Реферат пән: Геометрия Тақырыбы: Стереометрия Орындаған: фз-19-1 тобы Еркин Бердигул фз-19-1 тобы Бухтабаев Нурасыл

РЕФЕРАТ

Тақырыбы:Стереометрия

Орындаған:ФЗ-19-1 тобы Еркин Бердигул

ФЗ-19-1 тобы Бухтабаев Нурасыл

Тексерген:Рийған Рахатжанұлы

Сабақтың жоспары:

1.Мазмұны

2.Кіріспе

3.Негізгі бөлім

4.Қорытынды

Кіріспе

Стереометрия деп кеңістіктегі фигуралардың қасиеттерін зерттейтін геометрияның бөлімін айтады. Бір жазықтықта жатпайтын нүктелері бар фигура кеңістік. Стереометрия (гр. stereo - кеңістік, metreo - өлшеймін)[1] – элементар геометрияның кеңістіктегі фигуралардың қасиеттерін зерттейтін бөлімі. Стереометрия – геометрияның кеңістіктегі фигуралардың қасиеттерін зерттейтін бөлімі. Стереометрия сөзі гректің «стереос» - кеңістік және «метрео» - өлшеу деген мағынаны береді. Стереометрияда осыған дейінгі планиметрияның барлық аксиомалары, теоремалары мен заңдылықтары орындалады.

Стереометрияның жүйелі курсы дәл планиметрияның схемасы сияқты құрылады:

Анықтамасыз енгізілген негізгі геометриялық ұғымдар айтылады;

Негізгі ұғымдардың қасиеттері көрсеітлген аксиомалар тұжырымдалады;

Негізгі ұғымдар көмегімен басқа да геометриялық ұғымдардың анықтамалары енгізіледі;

Аксиомалар мен анықтамалардың негізінде теоремалар дәлелденеді.Стереометрия курсының негізгі мақсаттарының бірі – кеңістіктегі қарапайым геометриялық бейнелердің қалыптасқан түсініктерін тереңдету және кеңейту болып табылады.Стереометрияда анықтама берілмейтін ұғымдар қатарына нүкте, түзу және жазықтық жатады.Нүкте туралы түсінікте өте кіші өлшемді денелер – атом, молекула; түзу туралы – керілген жіп немесе жіңішке жарық сәулесі; жазықтық туралы түсінікті – үстел беті, қабырға, су беті бере алады. Бірақ, бұл мысалдардың барылығы түзу немесе жазықтық туралы толық ұғым қалыптастыра алмайды, себебі, барлық физикалық денелер өте үлкен өлшемді болуы мүмкін, бірақ олар шексіз үлкен бола алмайды. Геометрияда түзу де, жазықтық та шексіз: оларды барлық бағытта шексіз созылған деп елестету керек. Егер нүкте, түзу және жазықтақ –гемоетриялық сөйлемдерде сөйлемдерде айтылатын заттар –бастауыштар болса,онда олардың «параллель болуы»,перпендикуляр болуы», «тиісті болуы», «қиылысуы», т.б. сөздері баяндауыш болады; олар заттар арасындағы қатынастарды көрсетеді. Негізгі ұғымдарға «тиісті болуы», «қиылысуы», «теңелу» және т.б. қатынастарда қосылады.

Негізгі бөлім

Геометрияда біз көбінесе «фигура» сөзін қолданамыз.Фигура деп кеңістіктегі барлық нүктелер жиынын айтамыз. Түзу мен жазықтық нүктелер жиыны. Куб, паралелепипед, пирамида,конус т.б. фигуралар нүктелер, түзулер мен жазықтықтардан құралған нүктелер жиыны.Стереометрияда төмендегідей белгілер енгізіледі:Нүктелер-латынның үлкен әріптерімен –А,В,С,...,М, ...;Түзулер-латынның кіші әріптерімен-а,b,с,...,m,..;

Жазықтықтар-кіші грек әріптерімен-

Планиметриядан белгілі параллельдік , перпендикулярлық, теңдік, ұқсастық, тиісті болу, қиылысу, беттесу қатынастарының символдары енгізілген болатын.

«А нүктесі а түзуіне тиісті», «А нүктесі а түзіунде жатады», «а түзуі А нүктесі арқылы өтеді» айтылымдардың (пікірлерін) А нүктесі мен а түзуі арасындағы бір ғана қатынасты білдіреді деп түсіну керек, ол қатынасты белгілеп, Аа деп қысқа түрде жазылады.Аа – символдық жазылуы «А нүктесі жазықтығына тиісті (немесе «А нүктесі жазықтағында жатады» немесе « жазықтығы А нүктесі арқылы өтеді») деп оқылады.

а жазылуы, « а түзуі а жазықтығына тиісті (немесе « а түзуі жазықтығында жатады», жазықтығы а түзуі арқылы өтеді» деп оқылады.Қиылысу қатынасын символымен белгіленеді. Сонда « а және b түзулері қиылысады», «а түзуі және жазықтағы қиылысады», « және жазықтықтары қиылысады» айтылымдары сәйкесінше, a жазылады.

Беттесу қатынасын «» символымен белгілейді. Сонда « А және В нүктелері беттеседі», «а және b түзулері беттеседі», « және жазықтықтары беттеседі» айтылымдары, сәйкесінше, А жазылады. Әдетте «≡» символының орнына «» символы пайдаланылып жүр.

Әр түрлі әріптермен білгіленген нүктелерді (түзулерді, жазықтықтарды), егер олардың қайсылары беттеседі деп берілмеген болса, оларды әр түрлі деп есептейміз.

Геометриялық символдармен қатар, белгілі логикалық операцияларды белгілеу үшін логикалық сомвол да қолданылады. Бұл символдарды атап өтейік.

пікірінің (айтылымының) терістеуін символымен белгілейді. Мысалы, b пікірінің терістеуі.

және пікірлерінің дизъюнкциясы «» символымен белгіленеді, яғни «∨» символы «немесе» сөзін ауыстырады. Егер Χ және Υ пікірлерінің ең болмағанда бірі ақиқат болса, онда «Χ∨Υ» пікірі ақиқавт болады.

Χ және Υ пікірлерінің конъюнкциясы «ΧΥ» символымен белгілейді, яғни «∧» символы «және» («мен», «пен») сөзін ауыстырады. Егер Χ және Υ пікірлерінің пікірлері бір мезгілде ақиқат болғанда , «Χ∧Υ» пікірі ақиқат болады.символымен «егер , символдарымен сәйкесінше, «әрбір (барлық) А нүктесі үшін», «барлық (әрбір) a түзуі үшін», «әрбір а жазықтығы үшін» айтылымдарын белгілеу үшін қолданамыз. Мысалы, – символдық жазба – «әрбір а түзуі мен жазықтығы үшін а түзуі жазықтығына тиісті немесе а түзуі α жазықтығына тиісті емес» деген сөз.символдарымен сәйкесінше, «...болатындай А нүктесі бар болады», «...болатындай a түзуі бар болады», «...болатындай жазықтығы бар болады» айтылымдарын белгілейді.

Стереометрияның аксиомалары

Аксиомалар – дәлелдеусіз алынатын, ақиқаттығы шүбә туғызбайтын тұжырымдар. Аксиома сөзі гректің «аксиос» деген сөзінен шыққан, ол күмән тудырмайтын пікір деген мағынаны білдіреді.

Аксиомаларға келесідей логикалық талаптар қойылады:

• 
  Аксиомалар қарама-қайшылықсыз болуы керек( негізгі талап).
  

• 
  Аксиомалар бір-біріне тәуелсіз болуы керек.
  

• 
  Аксиома толық болуы керек.
  

• 
  1.Кеңістіктегі бір түзудің бойында жатпайтын үш нүкте арқылы жазықтық жүргізуге болады, және ол тек біреу ғана болады.
  

• 
  2.Егер әр түрлі екі жазықтықтың ортақ нүктесі бар болса, олар осы нүкте арқылы өтетін түзу бойымен қиылысады.
  

• 
  3.Егер түзудің екі нүктесі берілген жазықтыққа тиісті болса, онда ол түзуде (ол түзудің барлық нүктелері) сол жазықтықта жатады.
  

• 
  Бұл үш аксиома кеңістік үшін, планиметрияда олардың мағынасы жоқ. Керісінше, бір жазықтықтағы фигуралардың қасиеттерін суреттейтін планиметрияның барлық теоремалары мен аксиомалары стереометрияда дұрыс болады. Келесі аксиомаға тоқталайық.
  

• 
  4.Кеңістіктегі кез келген жазықтықта планиметрия аксиомалары орындалады.
  

• 
  2 және 3 аксиомалар кеңістікте түзулердің жазықтықта орналасу жағдайын суреттейді. Сондай-ақ олар түзу мен жазықтықтын майысқан болмайтындығын көрсетеді: екі жазықтық 2,а суреттегідей жанаспайды, ал түзу жазықтықты 2,ә суреттегідей бұрылып, қиып өтпейді.
  

• 
  1 аксиома (ең жиі қолданылатыны) кеңістікте сызбаларды тұрғызуға, оның ішінде, әсіресе жазықтықтар жүргізуге мүмкіндік береді.
  

Кеңістікте нүкте, түзу, жазықтық негізгі фигуралар болып саналады.

Стереометрияда жазықтықтар саны көп. Олардың әрқайсысында планиметрия курсында оқылған фигуралардың барлық қасиеттері орындалады деп есептейміз.

Ж азықтықты параллелограмм түрінде немесе кез келген облыс түрінде бейнелейді. Оларды көбінесе грек алфавитінің әріптерімен: α, β, γ, δ, т.с.с. белгілейміз.

Жазықтықтардың кеңістіктегі негізгі қасиеттерін өрнектейтін аксиомалардың С тобын енгіземіз.

Бұл топ мынадай аксиомалардан тұрады.

 С1.Қандай жазықтықты алсақ та, сол жазықтықта жататын нүктелер де, жатпайтын нктелер де бар болады.

 С2. Бір түзуде жатпайтын кез-келген үш нүкте арқылы бір ғана жазықтық жүргіуге болады.

 С3. Егер түзудің екі нүктесі жазықтықта жатса, онда түзу тұтасымен осы жазықтықта жатады.

 С4. Егер әр түрлі екі жазықтықтың ортақ нүктесі бар болса, онда жазықтықтар осы нүкте арқылы өтетін түзу бойымен қиылысады.

Теорема-1

Түзу және осы түзуде жатпайтын нүкте арқылы бір ғана жазықтық жүргізуге болады.

 Д/уі: а, Д

 А, В € а. А, В, Д нүктелері арқылы С2 аксиомасына сүйеніп a жаз. жүр. Енді а, Д арқылы өтетін a жаз.$! дәлелдейік. Кері жорып, а, Д нүктесі арқылы өтетін екінші бір b жаз. бар дейік. С4 – сәйкес a және b жазықтықтары бір түзу бойымен қиылысып, ал А,В,Д осы түзудің бойында жатуы тиіс. Біз қайшылыққа келдік. Демек, кері жазуымыз дұрыс емес, Теорема дәлелденді.

Теорема-2 . Қиылысқан екі түзу арқылы бір ғана жазықтық жүргізуге болады.

 Д/уі:а, в Ç С н.

а Ç в =с. С н.өзгеше А және В нүктелерін аламыз. А € а,В € в, С2 – аксиомасы бойынша осы А, В, С, нүктелері арқылы жазықтық жүргіземіз жаңе ол біреу ғана. Теорема дәлелденді.

Теорема-3 Жазықтық кеңістікті екі жартыкеңістікке бөледі. Егер А мен В нүктелері бір жартыкеңістікке тиісті болса, онда АВ кесіндісі бұл жазықтықты қимайды. Ал егер А мен В нүктелері әр түрлі жартыкеңістіккетерге тиісті болса, онда АВ кесіндісі бұл жазықтықты қияды.

 Д/уі: a aÏС, С1.

Егер АС кесінді қимаса a, А н. Бірінші жартыкеңістікке, АС кесіндісі a жаз.қиса, онда екінші жартыкеңістікке жатқызамыз.

А,В Î бірінші жартыкеңістікке. С,А,В арқылы b жүр. Егер b қимаса a, онда АВ a жаз. қимайды. bÇa , жаз.әртүрлі болғандықтан, олар қандайда бір а түзуінің бойымен қиылысады. (7-сурет а.)

 а, b жаз. екі жартыжазықтыққа бөледі. А мен В тиісті С жатқан жазықтыққа. АВ а, a қимайды. Егер А, В нүктелері екінші жартыкеңістікке тиісті болса, онда СА кесіндісі a жазықтықты қияды. bÇa. А,В b а түзеуімен бөлгендегі бір жартыжазықтықта жатады. АВ а –тұзеуін, a-да қимайды. А және В әртүрлі жартықеністікке тиісті болса, bÇa. А және В а-түзеуіне қарағанда әр түрлі жарты жазықтықтарында жатады. АВ а –түзеуінде, a жазықтығында қияды.

 Теорема дәлелденді. (7сурет б)

Ескерту

 Бір түзуде жатпайтын үш нүкте арқылы.

 Түзу және одан тыскары жатқан нүкте арқылы.

Қиылысқан екі түзу арқылы.

Стереометрия кеңістіктегі фигуралардың қасиеттерін зерттейтін геометрия бөлімі.«Стереометрия» сөзі гректің «στερεοσ» - көлемдік, кеңістіктік және «μετρεο» - өлшеу сөздерінен шыққан.Кеңістіктегі ең қарапайым фигуралар: нүкте, түзу, жазықтық.Стереометрия аксиомалары және олардың салдары

• 
  Аксиома 1.
  

• 
  Аксиома 2.
  

Аксиома 2 егер түзу берілген жазықтықта жатпаса, онда оның ең көп дегенде бір ортақ нүктесі болады дегенді білдіреді. Егер түзу мен жазықтықтың бір нүктесі ортақ болса, онда олар қиылысады дейді.

• 
  Аксиома 3.
  

Аксиомалардың кейбір салдары

• 
  Теорема 1.
  

• 
  Теорема 2.
  

Кеңістіктегі екі түзу бір жазықтықта жатса және қиылыспаса, параллель деп аталады.Параллель сызықтар теоремасы.Берілген түзудің бойында жатпайтын кеңістіктің кез келген нүктесі арқылы берілгенге параллель түзу сызық болады, сонымен қатар, тек біреуі ғана.Параллель түзулермен жазықтықтың қиылысуындағы лемма.