Теорема 2. Ақырлы векторлар жүйесінің кез келген екі базисіндегі векторлардың саны тең болады. Дәледеу

Ал а₂ және а₃ векторлары пропорционал, сондықтан олар бір базиске кіре алмайды.

Нөлдік векторлар жүйесінің рангі 0-ге тең деп есептеледі.

1-мысалада r(а₁, а₂, а₃) = 2.

Теорема 3. (Рангтің қасиеттері) 1. Егер a₁,…, a_k  L(b₁,…, b_m) болса, онда r(a₁,…, a_k) ≤ r(b₁,…, b_m).

2. Ақырлы векторлар жүйесінің ішжүйесінің рангі барлық жүйенің рангінен аспайды.

3. Ақырлы эквивалент векторлар жүйелерінің рангтері тең болады.

4. n-өлшемді арифметикалық кеңістігінің кез келген ақырлы векторлар жүйесінің рангі n-нан аспайды.

5. Егер ақырлы векторлар жүйесінің рангі r болса, онда оның k векторынан құралған ішжүйесі k > r болғанда сызықты тәуелді.

Дәлелдеу. 1. b₁,…, b_m жүйесінің базисі b₁,…, b_s және a₁,…, a_k жүйесінің базисі a₁,…, a_r болсын. Онда b₁,…, b_m  L(b₁,…, b_s) және, 2.2-теореманың 7-қасиеті бойынша, a₁,…, a_r  L(b₁,…, b_s). Осынан, 3.2-теорема бойынша, r  s.

2 және 3-қасиеттер 1-қасиеттен шығады.

4. n-өлшемді арифметикалық кеңістігінің a₁,…, a_m ақырлы векторлар жүйесі берілсін және e₁,…, е_n бірлік векторлар болсын. Кеңістіктің кез келген векторы бірлік векторлардың сызықтық комбинациясы болады. Сондықтан a₁,…, a_m векторлары бірлік векторлардың сызықтық қабығында жатады, яғни a₁,…, a_m  L(e₁,…, e_n). Осыдан 1-қасиет бойынша, r(a₁,…, a_m)  n.

Мысал. a₁ = (–1, –1, 6, 6), a₂ = (5, 4, 7, –1), a₃ = (5, 0, 6, 2), a₄ = (0, 1, 0, 1), a₅ = (4, 3, 3, –1) векторлар жүйесінің рангін және бір базисін табайық.

Векторлардың координаталық жолдарынан матрица құрастыраып, сатылы түрге келтіреміз:

Мұндағы жасалған адымдар:

1) 1- және 2-жол орындарымен ауыстырылды;

2) 1-жол 5-ке, 5-ке және көбейтіліп сәйкесінше 3-, 4- және 5-жолдарға қосылды;

3) 2-жол 5-ке, 1-ге және 1-ге көбейтіліп сәйкесінше 3-, 4- және 5-жолдарға қосылды;

4) 3-жол (-1)-ге көбейтіліп, 4-жолға қосылды;

5) 3- және 4-жол орындарымен ауыстырылдв;

6) 3-жол (-36)-ға және (-27)-ге көбкйтіліп, сәйкесінше 4- және 5-жолға қосылды;

7) 4-жол -(1/71)-ге, 5-жол -(1/57)-ге көбейтілді;

8) 4-жол (-1)-ге көбейтіліп, 5-жолға қосылды.

Соңғы матрица сатылы, оның рангі 4-ке тең. Сондықтан алдынғы матрицалардың да ранші 4-ке тең. Сонымен r(a₁, a₂, a₃, a₄, a₅) = 4, сондықтан жүйенің базисі 4 вектордан тұрады.

a₁, a₂, a₄, a₅ векторлары базис құрайтынын тексерейік. Жоғарғыдай r(a₁, a₂, a₄, a₅) = 4 екенін тексеруге болады. Сондықтан a₁, a₂, a₄, a₅ векторлары базис құрайды. Ал осы векторлардың рангі 4-тен кем болса, онда жүйедегі басқа 4 векторды тексеру керек.

3-тапсырма. Берілген векторлар жүйесінің рангін және бір базисін табыңыз.

1) a₁ = (4, 1, 0, 3), a₂ = (5, 2, 6, 2), a₃ = (5, 1, 4, 3), a₄ = (2, 1, 7, –1), a₅ = (–1, 4, –2, 7);

2) a₁ = (5, 4, 0, 6), a₂ = (4, 5, –1, 3), a₃ = (–1, 4, 3, 1), a₄ = (5, 1, 4, 5), a₅ = (1, 3, 7, –2);

3) a₁ = (1, 2, 7, –2), a₂ = (1, 0, 7, 1), a₃ = (5, 5, 3, 7), a₄ = (7, –2, –1, 3), a₅ = (3, –1, 4, –2);

4) a₁ = (3, 7, 2, 5), a₂ = (7, 3, 5, 6), a₃ = (4, 7, 0, 7), a₄ = (0, 2, 1, –1), a₅ = (1, –1, –2, 7);

5) a₁ = (3, 6, 2, 5), a₂ = (6, –2, 6, 3), a₃ = (7, –1, 2, 1), a₄ = (–2, 3, 0, 7), a₅ = (3, 2, 5, 6);

6) a₁ = (0, 7, 3, 0), a₂ = (5, 7, –2, 1), a₃ = (3, 5, 2, 5), a₄ = (–1, 3, 6, 4), a₅ = (2, 0, 7, 1);

7) a₁ = (6, 5, 3, 2), a₂ = (–2, –1, –1, –1), a₃ = (0, 0, 3, 1), a₄ = (7, 5, –2, –1), a₅ = (–2, 5, 7, 3);

8) a₁ = (1, 3, 4, 6), a₂ = (1, 1, –1, 2), a₃ = (5, 1, 3, 0), a₄ = (4, 1, –1, 1), a₅ = (6, 5, 7, 5);

9) a₁ = (–2, 2, 0, 6), a₂ = (3, –2, –2, 2), a₃ = (–1, 1, 0, 1), a₄ = (7, 6, –1, 4), a₅ = (2, –2, 2, 1);

10) a₁ = (7, 1, 3, –1), a₂ = (–2, 7, –2, –2), a₃ = (7, –1, –2, 4), a₄ = (1, 2, 3, 0), a₅ = (7, 5, 6, 7);

11) a₁ = (7, 5, 4, 5), a₂ = (–1, 3, 7, 7), a₃ = (4, –2, 7, 3), a₄ = (–1, 2, 1, –1), a₅ = (7, 6, –1, 6);

12) a₁ = (3, –1, 3, 0), a₂ = (3, 1, 1, –2), a₃ = (7, 7, –2, 1), a₄ = (6, –1, 1, 5), a₅ = (7, 2, 5, –2);

13) a₁ = (7, –2, 2, 3), a₂ = (1, 0, 2, –2), a₃ = (4, 7, 0, –2), a₄ = (2, 6, 0, 7), a₅ = (5, 5, 1, 2);

14) a₁ = (3, 7, 4, –1), a₂ = (3, 2, 3, 2), a₃ = (1, –2, 7, 2), a₄ = (–1, 3, 7, 3), a₅ = (7, 1, 0, 3);

15) a₁ = (4, 4, –2, –2), a₂ = (6, 2, 5, 6), a₃ = (7, 5, –1, 0), a₄ = (5, 0, 1, 4), a₅ = (7, –1, 2, –1);

16) a₁ = (2, 1, 3, 7), a₂ = (6, –1, 0, 2), a₃ = (–1, 3, 4, –1), a₄ = (6, 5, –1, 2), a₅ = (4, 5, –2, 0);

17) a₁ = (6, 5, 1, 6), a₂ = (3, 5, 1, –1), a₃ = (0, –2, 0, –1), a₄ = (–1, 2, 1, 5), a₅ = (1, 0, –1, 4);

18) a₁ = (–1, 1, 4, 0), a₂ = (1, 4, 0, 6), a₃ = (1, 0, –2, 5), a₄ = (6, 7, 1, –1), a₅ = (–2, 3, 7, 5);

19) a₁ = (–2, 1, 5, 6), a₂ = (7, 6, 4, 4), a₃ = (6, 3, 2, 0), a₄ = (3, 6, 1, 0), a₅ = (3, –2, 3, –2);

20) a₁ = (4, 0, –1, 2), a₂ = (3, 4, 3, 6), a₃ = (2, 4, 4, 1), a₄ = (0, 7, –1, 7), a₅ = (6, –1, 4, 3);

21) a₁ = (2, 1, 3, 5), a₂ = (2, 5, –2, –2), a₃ = (0, 2, 5, 7), a₄ = (–1, 5, 3, 5), a₅ = (5, 7, 1, –2);

22) a₁ = (5, 6, –2, 4), a₂ = (6, 0, –2, –2), a₃ = (–1, 0, –2, 5), a₄ = (5, 1, –1, 3), a₅ = (3,–2, 0, 6);

23) a₁ = (2, 2, 7, 2), a₂ = (6, 2, –2, 2), a₃ = (4, 1, 6, 4), a₄ = (1, 4, 7, 3), a₅ = (1, 6, 3, 7);

24) a₁ = (7, –1, –1, 7), a₂ = (2, 6, 3, 3), a₃ = (0, 4, 2, 1), a₄ = (2, 2, 3, 4), a₅ = (1, 6, –1, 3);

25) a₁ = (6, 5, 1, –2), a₂ = (1, 0, 1, 1), a₃ = (2, –1, 7, 2), a₄ = (–2, 1, –1, –1), a₅ = (6, 1, 0, –1);

26) a₁ = (–2, –2, 4, 0), a₂ = (–2, –1, 4, 5), a₃ = (5, –1, –2, 4), a₄ = (5, 4, 7, 1), a₅ = (0, 4, 1, 2);

27) a₁ = (–1, 5, 0, 5), a₂ = (1, 0, 6, 5), a₃ = (–2, 0, 2, 2), a₄ = (4, 6, 4, 0), a₅ = (7, 6, 1, –1);

28) a₁ = (5, 1, 4, 3), a₂ = (6, 7, 2, –2), a₃ = (0, 1, 1, 0), a₄ = (7, –2, 4, 5), a₅ = (3, 7, 2, 4);

29) a₁ = (–1, 7, 2, –1), a₂ = (3, 4, 6, 3), a₃ = (2, –1, 3, –1), a₄ = (2, –1, 1, 2), a₅ = (0, 7, 7, 3);

30) a₁ = (6, –2, 5, 5), a₂ = (0, 5, –2, 6), a₃ = (–2, –2, 1, 6), a₄ = (6, 7, 0, 4), a₅ = (3, 5, 1, 4).

§ 5. Сызықтық теңдеулер жүйесі

₁₁x₁ + … + _1nx_n = ₁

. . . . . . . . . . (1)

_m1x₁ + … + _mnx_n = _m

түріндегі жүйе аталады, мүндағы _ik, β_i скалярлар және i = 1,…, m, j = 1,…, n.

Осы жүйені қысқаша жазуға болады:

_ik скалярлары жүйенің коэффициенттері, β_i скаляларлары жүйенің бос мүшелері деп аталады. _ik коэффициентінде бірінші i индексі (көрсеткіші) теңдеудің нөмірін, екінші j индексі белгісіздің нөмірін көрсетеді және ол “альфа и жи” деп оқылады. Керек болса, осы индекстердің арасында үтір қоямыз: _12,3 және _1,23.

Жүйеде жалғыз теңдеу бола алатынын ескертейік.

Барлық бос мүшелері нөлге тең жүйе біртекті жүйе деп аталады:

қарсы жағдайда жүйе біртекті емес деп аталады.

теңдіктерінің бәрі орындалса.

Сөйтіп, жүйенің үш түрі болады:

1) үйлесімсіз – шешімі жоқ;

2) анықталған – жалғыз шешімі бар;

3) анықталмаған – шешімі бар, бірақ шешімдер саны бірден артық

Одан әрі анықталмаған жүйенің шешімдер саны ақырсыз екені көрсетіледі (егер скалярлар өрісі ақырсыз болса).

Мысалы, (1, 2) векторы

x₁ + 2x₂ = 5

2x₁ + 4x₂ = 10

жүйесінің шешімі болады, сондықтан ол үйлесімді болады, өйткені белгісіздердің орнына (1, 2) векторының координаталарын сәйкесінше қойса, онда теңдеулер теңдіктерге айналады:

1 + 22 = 5

21 + 42 = 10.

Ал

2x₁ + 4x₂ = 11,

жүйесі үйлесімсіз болады, өйткені (, ) бірінші теңдеудің шешімі болса, онда  + 2 = 5, ал екінші теңдеуге осы вектордың координаталарын қойса, онда 2 + 4 = 2( + 2) = 25  11. Сондықтан осы вектор екінші теңдеуді қанағаттандырмайды.

Екі жүйе берілсін:

және

2. Екі сызықтық теңдеулер жүйесінің әрбірінің шешімдер жиыны екіншінің шешімдер жиынына тең болғанда ғана және тек сонда ғана екі жүйе пара-пар болады.

1) бір теңдеудің екі жағын нөлден өзгеше скалярға көбейту;

2) бір теңдеуінің екі жағын скалярға көбейтіп, басқа бір теңдеуінің сәйкес жақтарына қосу;

3) барлық коэффициенттері және бос мүшесі нөл болатын теңдеуді жүйеге қосу немесе жүйеден шығарып тастау.

Бүл сандық теңдіктердің қасиеттерінен шығады.