Преобразование фурье в примерах и задачах
жүктеу/скачать 0,67 Mb.
|
Преобразование Фурье
| Рис. 2. График функции a(y)
ПРИМЕР 2. Решение. Интеграл, стоящий в левой части уравнения представляет интеграл Фурье, содержащий только синусы. Здесь роль функции, являющейся прямым синус-преобразованием, играет функция Как следует из пункта 1.3., в этом виде представимы нечетные функции. Убедимся, что к нечетной функции можно применить теорему о представимости кусочно-гладкой функции в точке своим интегралом Фурье. На рис. 3 представлен график этой функции. Рис. 3. График функции f(x) Очевидно, что функция является абсолютно интегрируемой и кусочно-гладкой: ; на каждом из промежутков она непрерывно дифференцируема; также в точках x = ±π существуют и конечны пределы, похожие на левую и правую производные: В силу теории интеграла Фурье мы не будем вычислять интеграл а вычислим интеграл Так как функция, заданная соотношением (10), является нечетной, то, подставив в формулу (8) выражение f(x), получим Это доказывает, что интеграл совпадает с функцией f(x), заданной уравнением (10). На рис. 4 представлен график синус-преобразования Фурье b(y) функции f(x). Рис. 4. График функции b(y) 1.4. Разложение на полупрямой В пункте 1.3 мы показали, что для четной функции интегральная формула Фурье содержит только косинусы, а для нечетной — только синусы. Пусть теперь функция задана лишь в промежутке и удовлетворяет в этом промежутке условиям, аналогичным тем, которые были поставлены ко всему промежутку .Тогда, продолжив функцию четным образом на промежуток , получим формулу (7), а нечетное продолжение даст формулу (8). Для положительных значений мы можем пользоваться как формулой (7), так и формулой (8). ПРИМЕР 3. Представьте интегралом Фурье функцию продолжив ее а) четным и б) нечетным образом на промежуток . Решение. Очевидно, что функция удовлетворяет условиям теоремы о представимости кусочно-гладкой функции в точке своим интегралом Фурье. В этом читатель может легко убедиться самостоятельно. а) Продолжив функцию f(x) на промежуток (−∞, 0) четным образом, вычислим прямое косинус-преобразование Фурье В силу четности продолженной функции . Таким образом, интегральная формула Фурье для функции имеет вид Проверим на этом примере формулу Фурье. Из курса математического анализа известно, что интеграл Дирихле В силу того, что функция абсолютно интегрируема в промежутке [0, +∞), запишем для нее обратное косинус-преобразование Фурье Таким образом, мы показали, что обратное преобразование Фурье функции совпадает с функцией . б) Продолжив функцию f(x) на промежуток (−∞, 0) нечетным образом, вычислим прямое синус-преобразование Фурье В силу нечетности продолженной функции a(y) = 0. В этом случае интегральная формула Фурье для функции f(x) имеет вид Сопоставляя пункты а) и б), видим что для положительных значений x Решите следующие интегральные уравнения (примеры 4–7), считая, что параметр a > 0, а x изменяется в указанных пределах. ПРИМЕР 4. Решение. Интеграл, стоящий в левой части уравнения, является обратным косинус-преобразованием Фурье четной функции. Продолжим функцию на промежуток (−∞, 0) четным образом и вычислим для нее прямое косинус-преобразование Фурье (предоставляем читателю самостоятельно убедиться в том, что функция g(x) удовлетворяет условиям теоремы о представимости кусочногладкой функции в точке своим интегралом Фурье). Здесь мы считаем, что Известный интеграл Лапласа здесь вычислять не будем. В силу четности продолженной функции . Интеграл сходится при Поэтому искомой функцией будет Это решение уравнения является единственным, так как функции a(y) и b(y) находятся единственным образом по совершенно определенному правилу. ПРИМЕР 5. Решение. В примере 4 мы решили это уравнение в случае, когда переменные x и y были положительными и функция g(x) была задана на полупрямой. В данном случае функция задана на всей вещественной прямой, и продолжать ее какимлибо образом нет необходимости. Но так как она является четной, то все рассуждения, приведенные в примере 4, имеют силу. Следовательно, решением уравнения является функция ПРИМЕР 6. Решение. Интеграл, стоящий в левой части уравнения, является обратным синус-преобразованием Фурье нечетной функции. Продолжим функцию на промежуток (−∞, 0) нечетным образом и вычислим для нее прямое синус-преобразование Фурье Этот интеграл в элементарных функциях не берется, поэтому оставим его в таком виде. В силу нечетности продолженной функции . Искомой функцией будет ПРИМЕР 7. Решение. В примере 6 мы решили это уравнение в случае, когда функция g(x) была задана на полупрямой. В данном случае функция задана на всей вещественной прямой, и продолжать ее произвольным образом мы не можем. Но так как она является четной, а интеграл Фурье в левой части уравнения имеет смысл только для нечетной функции, то данное уравнение не имеет решений. ЗАДАЧИ Представьте интегралом Фурье следующие функции: 1. 2. a) Используя интегральную формулу Фурье для функции f(x) из пункта a), вычислите интегралы 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Ответы 2. Преобразование Фурье Преобразование Фурье используется во многих областях науки — в физике, акустике, океанологии, оптике, обработке сигналов и многих других. 2.1. Преобразование Фурье абсолютно интегрируемых функций Преобразование, сопоставляющее кусочно-гладкой абсолютно интегрируемой функции f(x) новую функцию называется прямым преобразованием Фурье и обозначается через При этом функция называется прямым преобразованием Фурье функции Другое преобразование, сопоставляющее кусочно-гладкой абсолютно интегрируемой функции f(x) новую функцию называется обратным преобразованием Фурье и обозначается через . называется обратным преобразованием Фурье функции . Для функций, у которых и абсолютно интегрируемы, последовательное применение прямого, а затем обратного преобразований Фурье к кусочно-гладкой непрерывной функции не изменяет функцию. Аналогично можно убедиться, что и последовательное применение сначала обратного, а затем прямого преобразований Фурье к кусочно-гладкой непрерывной функции также 22 не изменяет исходную функцию. Символами эти утверждения записывают короче или и называют формулами обращения преобразования Фурье. В силу формул обращения функции и в определенном смысле равноправны. Однако (даже для вещественнозначной функции f), вообще говоря, функции и являются комплексно-значными. Чтобы избежать такой асимметрии, при изучении преобразования Фурье мы будем изначально предполагать, что рассматриваемые функции f принимают комплексные значения. Отметим, что разные источники могут давать определения, отличающиеся от приведенного выбором коэффициента перед интегралом, а также знака «–» в показателе экспоненты. Все свойства в этом случае будут аналогичны, хотя вид каких-то формул может измениться. Широкие возможности применения преобразования Фурье основываются на нескольких полезных свойствах этого преобразования, приведенных в следующих примерах. ПРИМЕР 8. Докажите, что (это простое наблюдение позволяет во всех последующих задачах реально вычислять только прямое преобразование Фурье). Решение. По определению запишем обратное преобразование Фурье в точке ПРИМЕР 9. Докажите линейность прямого и обратного преобразований Фурье, т. е. установите, что для любых комплексных чисел a и b справедливы равенства Решение. Запишем прямое и обратное преобразование Фурье для суммы Пользуясь свойством линейности интеграла, перепишем последний интеграл в виде суммы интегралов ПРИМЕР 10. Докажите, что формулы oбpaщения справедливы для комплексно-значных функций. Решение. Запишем формулы oбpaщения для комплекснозначной функции где и вещественно-значные функции, В силу линейности прямого и обратного преобразований Фурье перепишем уравнение в виде Считая a вещественным числом, а — непрерывной абсолютно интегрируемой функцией, докажите следующие равенства. ПРИМЕР 11. т. е. сдвиг по фазе у функции приводит к сдвигу по аргументу у ее преобразования Фурье. Решение. Запишем прямое преобразование Фурье для функции Следствием этого свойства являются следующие равенства: жүктеу/скачать 0,67 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|