Преобразование фурье в примерах и задачах
жүктеу/скачать 0,67 Mb.
|
Преобразование Фурье
| Совершим алгебраические преобразования в показателе экспоненты
Вынося за знак интеграла множитель, не зависящий от переменной интегрирования, получим интеграл вида Сделав в интеграле замену переменной получим Здесь мы воспользовались известным интегралом Пуассона: Доказательство c использованием свойств преобразования Фурье свертки. Из формулы (15), доказанной в примере 18, следует Используя свойство преобразования Фурье для быстро убывающих функций при n = 1 и формулу обращения, получаем что и требовалось доказать. ПРИМЕР 26. если где гамма-функция (или интеграл Эйлера второго рода). Решение. Так же, как в примере 25, решим задачу двумя способами. 1. Доказательство по определению. Запишем свертку функций Выполнив в интеграле подстановку y = xz, получим Последний интеграл является бета-функцией (или интегралом Эйлера первого рода), который связан с гамма-функцией зависимостью Тогда вычисляемую свертку можно переписать в виде Доказательство c использованием свойств преобразования Фурье свертки. Найдем преобразование Фурье для функции Совершив замену переменной в интеграле получим где — прямая, задаваемая уравнением x ∈ (0, +∞) в комплексной плоскости. Покажем, что последний интеграл равен интегралу Воспользуемся обобщенной теоремой Коши из курса теории функций комплексного переменного. Если f(z) есть функция, аналитическая в области D, внутренней к жордановой спрямляемой кривой L, и кроме того, f(z) непрерывна в замкнутой области , то Теорема Коши применима, если на границе нет особых точек, но подинтегральная функция в интеграле (17) имеет особенность в нуле при 0 < a < 1, поэтому вырежем особую точку 0 малой окружностью радиуса ε. Получившаяся область интегрирования приведена на рис. 10. Функция является аналитической в замкнутой области ограниченной контуром . Беря этот контур интегрирования L, найдем по теореме Коши, примененной к функции , интеграл: Рис. 10. Контур интегрирования L На отрезке имеем z = x, dz = dx и интеграл На дуге получаем и интеграл На дуге переменная и интеграл Оценим интеграл при Здесь мы воспользовались тем, что Последнее неравенство выполняется вследствие того, что косинус убывает при увеличении угла от до При этом так как Оценим интеграл при Следовательно, из равенства (18) вытекает, что Учитывая, что интегрирование по отрезку идет в направлении, противоположном направлению интегрирования по отрезку , получаем при ε → +0 и R → +∞ Таким образом, мы нашли, что преобразование Фурье функции равно Произведение преобразований Фурье функций и равно а преобразование Фурье функции и равно Следовательно, Используя свойство преобразования Фурье для быстро убывающих функций при n = 1 и формулу обращения, получаем что и требовалось доказать. 2.2.6. Формула Пуассона Теорема (формула Пуассона). Если быстро убывающая функция, то ПРИМЕР 27. Докажите следующее соотношение, называемое θ-формулой и играющее важную роль в теории эллиптических функций и теории теплопроводности: Решение. Определимся с тем, что взять за функцию или . В силу формулы обращения это не существенно, от этого выбора будет зависеть только то, насколько громоздкими будут выкладки. Пусть Совершив замену x = 2πn от дискретной переменной n, перейдем к непрерывной переменной x. Тогда По формуле (15) из примера 18 имеем Подставив в формулу Пуассона (19) значение преобразования Фурье функции в точке n, получим откуда что требовалось доказать. ПРИМЕР 28. С помощью формулы Пуассона вычислите сумму ряда Обратите внимание, что участвующая в вычислениях функция не является быстро убывающей. Обоснуйте для нее законность применения формулы Пуассона. Решение. В примере 22 мы вычислили преобразование Фурье функции и показали, что функция не является быстро убывающей. По формуле обращения имеем Применив формально формулу Пуассона для функции не являющейся быстро убывающей, получим Представим ряд в виде суммы рядов с положительными и отрицательными индексами суммирования В сумме сделаем замену n = −k и раскроем модуль, в результате получим Сумма в правой части равенства является бесконечной геометрической прогрессией со знаменателем, равным Найдем сумму ряда по формуле суммы геометрической прогрессии Аналогично найдем сумму для n ≥ 0 Тогда Преобразуем последнюю дробь Теперь докажем, что мы имели право использовать формулу Пуассона для функции которая не является быстро убывающей. При доказательстве теоремы (формулы Пуассона) использовалось неравенство выполняющееся для быстро убывающей функции, для обоснования равномерной сходимости ряда где x ∈ [−π; π]. В свою очередь, равномерная сходимость этого ряда нужна для обоснования почленного интегрирования ряда Следовательно, показав, что ряд, составленный из производных, сходится равномерно, мы убедимся в законности применения формулы Пуассона. Оценим ряд В первой сумме выполним замену n = −k, и приняв во внимание, что x ∈ [−π; π], получим Слагаемое с индексом n = 0 оценим следующим образом: Собрав вместе все слагаемые, получим Мы показали, что каждое слагаемое функционального ряда (20) не превосходит соответствующее слагаемое сходящегося числового ряда, следовательно, ряд (20) сходится равномерно и применение формулы Пуассона законно. ЗАДАЧИ Найти преобразование Фурье следующих функций Ответы 2.3. О некоторых применениях преобразования Фурье Преобразование Фурье широко применяется для решения различных задач математической физики. Преобразование Фурье искомой функции часто удовлетворяет значительно более простому уравнению, чем сама искомая функция. Поэтому для решения краевых задач математической физики преобразование Фурье применяется по следующей схеме: сначала подвергают преобразованию Фурье уравнение, которому удовлетворяет искомая функция, и таким путем получают уравнение для ее образа Фурье; затем, найдя из этого уравнения преобразование Фурье используемой функции, находят с помощью обратного преобразования Фурье саму искомую функцию. 2.3.1. Краевые задачи Общее решение дифференциального уравнения n-го порядка содержит n произвольных постоянных, т. е. обладает n степенями свободы. Чтобы выделить из общего решения какое-либо частное, мы пользуемся начальными и граничными условиями. При задании начальных условий искомая функция и ее производные задаются при одном значении аргумента. Это особенно естественно, если независимой переменной служит время, т. е. изучается развитие некоторого процесса: тогда начальные условия просто служат математической записью начального состояния процесса. Именно поэтому применяются наименования начальные условия, начальная задача и в случае, если независимая переменная имеет другой физический смысл (задача Коши). Однако бывают задачи с другой постановкой, например, задаются значения функции в двух точках. Так, в простейшей задаче о поперечных колебаниях струны, закрепленной на концах, фиксируются положения концов струны, т. е. задаются граничные условия. Таким образом, дополнительные условия состоят из граничных и начальных условий, которые вполне определяют частное решение дифференциального уравнения, а задача о решении дифференциального уравнения при заданных граничных и начальных условиях называется краевой задачей. 2.3.2. Задача о колебаниях струны В качестве примера применения преобразования Фурье решим краевую задачу о колебаниях струны. Изучая тему «Ряды Фурье», мы вывели уравнение свободных малых поперечных колебаниий струны и решали его методом Фурье при различных начальных и граничных условиях, используя представление функции рядом Фурье. Теперь решим эту задачу, применяя преобразование Фурье. ПРИМЕР 29. Найдите функцию , удовлетворяющую одномерному волновому уравнению и начальным условиям Напоминание: u — дважды непрерывно дифференцируемая функция, характеризующая отклонение струны от положения равновесия, функция f(x) задает начальное положение струны, а функция g(x) — скорость струны в начальный момент. Если g(x) = 0, то эта модель описывает движение гитарной струны, а если , то — движение скрипичной струны. Решение. Будем считать, что функции f(x) и g(x) быстро убывающие (так как колебаниия малые, то движение локализовано в конечной области и вне этой области функции быстро зануляются). Решим эту задачу, применяя преобразование Фурье, по переменной x. Обозначим через преобразование Фурье ; Найдем дифференциальное уравнение для используя то, что удовлетворяет волновому уравнению (21). Продифференцируем по параметру t интеграл (23) (обосновать дифференцируемость пока не можем, обоснуем после получения ответа) Таким образом, от дифференцирования функции по параметру t мы перешли к дифференцированию функции по переменной x. Воспользовавшись свойством дифференцирования преобразования Фурье получим (α = 2) Следовательно, для преобразования Фурье v(t, y) искомой функции u(t, x) получается уравнение значительно более простое, чем уравнение (21). В этом уравнении мы считаем, что y — фиксированный параметр, тогда уравнение (24) — это обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, в то время как уравнение (21) — это дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных. Из равенства (22) при t = 0 находим начальное условие для : Решение дифференциального уравнения ищем в виде Определим функции A(y) и B(y) из условий (25) и (26) Подставляя найденные функции A(y) и B(y) в равенство (27), получаем для преобразования Фурье искомой функции выражение Чтобы найти u(t, x), применим к равенству (28) обратное преобразование Фурье по переменной y жүктеу/скачать 0,67 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|