Принцип максимума задачи типа Бицадзе-Самарского
Теорема 1. Решение задачи BS в классе функций , единственно. Имеет место следующий принцип максимума. Теорема 2
жүктеу/скачать 285 Kb.
|
1 2
Байланысты:Статья Джаманкараева М.А. ЮКГПИ Принцип максимума
- Бұл бет үшін навигация:
- Доказательство
| Теорема 1. Решение задачи BS в классе функций
, единственно. Имеет место следующий принцип максимума. Теорема 2. Пусть и для регулярного решения задачи BS выполняется неравенство , . (11). Тогда , . Доказательство: Через обозначим подобласть , ограниченную характеристиками и отрезком оси , через - подобласть , ограниченную характеристиками и отрезком оси , а через - характеристический четырехугольник, ограниченный характеристиками Общее решение уравнения , (12) удовлетворяющее условиям , (13) в области согласно формуле (5) представимо в виде (14) где (15) (16) Общее решение уравнения (12) в области , удовлетворяющее условию , (17), согласно соотношению (6) задается формулой , (18) где (19) Здесь произвольная гладкая функция, Определим следующую производную по направлению (20) Непосредственным вычислением из равенств (14) и (18) находим, что , (21) . (22) По условию теоремы 2- Поэтому из (21) и (22) следует, что . Из этих неравенств заключаем, что решение задачи BS при возрастает по направлению вектора в области и по направлению в области , начиная с отрезка . Отметим, что при направление не выходит из области , т.е. является внутренним направлением. Следовательно, при выполнении условий теоремы 2 регулярное решение задачи BS может достичь своего минимума на отрезке AB оси Пусть решение достигает своего минимума в точке Тогда, если в этой точке должно выполняться условие если если Отсюда следует, что регулярное решение задачи BS своего минимума не может достичь в точках , т.к. это противоречило бы принципу Заремба-Жиро. Следовательно, решение достигает своего минимума на . Поскольку , то в области Регулярное решение задачи BS в области представимо в виде: где Так как то из соотношения следует, что в .Таким образом, , тем самым теорема 2 доказана. Следует отметить, что пользуясь методом работы [1, с.1420], можно доказать существование собственной функции задачи BS. Литература: 1. Кальменов Т.Ш. О спектре задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе //Дифференц.уравнения, 1977.- Т.13, №8.-С.1418-1425. жүктеу/скачать 285 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|
1 2