I-тарау. Сызықтық теңдеулер жүйелері § Арифметикалық векторлық кеңістік



бет1/14
Дата17.05.2020
өлшемі1.11 Mb.
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14

I-Тарау. Сызықтық теңдеулер жүйелері

§ 1. Арифметикалық векторлық кеңістік


Скаляр деп берілген F өрісінің элементі аталады, айталық нақты сандар R өрісінің, рационал сандар Q өрісінің немесе тағы басқа өрістің. Скалярлар кіші грек әріптерімен белгіленеді: , , 1

Анықтама. F өрісіндегі n-өлшемді арифметикалық вектор деп n скалярдан құралған (α1, α2, …, αn) тізбегі аталады. Барлық n-өлшемді векторлардың жиыны n-өлшемді арифметикалық векторлық кеңістік деп аталады және Fn деп белгіленеді:

Fn = {(α1, α2, …, αn) | iF }.

Векторлар кіші латын әріптерімен белгіленеді: a, b, x, y1,....



n-өлшемді вектор жол түрінде:

a = (α1, α2, …, αn).

немесе баған түрінде:­­



a =.

жазылады. Қалай жазылса да i скаляры a векторының i-координатасы деп аталады, i = 1, 2,…, n.



Барлық координаталары нөлге тең вектор нөлдік вектор деп аталады және деп белгіленеді: = (0, 0,…, 0).

n-өлшемді арифметикалық кеңістігінің бірлік векторлары деп e1 = (1, 0, …, 0), e2 = (0, 1, …, 0), ..., en = (0, 0,…, 1) векторлары аталады.

Егер a = (α1, α2, …, αn) және b = (β1, β2, …, βn) векторларына α1 = β1, α2 = β2,…, αn = βn болса, онда a және b векторлары тең деп аталады (сәйкес координаталары тең болса).

Берілген a және b векторларының қосындысы:

a + b = (α1 + β1, α2 + β2, …, αn + βn),

деп анықталады (сәйкес координаталары қосылады).

Мысалы, a = (1, –3, 5, 2), b = (4, 6, –3, 1)  R4 векторларына a + b = (1 + 4, –3 + 6, 5 – 3, 2 + 1) = (5, 3, 2, 3).

Берілген a = (α1, α2, …, αn) векторын  скалярына көбейту:



λ(α1, α2, …, αn) = (λα1, λα2, …, λαn),

деп анықталады (вектордың әрбір координатасы -ға көбейтіледі).

Мысалы, a = (1, –4, 5, 3)  R4 векторына 5a = (5, –20, 25, 15).

Теорема 1. n-өлшемді арифметикалық векторлық кеңістігінің векторларына келесі қасиеттер орындалады:

1. Кез келген a, b, c векторларына (a + b) + c = a + (b + c) – ассоциативтік заң.



2. Кеңістіктің барлық a векторларына + a = a + = a болатындай векторы табылады – нөлдік вектордың қасиеті.

3. Кез келген a векторына a + b = b + a = болатындай b векторы табылады – қарама-қарсы вектордың табылатындығы.

4. Кез келген a, b векторларына a + b = b + a – коммутативтік заң.

5. Кез келген α, β скалярларына және кез келген a векторына (αβ)a = α(βa).

6. Кез келген α скалярына және кез келген a, b векторларына α(a + b) = αa + αb.

7. Кез келген α, β скалярларына және кез келген a векторына (α + β)a = αa + βa.

8. Кез келген a векторына 1 a = a.

Осы сегіз шарт векторлық кеңістіктің аксиомалары деп аталады.

Дәлелдеу. 1. a = (α1, α2, …, αn), b = (β1, β2, …, βn), c = (γ1, γ2, …, γn) векторлары берілсін. Бір жағынан, a + b = (α1 + β1, α2 + β2, …, αn + βn), (a + b) + c = ((α1 + β1) + γ1, (α2 + β2) + γ2, …, (αn + βn) + γn). Екінші жағынан, b + c = (β1 + γ1, β2 + γ2,…, βn + γn), a + (b + c) = (α1+ (β1 + γ1), α2 + (β2 + γ2), …, αn + (βn + γn)).

Кез келген αi, βi, γi скалярларына (αi + βi) + γi = αi + (βi + γi). Сондықтан (a + b) + c және a + (b + c) векторларының сәйкес координаталары тең. Анықтама бойынша, осы векторлар тең болады: (a + b) + c = a + (b + c).



2. Кез келген a = (α1, α2, …, αn) векторына + a = (0, 0,…, 0) + (α1, α2, …, αn) = (0 + α1, 0 + α2, …, 0 + αn) = (α1, α2, …, αn) = a, өйткені скалярларға 0 + αi = αi теңдігі орындалады. Сондықтан + a = a. Осыған ұқсас a + = a екенін де көрсетуге болады.

3. a = (α1, α2, …, αn) векторына және координаталары қарама-қарсы болатын b = (–α1, –α2, …, –αn) векторы болады: a + b = (α1, α2, …, αn) + (–α1, –α2, …, –αn) = (α1 + (–α1), α2 + (–α2), …, αn + (–αn)) = (0, 0,…, 0) = . Осыған ұқсас b + a = екенін көрсетуге болады. Сондықтан, 3-қасиет орындалады.

3-қасиеттегі b векторы берілген a векторына қарама-қарсы вектор деп аталады және –a деп белгіленеді.

Осыған ұқсас қалған қасиеттер дәлелденеді.

Векторларды азайту амалы қосу мен қарама-қарсы вектор арқылы анықталады:



ab = a + (–b).

1-тапсырма. Берілген a1, a2, a3 векторларының 1a1 + 2a2 + 3a3 сызықтық комбинациясын табыңыз.

Мысал. a1 = (3, –2, –3, 5), a2 = (–5, 4, 6, –1), a3 = (5, 2, 5, 3) векторлары берілсін және 1 = 5, 2 = 5, 3 = 1 болсын. Әуелі 1a1, 2a2, 3a3 векторларын табайық: 1a1 = 5(3, –2, –3, 5) = (15, –10, –15, 25), 2a2 = 5(–5, 4, 6, –1) = (–25, 20, 30, –5), 3a3 = 1(5, 2, 5, 3) = (5, 2, 5, 3). Енді 1a1 + 2a2 + 3a3 = (15, –10, –15, 25) + (–25, 20, 30, –5) + (5, 2, 5, 3) = (15 – 25 + 5, –10 + 20 + 2, –15 + 30 + 5, 25 – 5 + 3) = (–5, 12, 20, 23).

1. a1 = (4, 7, –1, 3), a2 = (3, –2, –6, –4), a3 = (6, –6, 6, –1), 1 = 3, 2 = 3, 3 = 7;

2. a1 = (–5, –2, 4, 3), a2 = (–2, 2, 4, –2), a3 = (3, 0, –5, 7), 1 = 0, 2 = 3, 3 = 4;

3. a1 = (–3, 5, –2, –2), a2 = (–4, 5, 4, –6), a3 = (1, –3, 3, –2), 1 = –4, 2 = 1, 3 = 2;

4. a1 = (6, –3, 7, 3), a2 = (–3, 2, –2, 4), a3 = (7, –2, –5, –4), 1 = –6, 2 = –2, 3 = 2;

5. a1 = (5, –4, –1, 2), a2 = (–5, 2, 1, –2), a3 = (–3, –6, –2, 1), 1 = 5, 2 = –6, 3 = –1;

6. a1 = (6, 3, 3, –6), a2 = (–3, 4, 0, 2), a3 = (–4, 3, 0, –2), 1 = –3, 2 = –6, 3 = 3;

7. a1 = (6, 5, 1, –2), a2 = (7, –1, –6, 6), a3 = (–4, 4, 4, –1), 1 = 7, 2 = –6, 3 = 2;

8. a1 = (4, 1, –5, –2), a2 = (1, –3, –2, 0), a3 = (2, 4, 5, 1), 1 = 0, 2 = –2, 3 = 2;

9. a1 = (7, –3, 6, 2), a2 = (–2, 5, 0, –5), a3 = (–4, 6, 6, –1), 1 = –5, 2 = –3, 3 = 3;

10. a1 = (2, 7, –1, 2), a2 = (–2, –3, –6, –3), a3 = (7, 1, –3, 5), 1 = –4, 2 = –1, 3 = 5;

11. a1 = (1, –5, 0, 4), a2 = (–5, –1, 4, 7), a3 = (0, 7, 5, 2), 1 = –2, 2 = –2, 3 = –4;

12. a1 = (–5, –5, 2, 5), a2 = (–2, 1, 2, 4), a3 = (–6, 5, 7, 0), 1 = 4, 2 = 3, 3 = 7;

13. a1 = (2, –3, 4, 2), a2 = (1, 0, –2, 2), a3 = (4, 1, –5, 5), 1 = 4, 2 = –6, 3 = –6;

14. a1 = (3, 4, –5, 3), a2 = (6, –1, 5, 0), a3 = (6, –5, –6, 7), 1 = 2, 2 = –1, 3 = 7;

15. a1 = (–2, –3, 3, 7), a2 = (5, 1, 1, 3), a3 = (1, 1, 6, 3), 1 = –4, 2 = –5, 3 = 3;

16. a1 = (–2, –6, 5, –2), a2 = (–6, 6, 4, –6), a3 = (–2, 1, 3, 1), 1 = –5, 2 = –6, 3 = –3;

17. a1 = (–1, 1, 2, 2), a2 = (6, –3, 7, –5), a3 = (–1, 2, –6, –2), 1 = –2, 2 = –4, 3 = –4;

18. a1 = (7, –5, 2, –6), a2 = (5, 5, 7, 7), a3 = (0, 4, 2, 0), 1 = –2, 2 = 0, 3 = –3;

19. a1 = (2, –2, 0, 6), a2 = (–3, –6, 6, 4), a3 = (1, 1, –6, –6), 1 = –6, 2 = –3, 3 = –4;

20. a1 = (1, –2, –2, 6), a2 = (–6, 4, –4, 5), a3 = (1, 6, –2, 0), 1 = –1, 2 = –6, 3 = –4;

21. a1 = (–3, 2, –6, 7), a2 = (–2, 4, 2, 3), a3 = (6, 1, 2, –3), 1 = 6, 2 = –5, 3 = –4;

22. a1 = (6, 3, –6, 0), a2 = (5, 6, –4, 2), a3 = (2, –4, 0, –3), 1 = –6, 2 = –2, 3 = –6;

23. a1 = (3, –5, 0, 6), a2 = (3, 3, –4, –2), a3 = (–1, 0, 5, –3), 1 = 7, 2 = 4, 3 = 2;

24. a1 = (3, 7, 1, –2), a2 = (2, 4, 4, 3), a3 = (2, 2, –2, –5), 1 = –4, 2 = 2, 3 = –5;

25. a1 = (4, –6, 4, –1), a2 = (0, 7, 0, 5), a3 = (0, 7, 7, 2), 1 = 2, 2 = 6, 3 = 2;

26. a1 = (–2, 5, 2, –1), a2 = (–6, 4, 7, –4), a3 = (–5, 5, –4, 6), 1 = –2, 2 = –2, 3 = 5;

27. a1 = (–6, 6, 4, –5), a2 = (–4, –1, 1, –2), a3 = (5, –5, –2, –3), 1 = –4, 2 = –6, 3 = 3;

28. a1 = (6, –3, 6, –5), a2 = (6, –5, 0, 7), a3 = (–1, 2, 4, –4), 1 = 7, 2 = 1, 3 = 6;

29. a1 = (1, –5, 5, –6), a2 = (–3, 5, 6, –5), a3 = (3, –4, –5, –5), 1 = –1, 2 = 1, 3 = –3;



30. a1 = (2, 2, –5, 7), a2 = (1, 3, –4, 4), a3 = (2, –4, 4, –2), 1 = 4, 2 = –6, 3 = 3;


Достарыңызбен бөлісу:
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14




©engime.org 2020
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет