и отбросить ее как лестницу, по которой он поднялся и которая больше не нужна.) (2) Или же можно сказать, что данное учение является не фи- 158
лософским, а эмпирическим; что оно констатирует тот исторический факт, что все «теории», предложенные философами, на самом деле нарушают правила грамматики; что они действительно не удовлетворяют правилам тех языков, на которых они сформулированы; что этот недостаток невозможно устранить; что всякая попытка их правильного выражения неизбежно ведет к утрате ими философского характера (и обнажает, например, их эмпирическую тривиальность или ложность). Эти два аргумента спасают, как мне представляется, данное учение от противоречия, и оно становится «неопровержимым» (в смысле Витгенштейна) — по крайней мере для такого рода критики, о котором здесь говорится. (См. также следующее примечание.) 7 Процитированные слова принадлежат не ученому-критику, а представляют собой оценку Гегелем натурфилософии его предшественника и друга Шеллинга. См. мое «Открытое общество», прим. 4 к гл. 12. 8 Витгенштейн все еще придерживался мнения о том, что философских проблем не существует, когда я видел его в последний раз (в 1946 г. он председательствовал на бурном заседании Клуба моральных наук в Кембридже, посвященном обсуждению моей статьи «Существуют ли философские проблемы?». Поскольку я не видел ни одной из его неопубликованных рукописей, ходивших по рукам его учеников, я не знаю, в какой мере изменилось то, что здесь я называю его «учением». Однако в этой, наиболее фундаментальной и влиятельной части его концепция, как мне представляется, не изменилась. 9 См. прим. 51 (2) к гл. 11 моего «Открытого общества». ul ю я имею в виду недавнее построение Г. Крайзелем (Journal of Symbolic Logic, 17, 1952, 57) монотонной последовательности рациональных чисел, каждый член которой можно реально вычислить, но у которой нет вычислимого предела. Это по-видимому противоречит интерпретации классической теоремы Больцано—Вейерштрасса, но отвечает сомнениям Брауэра относительно этой теоремы. 10а После того как эта статья была опубликована, Шредингер говорил мне, что не помнит об этом и не думает, что мог бы сказать такое, однако само высказывание ему понравилось. (Добавление 1964 года: потом я обнаружил, что это высказывание принадлежит моему старому другу Францу Урбаху.) 11 До того, как Макс Борн предложил свою знаменитую вероятностную интерпретацию, уравнение Шредингера кое-кто мог бы счесть бессмысленным. (Однако я так не думаю.) 12 Любопытно, что подражатели всегда склонны верить в то, что «мастер» выполнил свою работу с помощью секретного метода или приема. Известно, что во времена И.С. Баха некоторые музыканты были убеждены в том, что у него имеется секретная формула построения фуги. 159
Интересно также заметить, что все философские системы, пользовавшиеся популярностью (насколько я могу судить), открывали своим сторонникам некий метод достижения философских результатов. Это верно для гегелевского эссенциализма, который обучает своих приверженцев создавать произведения о сущности, природе или идее всего, чего угодно, — души, универсума или Универсального; это верно и для феноменологии Гуссерля, для экзистенциализма, а также для анализа языка. 13 Я имею в виду замечание проф. Гилберта Райла, который на с. 20 своей работы «Понятие сознания» говорит: «Прежде всего, я пытаюсь привести в порядок свою собственную систему». (Райл Г. Понятие сознания. М, 2000.) 14 Уже в своей «Логике научного исследования» 1934 г. я указывал на то, что, например, теорию Ньютона можно интерпретировать либо как фактуальную, либо как состоящую из неявных определений (в смысле Пуанкаре и Эддингтона), и что принимаемая физиком интерпретация выражается не столько в том, что он говорит, сколько в его отношении к проверкам его теории. Я указывал также на то, что существуют неаналитические теории, которые непроверяемы (следовательно, не являются a posteriori), но оказывают большое влияние на науку. (Примерами могут служить первоначальная атомная теория или ранняя теория действия посредством контакта.) Такие непроверяемые теории я назвал «метафизическими» и утверждал, что они не являются бессмысленными. Упомянутая в тексте простая дихотомия недавно была подвергнута критике с очень разных сторон Ф. Хейне-маном (Proc. of the X,h Intern. Congress of Philosophy, Fasc. 2, 629, Amsterdam, 1949), У. Куайном и Мортоном Уайтом. Опять-таки можно заметить, что данная дихотомия в ее точном смысле применима только к формализованным языкам, следовательно, она непригодна для тех языков, которыми мы должны пользоваться до всякой формализации, т.е. для тех языков, в которых сформулированы все традиционные философские проблемы. 15 В своей книге «Открытое общество и его враги» я пытался выявить другие внефилософские — политические — корни этого учения. Я рассмотрел там (в примечании 9 к гл. 6 исправленного 4-го издания 1962 г.) также и ту проблему, которой мы занимаемся в данном разделе, хотя под несколько иным углом зрения. Указанное примечание несколько пересекается с настоящим разделом, но в значительной мере они дополняют друг друга. Важные ссылки (особенно на Платона), опущенные здесь, можно найти в этом примечании. 16 Некоторые историки отрицают, что термин «наука» применим к построениям, возникшим до шестнадцатого или даже до семнадцатого столетия. Однако если оставить в стороне споры относительно обозначений, сегодня, я полагаю, уже нет никаких сомнений в существовании удивительного сходства, если не сказать «тождества», це- 160
лей, интересов, деятельности, способов рассуждения и методов, скажем, Галилея и Архимеда, Коперника и Платона, Кеплера и Аристарха («Коперника античности»). Всякие сомнения относительно глубокой древности научного наблюдения и тщательных вычислений, опирающихся на наблюдение, были рассеяны благодаря обнаружению новых данных по истории древней астрономии. Теперь мы можем провести параллели не только между Тихо и Гиппархом, но даже между Хансеном (Hansen) (1857) и Киденом Халдейским (314 н.э.), чьи вычисления «констант для движения Солнца и Луны» сравнимы по точности с вычислениями лучших астрономов девятнадцатого века. «Оценки Кидена хотя и уступают оценкам Броуна, все-таки точнее по крайней мере одной из ныне принятых оценок», — писал Дж.К. Фотрингам в 1928 году в своей прекрасной статье The Indebtedness of Greek to Chaldean Astronomy (The Observatory, 1928, 51, n. 653), на которую и опирается мое суждение о древности вычислительной астрономии. 17 Если верить известному описанию Аристотеля в «Метафизике». 18 Платоновское разграничение (episteme — doxa) через Пармени-да восходит к Ксенофану (истина — предположение или кажимость). Платон ясно осознал, что все знание видимого, изменчивого мира явлений представляет собой doxa, что оно заражено неопределенностью даже в том случае, если использует episteme — знание неизменных «форм» и чистой математики, и даже если интерпретирует видимый мир с помощью теории невидимого мира. См. «Кратил», 439Ь, «Государство», 476d и особенно «Тимей», 29Ь, где это разделение применяется к тем частям собственной теории Платона, которые сегодня мы назвали бы «физикой» или «космологией» или, еще более широко, «естествознанием». Они принадлежат, говорит Платон, к области doxa (несмотря на то что наука = scientia = episteme; см. мои замечания об этой проблеме в гл. 20 ниже). Об иной точке зрения на отношение Платона к Пармениду см.: Sir David Ross, Plato's Theory of Ideas, Oxford, 1951, p. 164. 19 Карл Рейнгардт в своем «Пармениде» (1916; второе издание 1959 г., с. 220) высказывается весьма убедительно: «История философии есть история ее проблем. Если вы хотите объяснить творчество Гераклита, сначала скажите, какие проблемы перед ним стояли». Я с этим полностью согласен, но в отличие от Рейнгардта считаю, что проблемой Гераклита была проблема изменения — точнее говоря, проблема самотождественности (и нетождественности) изменяющейся вещи в процессе изменения. (См. также мое «Открытое общество», гл. 2.) Если согласиться с мнением Рейнгардта о наличии тесной связи между Гераклитом и Парменидом, то при таком понимании проблемы Гераклита система Парменида становится попыткой решить проблему парадоксов изменения за счет признания изменений нереальными. В отличие от этого Корнфорд и его сторонники следуют (161:) концепции Барнета, согласно которой Парменид был просто (инакомыслящим) пифагорейцем. Вполне может быть, что это верно, однако свидетельства в пользу этой концепции не говорят о том, что он не мог одновременно быть также учеником ионийцев. (См. также гл. 5 ниже.) 20 См. Платон. Теэтет, 181а и Секст Эмпирик. Против математиков (Веккег), X. 46, р. 485, 25. 21 Это можно увидеть из книги Эмиля Мейерсона «Тождество и реальность» — одного из наиболее интересных философских исследований развития физических теорий. Гегель (следуя Гераклиту, или представлению о нем Аристотеля) истолковал факт изменения (которое он считал внутренне противоречивым) доказательством существования противоречий в мире и, следовательно, ниспровержением «закона непротиворечия», т.е. принципа, гласящего, что наши теории любой ценой должны избегать противоречий. Гегель и его последователи (в частности, Энгельс, Ленин и другие марксисты) видели «противоречия» везде и во всем, а все философские системы, сохранявшие закон противоречия, обвиняли в «метафизичности», подразумевая под этим термином игнорирование изменчивости мира. (См. гл. 15 ниже.) 22 Переход от существования движения к существованию пустоты логически некорректен, ибо и переход Парменида от заполненности мира к невозможности движения неверен. По-видимому, Платон первым осознал, хотя и смутно, что в заполненном мире возможно круговое или вихревое движение при условии, что в мире существует некая жидкая среда. (В чашке чая чаинки движутся вместе с жидкостью.) Эта идея, впервые нерешительно высказанная в «Тимее» (где пространство «заполнено», 52е), становится основой картезианства и теории «светоносного эфира», удержавшейся до 1905 года. (См. также прим. 44 ниже.) 23 Теория Демокрита допускала также атомы большой величины, однако подавляющее большинство его атомов было ничтожно мало. 24 См.: «Нищета историцизма», разд. 3. 25 Под влиянием платоновского «Тимея», 55, где потенции элементов объясняются с помощью геометрических свойств (следовательно, субстанциальных форм) соответствующих тел. 26 Бесплодность «эссенциалистской» (см. прим. 2 выше) теории субстанции обусловлена ее антропоморфизмом, поскольку доверие к субстанциям (как заметил Локк) вытекает из опыта самотождественного, но изменяющегося и проявляющего себя индивида. Вместе с тем, хотя можно радоваться тому, что субстанция Аристотеля была устранена из физики, нет ничего ошибочного, как заметил проф. Хайек, в антропоморфном представлении о человеке, и нет философских или каких-либо априорных причин для ее устранения из психологии. 27 См. прим. к 6 гл. 3 ниже. 162
28 См.: Демокрит. Фрагменты, фрагмент 11 (см.: Анаксагор, фрагмент 21, а также фрагмент 7). 29 См.: Секст Эмпирик. Против математиков (Веккег), VII, 140, р. 221, 23Ь. 30 «Релятивистскими» в смысле философского релятивизма, например, учения Протагора о homo mensura*. К сожалению, до сих пор еще приходится обращать внимание на то, что теория Эйнштейна не имеет ничего общего с этим философским релятивизмом. «Позитивистские» тенденции можно встретить у Бэкона, в теории (к счастью, не в практике) Королевского общества, у Маха (выступавшего против атомной теории) и теоретиков чувственно данного. 31 См.: Diets, фрагмент 155, который можно интерпретировать в духе Архимеда (ed. Heiberg) II2, p. 428f. См. важную статью: S. Luria, Die Infinitesimalmethode der antiken Atomisten (Quellen & Studien zur Gesch. D. Math., B. 2, Heft 2, 1932, p. 142.) 32 См.: A. March, Natur und Erkenntnis, Vienna, 1948, p. 193f. 33 См.: S. Luria, op. cit., esp. pp. 148, 172. Мисс А.Т. Николе в статье Indivisible Lines (Class. Quarterly, XXX\ 1936, 120f.) утверждает, что два отрывка — один из Плутарха, а другой из Симплиция — показывают, почему Демокрит «не мог бы верить в неделимые размеры». Однако она не рассматривает точки зрения Луриа, высказанной в 1932 г., которая представляется мне гораздо более убедительной, тем более если помнить о том, что Демокрит стремился ответить Зенону (см. следующее примечание). Но как бы то ни было, Платон, по-видимому, считал, что атомизм Демокрита требует пересмотра в свете открытия иррациональности. Правда, Хит (Heath) (Greek Mathematics, I, 1921, p. 181 со ссылками на Симплиция и Аристотеля) также считает, что Демокрит не мог говорить о существовании неделимых расстояний. 34 Этот исходный пункт для ответа был сохранен Аристотелем в работе «О возникновении и уничтожении», 316а, 14. Этот важный отрывок впервые был идентифицирован как принадлежащий Демокриту И. Хаммером Йенсеном в 1910 году и тщательно проанализирован Луриа, который говорит (op. cit., p. 135) о Пармениде и Зеноне: «Демокрит заимствовал их аргументы, однако пришел к противоположному выводу». 35 См.: G.H. Hardy and E.M. Wright, Introduction to the Theory of Numbers, 1938, pp. 39, 42, где можно найти весьма интересное историческое замечание о доказательстве Феодора, представленного в «Теэ-тете» Платона. См. также статью: А. Wasserstein, Theaetetus and the History of the Theory of Numbers. — Classical Quarterly, 8, n. 5, 1958, pp. * Буквально: «человек измеряющий (лат.). Речь идет об известном тезисе Протагора: «Человек есть мера всех вещей». — Примеч. пер. 163
165— 79, содержащую лучшее из известных мне рассмотрений данной темы. 36 А не «Об иррациональных отрезках и атомах», как я перевел в прим. 9 к гл. 6 моего «Открытого общества» (второе издание). Это название лучше было бы передать (рассматривая отрывок из Платона, упоминаемый в следующем примечании) как «О безумных отрезках и атомах». См.: Н. Vogt, Bibl. Math., 1910, 10, /47(против которого выступает Хит, op. cit., 156 и далее, но, как мне представляется, не вполне удачно), и S. Luria, op. cit., pp. 168, который убедительно доказывает, что в работах Аристотеля (De insec. lin., 968b 17) и Плутарха (De comm. Notit., 38, 2, p. 1078f.) имеются следы произведения Демокрита. Согласно этим источникам, Демокрит рассуждал следующим образом. Если отрезки бесконечно делимы, то они должны состоять из бесконечного числа единиц и, следовательно, все они соотносятся как оо : оо, т.е. все они «несопоставимы» (не имеют пропорций). В самом деле, если отрезки рассматривать как классы точек, то — согласно современным представлениям — кардинальное «число» (мощность) точек какого-либо отрезка будет одним и тем же для всех отрезков независимо от их конечности или бесконечности. Этот факт был назван «парадоксальным» (например, Больцано) и вполне мог быть оценен как «безумный» Демокритом. Можно заметить, что по мнению Брауэра даже классическая теория континуума приводит, по сути дела, к тем же результатам. Брауэр утверждает, что всякий классический континуум обладает нулевой мерой, так что отсутствие рациональности выражается здесь соотношением 0:0. Результат Демокрита (и его теория ameres) был неизбежен для геометрии, опиравшейся на пифагорейский арифметический метод, т.е. на подсчет точек. 37 Это согласуется с фактом, упомянутым в примечании, взятом из «Открытого общества», относительно того, что термин «alogos» лишь гораздо позже стал использоваться как синоним «иррационального» и что Платон, ссылающийся на название труда Демокрита («Государство», 534), употребляет термин «alogos» в смысле «безумный». Насколько мне известно, он никогда не употреблял его как синоним «arrhetos». 38 Prodi Diadochi in primum Euclidis Elementorum librum commentarii, ed. G. Friedlein, Leipzig, 1873, 7—21. 39 См. Прокл, op. cit., pp. 428, 21-429, 8. 40 История упоминает о некоем Гиппасе, фигуре достаточно туманной; говорят, он утонул в море (см. Diets, 4). См. также статью А. Вассерштейна, упомянутую в прим. 35 выше. 41 См. С. Луриа, в частности, о Плутархе, op. cit. 42 «Вторая аналитика», 76Ь9; «Метафизика», 983а20. См. также «Epinomis», 990d. 43 Платон принимает теорию вихрей Демокрита (Diets, фрагмент 167, 164; См. Анаксагор, Diets (9 и 12, 13; см. также два следующих 164
примечания) и его теорию того, что сегодня мы назвали бы гравитационными явлениями (Diels, 164; Анаксагор, 12, 13, 15 и 2). Эта теория была несколько модифицирована Аристотелем и в конечном итоге отброшена Галилеем. 44 Наиболее ясный отрывок находится в «Тимее», 80с, где говорится, что ни в случае с (натертым) янтарем, ни в случае с «гераклейским камнем» (магнитом) нет никакого реального притяжения; «пустоты не существует и вещи толкают друг друга». С другой стороны, у Платона нет ясности в этом вопросе, ибо его элементарные частицы (отличные от куба и пирамиды) не могут соединяться друг с другом без (пустого) пространства между ними, что отметил Аристотель в работе «О небе», 306Ь5. См. также примечание 22 выше (и «Тимей», 52е). 45 Объединение Платоном атомизма и теории полноты (plenum) универсума («природа не терпит пустоты») играло важную роль в истории физики с древности до наших дней. Оно оказало большое влияние на Декарта, служило основой теории эфира и света и в конечном итоге через посредство Гюйгенса и Максвелла стало базисом волновой механики де Бройля и Шредингера. См. мой доклад в Atti d. Congr. Intern. Di Filosofla (1958), I960, pp. 367/. 46 Исключение составляет новое появление арифметических методов в квантовой теории, например, в электронной теории периодической системы, опирающейся на принцип исключительности Паули; это обращение тенденции Платона к геометризации арифметики (см. ниже). По поводу современной тенденции к «арифметизации геометрии» (которая никоим образом не характерна для всех современных работ в области геометрии) или анализа следует заметить, что она мало похожа на подход пифагорейцев, поскольку основным средством здесь являются множества или бесконечные последовательности, а не сами натуральные числа. Только те ученые, которые принимают «конструктивистские», «финитистские» или «интуиционистские» методы в теории чисел — в противоположность теоретико-числовым методам, — могут претендовать на то, что их попытки свести геометрию к теории чисел напоминают идеи арифметизации пифагорейцев или до-платоников. Важный шаг в этом направлении сделан, по-видимому, совсем недавно немецким математиком Э. Де Ветте (Е. de Wette). 47 Близкую оценку влияния Платона и Евклида см. в: G.F. Hemens, Proc. of the Xh Intern. Congress of Philosophy (Amsterdam, 1949), Fasc. 2, 847 48 См. объяснение видимого мира Трои Гомером с помощью невидимого мира Олимпа. У Демокрита эта идея отчасти теряет свой теологический характер (который все еще сильно чувствуется у Парменида, но уже меньше — у Анаксагора), вновь обретает его у Платона и вскоре вовсе его лишается. (165:) 49 См. прим. 27 выше и Анаксагор, фрагменты В4 и 17, Diels— Kranz. 50 О процессе, благодаря которому эти треугольники отпечатываются в пространстве («мать») с помощью идей («отец»), см. мое «Открытое общество», прим. 15 к гл. 3, а также прим. 9 к гл. 6. Допуская иррациональные треугольники на свои небеса божественных форм, Платон допускает нечто «неопределенное» в смысле пифагорейцев, т.е. нечто, лежащее на «плохой» стороне таблицы оппозиций. Впервые возможность допущения «плохих» вещей была отмечена в «Пармениде», 130Ь—е; это замечание вложено в уста самого Парменида. 51 В последнем упомянутом примечании моего «Открытого общества». 52 Это означало бы, что все геометрические отрезки (величины) соизмеримы с одной из трех «мер» (или их суммой), относящихся как 1: 2: 3. По-видимому, Аристотель даже считал, что все геометрические величины соизмеримы с одной из двух мер, а именно, с 1 и 2. Он пишет («Метафизика», 1053а17); «Диагональ и сторона квадрата, а также все (геометрические) величины измеряются двумя (мерами)». (См. замечание Росса об этом отрывке.) 53 В прим. 9 к гл. 6 моего «Открытого общества», упомянутого выше, я предположил также, что Платона к его ошибочной теории подтолкнуло приближение 2 + 3 к числу п. 54 Эти две цитаты взяты из «Тимея», 53c/d и 54а/Ь. 55 Я полагаю, наш анализ может пролить некоторый свет на проблему двух знаменитых «принципов» Платона — «Единица» («The One») и «Неопределенная диада» («The Indeterminate Dyad»). Предлагаемая ниже интерпретация развивает предположение ван дер Вейлена (Van der Wielen. De Ideegetallen van Plato, 1941, p. 132/.), которое превосходно защитил от собственной критики ван дер Вейлена Росс (Ross. Plato's Theory of Ideas, p. 201). Мы предполагаем, что «Неопределенной диадой» является прямая линия или расстояние, которые нельзя истолковать как единичное расстояние или что-то, имеющее измерение. Мы предполагаем, что точка (предел, monas, «Единица») последовательно помещается в такие положения, что для любого натурального числа п она разделяет диаду в отношении \\п. Тогда «образование» чисел мы можем описать следующим образом. Для п = 1 диада разделяется на две части в отношении 1:1. Это можно истолковать как «образование» Двойственности из Единичности (1:1 = 1) и диады, поскольку мы разделили диаду на две равные части. «Образовав» таким образом число 2, мы можем разделить диаду в отношении 1:2 и получить, таким образом, три равные части и число 3. В общем, «образование» числа п позволяет разделить диаду в отношении \.п и получить число п + 1. (На каждом этапе «Единица» выступает как точка, которая вводит предел, форму или меру в «неопределенную» диаду для создания нового числа. Это замечание может усилить по- 166
зицию Росса в споре с ван дер Вейленом. См. также статьи Теплица, Штенцеля и Беккера в Quellen & Studien z. Gesch. d. Math., 1, 1931. Однако ни в одной из них не говорится о геометризации арифметики, несмотря на использование геометрических фигур на с. 476.) Теперь следует отметить, что хотя эта процедура «производит» (по крайней мере в первом примере) только последовательности натуральных чисел, тем не менее в ней содержится геометрический элемент — разделение линии сначала на две равные части, а затем на части согласно определенной пропорции \:п. Оба вида разделения требуют геометрических методов, а второй нуждается в теории пропорций Евдокса. Я предполагаю, что Платон стал спрашивать себя, почему бы не разделять диаду в пропорции 1: V2 или 1: V5. Здесь он должен был почувствовать, что это было бы отходом от метода производства натуральных чисел, отходом от «арифметических» и принятием «геометрических» методов. Но вместо натуральных чисел это позволило бы «произвести» линейные элементы в пропорции 1: >/2 и 1:V3 и отождествить их с «атомными линиями» («Метафизика», 992а 19), из которых строятся атомные треугольники. В то же время характеристика диады как «неопределенной» стала в высшей степени подходящей, если учесть позицию пифагорейцев (см. Филолай, Diets, фрагменты 2 и 3) по отношению к иррациональности. (Возможно, выражение «великое и малое» стало постепенно заменяться выражением «неопределенная диада» после введения иррациональных пропорций в дополнение к рациональным.) Если это верно, то мы могли бы предположить, что Платон постепенно приходил (начиная с «Гиппия Большого», т.е. задолго до «Государства», в противоположность мнению Росса, op. cit., p. 56) к осознанию того факта, что иррациональности являются числами, так как (а) они сравнимы с числами («Метафизика», 1021а4) и (б) натуральные числа и иррациональности «производятся» посредством сходных и по сути геометрических процессов. Как только это было осознано (впервые, по-видимому, в «Epinomis», 990-е; я думаю, это произведение принадлежит Платону, хотя это и не так важно), то даже иррациональные треугольники «Тимея» становятся «числами» (т.е. характеризуются числовыми, пусть даже иррациональными, пропорциями). Однако здесь важные идеи Платона и разница между его теорией и теорией пифагорейцев могли стать совершенно неразличимыми. Это объясняет, почему этой разницы не заметил даже Аристотель (который допускал и «геометризацию», и «арифметизацию»). 56 Именно таково было мнение Аристотеля, как показал Луриа, op. cit. 57 Он боялся, что может умереть, не закончив своего труда. 58 См. письма Ньютона к Бентли, 1693. (См. прим. 20 к гл. 3 ниже.) (167:) 59 Так называемая гипотеза Канта—Лапласа, опубликованная Кантом в 1755 г. 60 Конечно, высказывались вполне справедливые критические замечания (в частности, Лейбницем и Беркли), однако перед лицом успехов теории казалось (и, я думаю, правильно), что критика бьет мимо цели. Не следует забывать, что и в наши дни эта теория с небольшими модификациями все еще сохраняется в качестве превосходного первого приближения (или, если учесть Кеплера, в качестве второго приближения). 61 Кант говорит здесь, что Ньютон создал «тот ясный и для всякого будущего неизменный взгляд на мироздание, который, как можно надеяться, при дальнейшем наблюдении всегда будет развиваться, но никогда — этого бояться не надо — не будет деградировать». — Иммануил Кант. Критика практического разума. СПб., Наука, 1995, с. 258. 62 Еще в 1909 г. этот вопрос сильно беспокоил Пуанкаре. 63 Главное требование, которому должна удовлетворять любая адекватная теория познания, заключается в том, что она не должна объяснять слишком много. Любая внеисторическая теория, объясняющая, почему было сделано то или иное открытие, должна потерпеть крушение, ибо невозможно объяснить, почему это открытие не было сделано раньше. 64 В свете примечания 63 ни одна теория не может объяснить, почему наш поиск объяснительных теорий оказывается успешным. Успешное объяснение должно обладать нулевой вероятностью, если измерять вероятность посредством отношения «успешных» объяснительных гипотез ко всем гипотезам, которые способен изобрести человек. 65 Идея такого «ответа» была развита мной в «Логике» (1935, 1959 и более поздних изданиях). 66 См. примечание 61 и текст выше. 67 См. мое «Открытое общество», прим. 58 к гл. 12. (168:) Каталог: library library -> Қазақстан республикасы білім және ғылым министрлігі жүсіпов нартай қуандықҰЛЫ library -> Казахстан республикасының Ғылым және білім министрлігі library -> Азамат Тілеуберді library -> Қырықбай Аллаберген тарих және баспасөЗ Қазақ мерзімді баспасөзінде тарихтың «ақтаңдақ» мәселелерінің жазылуыбаспасөзінде тарихтың жүктеу/скачать 6,99 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|