I-тарау. Сызықтық теңдеулер жүйелері § Арифметикалық векторлық кеңістік


Теорема 2. Ақырлы векторлар жүйесінің кез келген екі базисіндегі векторлардың саны тең болады. Дәледеу



бет9/14
Дата17.05.2020
өлшемі1.11 Mb.
1   ...   6   7   8   9   10   11   12   13   14
Теорема 2. Ақырлы векторлар жүйесінің кез келген екі базисіндегі векторлардың саны тең болады.

Дәледеу. Векторлардың ақырлы S жүйесінің екі базисі берілсін: B1 және B2 және олардағы векторлар саны сәйкесінше k және r болсын. Егер k < r болса, онда, 3.2-теорема бойынша, B2 сызықты тәуелді болар еді. Сондықтан kr. Осыған ұқсас rk. Осыдан k = r.

Мысал 1. Векторлардың а1 = (0, –1, 2, 1), а2 = (3, 1, –1, 0), а3 = (–6, –2, 2, 0) жүйесінің базисін табайық.

а1 және а2 векторлары пропорционал емес, сондықтан олар сызықты тәуелсіз. Ал а3 = 0а1 + (–2)а2. Сондықтан а1, а2, а3 сызықты тәуелді. Сондықтан олар үшеуі базис құрмайды. Базисті екі вектор құрайды: {а1, а2} немесе {а1, а3}.

Ал а2 және а3 векторлары пропорционал, сондықтан олар бір базиске кіре алмайды.



Анықтама. Ақырлы векторлар a1,…, am жүйесінің рангі деп оның бір базисіндегі векторлардың саны аталады және r(a1,…, am) деп белгіленеді.

Нөлдік векторлар жүйесінің рангі 0-ге тең деп есептеледі.

1-мысалада r(а1, а2, а3) = 2.

Теорема 3. (Рангтің қасиеттері) 1. Егер a1,…, akL(b1,…, bm) болса, онда r(a1,…, ak) ≤ r(b1,…, bm).

2. Ақырлы векторлар жүйесінің ішжүйесінің рангі барлық жүйенің рангінен аспайды.

3. Ақырлы эквивалент векторлар жүйелерінің рангтері тең болады.

4. n-өлшемді арифметикалық кеңістігінің кез келген ақырлы векторлар жүйесінің рангі n-нан аспайды.

5. Егер ақырлы векторлар жүйесінің рангі r болса, онда оның k векторынан құралған ішжүйесі k > r болғанда сызықты тәуелді.

Дәлелдеу. 1. b1,…, bm жүйесінің базисі b1,…, bs және a1,…, ak жүйесінің базисі a1,…, ar болсын. Онда b1,…, bmL(b1,…, bs) және, 2.2-теореманың 7-қасиеті бойынша, a1,…, arL(b1,…, bs). Осынан, 3.2-теорема бойынша, rs.

2 және 3-қасиеттер 1-қасиеттен шығады.

4. n-өлшемді арифметикалық кеңістігінің a1,…, am ақырлы векторлар жүйесі берілсін және e1,…, еn бірлік векторлар болсын. Кеңістіктің кез келген векторы бірлік векторлардың сызықтық комбинациясы болады. Сондықтан a1,…, am векторлары бірлік векторлардың сызықтық қабығында жатады, яғни a1,…, amL(e1,…, en). Осыдан 1-қасиет бойынша, r(a1,…, am)  n.

Мысал. a1 = (–1, –1, 6, 6), a2 = (5, 4, 7, –1), a3 = (5, 0, 6, 2), a4 = (0, 1, 0, 1), a5 = (4, 3, 3, –1) векторлар жүйесінің рангін және бір базисін табайық.

Векторлардың координаталық жолдарынан матрица құрастыраып, сатылы түрге келтіреміз:



.

Мұндағы жасалған адымдар:

1) 1- және 2-жол орындарымен ауыстырылды;

2) 1-жол 5-ке, 5-ке және көбейтіліп сәйкесінше 3-, 4- және 5-жолдарға қосылды;

3) 2-жол 5-ке, 1-ге және 1-ге көбейтіліп сәйкесінше 3-, 4- және 5-жолдарға қосылды;

4) 3-жол (-1)-ге көбейтіліп, 4-жолға қосылды;

5) 3- және 4-жол орындарымен ауыстырылдв;

6) 3-жол (-36)-ға және (-27)-ге көбкйтіліп, сәйкесінше 4- және 5-жолға қосылды;

7) 4-жол -(1/71)-ге, 5-жол -(1/57)-ге көбейтілді;

8) 4-жол (-1)-ге көбейтіліп, 5-жолға қосылды.

Соңғы матрица сатылы, оның рангі 4-ке тең. Сондықтан алдынғы матрицалардың да ранші 4-ке тең. Сонымен r(a1, a2, a3, a4, a5) = 4, сондықтан жүйенің базисі 4 вектордан тұрады.

a1, a2, a4, a5 векторлары базис құрайтынын тексерейік. Жоғарғыдай r(a1, a2, a4, a5) = 4 екенін тексеруге болады. Сондықтан a1, a2, a4, a5 векторлары базис құрайды. Ал осы векторлардың рангі 4-тен кем болса, онда жүйедегі басқа 4 векторды тексеру керек.

3-тапсырма. Берілген векторлар жүйесінің рангін және бір базисін табыңыз.

1) a1 = (4, 1, 0, 3), a2 = (5, 2, 6, 2), a3 = (5, 1, 4, 3), a4 = (2, 1, 7, –1), a5 = (–1, 4, –2, 7);

2) a1 = (5, 4, 0, 6), a2 = (4, 5, –1, 3), a3 = (–1, 4, 3, 1), a4 = (5, 1, 4, 5), a5 = (1, 3, 7, –2);

3) a1 = (1, 2, 7, –2), a2 = (1, 0, 7, 1), a3 = (5, 5, 3, 7), a4 = (7, –2, –1, 3), a5 = (3, –1, 4, –2);

4) a1 = (3, 7, 2, 5), a2 = (7, 3, 5, 6), a3 = (4, 7, 0, 7), a4 = (0, 2, 1, –1), a5 = (1, –1, –2, 7);

5) a1 = (3, 6, 2, 5), a2 = (6, –2, 6, 3), a3 = (7, –1, 2, 1), a4 = (–2, 3, 0, 7), a5 = (3, 2, 5, 6);

6) a1 = (0, 7, 3, 0), a2 = (5, 7, –2, 1), a3 = (3, 5, 2, 5), a4 = (–1, 3, 6, 4), a5 = (2, 0, 7, 1);

7) a1 = (6, 5, 3, 2), a2 = (–2, –1, –1, –1), a3 = (0, 0, 3, 1), a4 = (7, 5, –2, –1), a5 = (–2, 5, 7, 3);

8) a1 = (1, 3, 4, 6), a2 = (1, 1, –1, 2), a3 = (5, 1, 3, 0), a4 = (4, 1, –1, 1), a5 = (6, 5, 7, 5);

9) a1 = (–2, 2, 0, 6), a2 = (3, –2, –2, 2), a3 = (–1, 1, 0, 1), a4 = (7, 6, –1, 4), a5 = (2, –2, 2, 1);

10) a1 = (7, 1, 3, –1), a2 = (–2, 7, –2, –2), a3 = (7, –1, –2, 4), a4 = (1, 2, 3, 0), a5 = (7, 5, 6, 7);

11) a1 = (7, 5, 4, 5), a2 = (–1, 3, 7, 7), a3 = (4, –2, 7, 3), a4 = (–1, 2, 1, –1), a5 = (7, 6, –1, 6);

12) a1 = (3, –1, 3, 0), a2 = (3, 1, 1, –2), a3 = (7, 7, –2, 1), a4 = (6, –1, 1, 5), a5 = (7, 2, 5, –2);

13) a1 = (7, –2, 2, 3), a2 = (1, 0, 2, –2), a3 = (4, 7, 0, –2), a4 = (2, 6, 0, 7), a5 = (5, 5, 1, 2);

14) a1 = (3, 7, 4, –1), a2 = (3, 2, 3, 2), a3 = (1, –2, 7, 2), a4 = (–1, 3, 7, 3), a5 = (7, 1, 0, 3);

15) a1 = (4, 4, –2, –2), a2 = (6, 2, 5, 6), a3 = (7, 5, –1, 0), a4 = (5, 0, 1, 4), a5 = (7, –1, 2, –1);

16) a1 = (2, 1, 3, 7), a2 = (6, –1, 0, 2), a3 = (–1, 3, 4, –1), a4 = (6, 5, –1, 2), a5 = (4, 5, –2, 0);

17) a1 = (6, 5, 1, 6), a2 = (3, 5, 1, –1), a3 = (0, –2, 0, –1), a4 = (–1, 2, 1, 5), a5 = (1, 0, –1, 4);

18) a1 = (–1, 1, 4, 0), a2 = (1, 4, 0, 6), a3 = (1, 0, –2, 5), a4 = (6, 7, 1, –1), a5 = (–2, 3, 7, 5);

19) a1 = (–2, 1, 5, 6), a2 = (7, 6, 4, 4), a3 = (6, 3, 2, 0), a4 = (3, 6, 1, 0), a5 = (3, –2, 3, –2);

20) a1 = (4, 0, –1, 2), a2 = (3, 4, 3, 6), a3 = (2, 4, 4, 1), a4 = (0, 7, –1, 7), a5 = (6, –1, 4, 3);

21) a1 = (2, 1, 3, 5), a2 = (2, 5, –2, –2), a3 = (0, 2, 5, 7), a4 = (–1, 5, 3, 5), a5 = (5, 7, 1, –2);

22) a1 = (5, 6, –2, 4), a2 = (6, 0, –2, –2), a3 = (–1, 0, –2, 5), a4 = (5, 1, –1, 3), a5 = (3,–2, 0, 6);

23) a1 = (2, 2, 7, 2), a2 = (6, 2, –2, 2), a3 = (4, 1, 6, 4), a4 = (1, 4, 7, 3), a5 = (1, 6, 3, 7);

24) a1 = (7, –1, –1, 7), a2 = (2, 6, 3, 3), a3 = (0, 4, 2, 1), a4 = (2, 2, 3, 4), a5 = (1, 6, –1, 3);

25) a1 = (6, 5, 1, –2), a2 = (1, 0, 1, 1), a3 = (2, –1, 7, 2), a4 = (–2, 1, –1, –1), a5 = (6, 1, 0, –1);

26) a1 = (–2, –2, 4, 0), a2 = (–2, –1, 4, 5), a3 = (5, –1, –2, 4), a4 = (5, 4, 7, 1), a5 = (0, 4, 1, 2);

27) a1 = (–1, 5, 0, 5), a2 = (1, 0, 6, 5), a3 = (–2, 0, 2, 2), a4 = (4, 6, 4, 0), a5 = (7, 6, 1, –1);

28) a1 = (5, 1, 4, 3), a2 = (6, 7, 2, –2), a3 = (0, 1, 1, 0), a4 = (7, –2, 4, 5), a5 = (3, 7, 2, 4);

29) a1 = (–1, 7, 2, –1), a2 = (3, 4, 6, 3), a3 = (2, –1, 3, –1), a4 = (2, –1, 1, 2), a5 = (0, 7, 7, 3);

30) a1 = (6, –2, 5, 5), a2 = (0, 5, –2, 6), a3 = (–2, –2, 1, 6), a4 = (6, 7, 0, 4), a5 = (3, 5, 1, 4).

§ 5. Сызықтық теңдеулер жүйесі


Анықтама. F өрісіндегі x1,…, xn белгісізді (айнымалды) сызықтық теңдеулер жүйесі деп

11x1 + … + 1nxn = 1

. . . . . . . . . . (1)

m1x1 + … + mnxn = m

түріндегі жүйе аталады, мүндағы ik, βi скалярлар және i = 1,…, m, j = 1,…, n.

Осы жүйені қысқаша жазуға болады:



αi1x1 +…+ αinxn = βi (i = 1,…, m).

ik скалярлары жүйенің коэффициенттері, βi скаляларлары жүйенің бос мүшелері деп аталады.ik коэффициентінде бірінші i индексі (көрсеткіші) теңдеудің нөмірін, екінші j индексі белгісіздің нөмірін көрсетеді және ол “альфа и жи” деп оқылады. Керек болса, осы индекстердің арасында үтір қоямыз: 12,3 және 1,23.

Жүйеде жалғыз теңдеу бола алатынын ескертейік.

Барлық бос мүшелері нөлге тең жүйе біртекті жүйе деп аталады:



αi1x1 +…+ αinxn = 0 (i = 1,…, m),

қарсы жағдайда жүйе біртекті емес деп аталады.



Анықтама. Жүйенің шешімі деп жүйенің барлық теңдеулерін қанағаттандыратын (ξ1, …, ξn) векторы аталады, яғни

αi1ξ1 +…+ αinξn = βi (i = 1,…, m)

теңдіктерінің бәрі орындалса.



Анықтама. Шешімі бар сызықтық теңдеулер жүйесі үйлесімді деп аталады; қарсы жағдайды жүйе үйлесімсіз деп аталады. Егер үйлесімді жүйенің жалғыз шешімі болса, онда ол анықталған жүйе деп аталады. Егер жүйенің бірден артық шешімі болса, онда ол анықталмаған жүйе деп аталады.

Сөйтіп, жүйенің үш түрі болады:

1) үйлесімсіз – шешімі жоқ;

2) анықталған – жалғыз шешімі бар;

3) анықталмаған – шешімі бар, бірақ шешімдер саны бірден артық

Одан әрі анықталмаған жүйенің шешімдер саны ақырсыз екені көрсетіледі (егер скалярлар өрісі ақырсыз болса).

Мысалы, (1, 2) векторы

x1 + 2x2 = 5

2x1 + 4x2 = 10

жүйесінің шешімі болады, сондықтан ол үйлесімді болады, өйткені белгісіздердің орнына (1, 2) векторының координаталарын сәйкесінше қойса, онда теңдеулер теңдіктерге айналады:

1 + 22 = 5

21 + 42 = 10.

Ал


x1 + 2x2 = 5

2x1 + 4x2 = 11,

жүйесі үйлесімсіз болады, өйткені (, ) бірінші теңдеудің шешімі болса, онда + 2 = 5, ал екінші теңдеуге осы вектордың координаталарын қойса, онда 2 + 4 = 2( + 2) = 25  11. Сондықтан осы вектор екінші теңдеуді қанағаттандырмайды.

Екі жүйе берілсін:



αi1x1 +…+ αinxn = βi (i = 1,…, m) (1)

және


γi1x1 +…+ γinxn = δi (i = 1,…, s). (2)

Анықтама. Егер бірінші жүйенің кез келген шешімі екінші жүйенің шешімі болса, онда екінші жүйе бірінші жүйенің салдары деп аталады.

Анықтама. Егер бірінші жүйенің кез келген шешімі екінші жүйенің де шешімі және екінші жүйенің кез келген шешімі бірінші жүйенің де шешімі болса, онда екі жүйе пара-пар деп аталады.

Теорема 1. 1. Екі сызықтық теңдеулер жүйесінің әрбірі екіншінің салдары болғанда ғана, сонда ғана екі жүйе пара-пар болады.

2. Екі сызықтық теңдеулер жүйесінің әрбірінің шешімдер жиыны екіншінің шешімдер жиынына тең болғанда ғана және тек сонда ғана екі жүйе пара-пар болады.



Анықтама. Сызықтық теңдеулер жүйесіне келесі элементар түрлендірулер қолданылады:

1) бір теңдеудің екі жағын нөлден өзгеше скалярға көбейту;

2) бір теңдеуінің екі жағын скалярға көбейтіп, басқа бір теңдеуінің сәйкес жақтарына қосу;

3) барлық коэффициенттері және бос мүшесі нөл болатын теңдеуді жүйеге қосу немесе жүйеден шығарып тастау.



Теорема 2. Егер теңдеулер жүйесіне элементар түрлендіру қолданса, онда алғашқы жүйеге пара-пар жүйе шығады.

Бүл сандық теңдіктердің қасиеттерінен шығады.



Теорема 3. Егер жүйенің бір теңдеуіне басқа теңдеулердің сызықтық комбинациясын қосса, онда алғашқы жүйеге пара-пар жүйе шығады.

Теорема 4. Егер жүйенің бір теңдеуіне басқа теңдеулердің сызықтық комбинациясы болатын теңдеуді алып тастаса, онда алғашқы жүйеге пара-пар жүйе шығады.


Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   6   7   8   9   10   11   12   13   14




©engime.org 2020
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет