Анықтама. Ақырлы векторлар жүйесінің базисі деп барлық жүйеге эквивалент және сызықты тәуелсіз ішжүйе аталады.
Анықтамадан, базис сызықты тәуелсіз болатыны және жүйенің кез келген векторы базистік векторлар арқылы өрнектелетіні шығады.
Теорема 1. Нөлден өзгеше векторы бар a1,…, am ақырлы жүйенің базисі табылады.
Дәлелдеу. Нөлден өзгеше векторы бар S = {a1,…, am} ақырлы жүйесі берілсін. Жүйедегі нөлден өзгеше векторы a1 болсын. Онда B1 = {a1} жүйесі сызықты тәуелсіз.
Сөйтіп S жүйесінің сызықты тәуелсіз Bk = {a1,…, ak} ішжүйесі табылсын, 1 ≤ k ≤ m. Егер Bk жүйесі S жүйесіне эквивалент болса, онда Bk – базис.
Егер Bk ішжүйесі S жүйесіне эквивалент болмаса, онда Bk жүйесінің векторлары арқылы сызықтық өрнектелмейтін S жүйесінің ak+1 векторы табылады. Онда Bk+1 = Bk {bk+1} жүйесі сызықты тәуелсіз болады. Шынында, Bk сызықты тәуелсіз жүйе, ал Bk+1 жүйесі сызықты тәуелді болса, онда, 2.2-теореманың 6-қасиеті бойынша, ak+1 векторы Bk жүйесінің векторларының сызықтық комбинациясы болу керек. Сондықтан Bk+1 жүйесі сызықты тәуелсіз болады.
Ал S жүйесі ақырлы. Сондықтан кейбір k үшін осы процесс тоқталады, яғни Bk сызықты тәуелсіз жүйе және ол S жүйесіне эквивалент болады. Онда Bk жүйесі S жүйесінің базисі болады.
Достарыңызбен бөлісу: |
