I-тарау. Сызықтық теңдеулер жүйелері § Арифметикалық векторлық кеңістік
§ 7. Сызықтық теңдеулер жүйесінің үйлесімділік критериі
жүктеу/скачать 1,11 Mb.
|
1. АлгебраСандарТеориясы 1
§ 7. Сызықтық теңдеулер жүйесінің үйлесімділік критериіСызықтық теңдеулер жүйесі берілсін: 11x1 + … + 1nxn = 1 . . . . . . . . . . m1x1 + … + mnxn = m Жүйенің коэффициенттерінен құралған А = матрицасы жүйенің негізгі матрицасы деп аталады. Бос мүшелерден құралған b = бағаны бос мүшелер бағаны деп аталады. Негізгі матрицаға бос мүшелер бағанын қосып жазса, онда жүйенің = кеңейтілген матрицасы шығады. Теорема 1 (Кронеккер–Капелли). Сызықтық теңдеулер жүйесінің матрицасының рангі кеңейтілген матрицаның рангіне тең болғанда, яғни r(A) = r() болғанда, сонда ғана жүйе үйлесімді болады. Дәлелдеу. Теңдеулер жүйесі берілсін: 11x1 + … + 1nxn = 1 . . . . . . . . . . (1) m1x1 + … + mnxn = m Қажеттілік. Жүйе үйлесімді болсын. Онда оның шешімі болады, мысалы (1, 2,…, n) векторы, яғни 111 + … + 1nn = 1 . . . . . . . . . . (2) m11 + … + mnn = m теңдіктері орындалады. Осы теңдіктердің жүйесін матрицалық түрде жазуға болады: 1 + 2 +…+ n = (3) Осы теңдік бос мүшелер бағаны негізгі матрицаның бағандарының сызықтық комбинациясы болатынын көрсетеді. Сондықтан кеңейтілген матрицаның бағандық рангі негізгі матрицаның бағандық рангіне тең. Жеткіліктілік. Енді кеңейтілген матрицаның бағандық рангі негізгі матрицаның бағандық рангіне тең болсын. Онда бос мүшелер бағаны негізгі матрицаның бағандарының сызықтық комбинацисы болады, яғни кейбір 1, 2,…, n скалярларына (3)-теңдік орындалады. Осы теңдікті (2)-жүйе түрінде жазуға болады. Ал (2)-жүйе (1, 2,…, n) векторы (1)-жүйенің шешімі болатынын көрсетеді. Сондықтан жүйе үйлесімді. Гаусс тәсілі (белгісіздерді біртіндеп шығарып тастау тәсілі) бойынша сызықтық теңдеулер жүйесі былай шешіледі. Сызықтық теңдеулер (1)-жүйенің кеңейтілген матрицасы сатылы түрге келтіреді. Егер оның рангі негізгі матрицаның рангіне тең болмаса, онда жүйе үйлесімсіз. Егер кеңейтілген матрицаның r рангі негізгі матрицаның рангіне тең болса, онда жүйе үйлесімді. Егер r = n болса, онда сатылы матрицаға сәйкес жүйенің түрі 11x1 + 12x2 + … + 1nxn = 1 22x2 + … + 2nxn = 2 (4) . . . . . . . . . . nnxn = n болады, мұндағы ii 0, i = 1,..., n. Соңғы жалғыз xn белгісізіне қатысты nnxn = n теңдеуінде nn 0, сондықтан оның жалғыз шешімі болады: n = . Осы n шешімін төменнен жоғарыға қарай есептегенде екінші теңдеуге қояйық: n–1, n–1xn–1, + n–1,nn = n–1. Мұнда n–1,n–1 0, сондықтан оның жалғыз n–1 шешімі болады. Осыны төменнен жоғары қарай жалғастыра берсе, (4)-жүйенің жалғыз (1, 2,…, n) шешімі табылады. Сөйтіп, үйлесімді жүйенің кеңейтілген матрицаның r рангісі белгісіздердің n санына тең болса, онда жүйенің жалғыз шешімі болады, яғни жүйе анықталған болады. Енді r < n болсын. Онда жүйенің түрі 11x1 + 12x2 + … + 1rxr +… + 1nxn = 1 22x2 + … + 2rxr +… + 2nxn = 2 (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . nrxr +…+ nnxn = n болады, мұндағы ii 0, i = 1,..., r. Осы жүйедегі xr+1,…, xn белгісіздері бар мүшелер теңдеулердің оң жағына шығарылады:
. . . . . . . . . . . . . xr = r + r,r+1xr+1 +… + r,nxn. Осы жүйеде xr+1,…, xn белгісіздеріне (r+1, r+2,…, n) мәндерін берсе, онда x1,…, xr белгісіздеріне қатысты жүйенің рангі белгісіздердің санына тең. Сондықтан жүйенің x1,…, xr белгісіздеріне қатысты жалғыз шешімі болады: (1, 2,…, r). Онда (1, 2,…, n) векторы (4)-жүйенің шешімі болады. Енді (r+1, r+2,…, n) мәндерін өзгертсе, онда басқа (4)-жүйенің басқа (1, 2,…, n) шешімі табылады. Сонымен xr+1,…, xn белгісіздерінің мәндерін қанша өзгертсе, сонша (4)-жүйенің басқа шешімі табыла береді. Сондықтан егер r < n болса, онда (4)-жүйенің шешімдер саны ақырсыз болады, яғни жүйе анықталмаған болады. (6)-жүйе алғашқы (1)-жүйенің жалпы шешімі деп аталады. Жалпы шешімді векторлық түрде де жазуға болады: (1 + 1,r+1xr+1 +… + 1,nxn, x2 = 2 + 2,r+1xr+1 +… + 2,nxn, …, xr = r + r,r+1xr+1 +… + r,nxn, xr+1,…, xn). Ал xr+1,…, xn еркін белгісіздер және x1,…, xr – негізгі белгісіздер деп аталады. Жүйенің дербес шешімі жалпы шешімге еркін белгісіздерге мән бергенде табылады. Теорема 2. Үйлесімді (1)-жүйенің кеңейтілген матрицасының рангі r болсын. Егер r = n болса, онда жүйе анықталған болады. Егер r < n болса, онда жүйе анықталмаған болады. Мысалдар. 1. жүйесі берілсін. Жүйенің кеңейтілген матрицасы сатылы түрге келтіріледі: . Негізгі матрицаның рангі 1, кеңейтілген матрицаның рангі 2. Кронеккер-Капелли теоремасы бойынша, жүйе үйлесімсіз, яғни оның шешімі жоқ. 2. Сызықтық теңдеудер жүйесі берілсін: x1 + x2 + x3 = 6 x1 – x2 + x3 = 4 x1 + x2 – x3 = 0 Жүйенің кеңейтілген матрицасы сатылы түрге келтіріледі: . Кеңейтілген матрицаның рангі 3-ке, негізгі матрицаның рангі де 3-ке тең және олар белгісіздердің n = 3 санына тең, сондықтан жүйе үйлесімді және оның жалғыз шешімі болады. Шешімді табу үшін сатылы матрицаға сәйкес жүйені жазайық: x1 + x2 + x3 = 6 – 2x2 = –2 –2x3 = –6 Үшінші теңдеуді шешіп, оның x3 = 3 шешімін табамыз. Екінші теңдеудің шешімі x2 = 1 болады. Осы мәндерді бірінші теңдеуге қойып, x1 белгісізінің мәнін табамыз: x1 – 2 + 3 = 4, x1 = 2. Сондықтан жүйенің жалғыз шешімі (2, 1, 3) векторы болады. 3. Енді тағы бір жүйені қарайық: –x1 + 3x2 + 3x3 + 2x4 + 5x5 = 2 –3x1 + 5x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 = 2 –3x1 + x2 – 5x3 – 7x5 = –2 –5x1 + 7x2 + x3 + 16x4 + x5 = 10 Жүйенің кеңейтілген матрицасы сатылы түрге келтіріледі: . Кеңейтілген матрицаның рангі негізгі матрицаның рангіне тең: r = 3. Сондықтан жүйе үйлесімді болады. Ал r < n = 5 болғандықтан жүйе анықталмаған болады, яғни жүйенің шешімдер саны ақырсыз. Берілген жүйе келесі жүйеге эквивалент болады: –x1 + 3x2 + 3x3 + 2x4 + 5x5 = 2 –4x2 – 7x3– 3x4 – 11x5 = –4 6x4 – x5 = 4. Негізгі белгісіздерді x1, x2, x5 және еркін белгісіздерді x2, x4 деп алуға болады. Еркін белгісіздер теңдеулердің оң жағына шығарылады: x1 = 14 – x3 – x4 x2 = 12 – x3 – x4 x5 = –4 + 6x4. Осы жүйенің жалпы шешімі болады. Жалпы шешімнің векторлық түрі (14 – x3 – x4, 12 – x3 – x4, x3, x4,–4 + 6x4) деп жазылады. Жүйенің дербес шешімін табу үшін еркін белгісіздерге мән беру керек, мысалы x3 = 0, x4 = 0. Онда x1 = 14, x2 = 12, x5 = –4. Сөйтіп, жүйенің дербес шешімі (14, 12, 0, 0, –4) векторы болады. 4. Берілген жүйені, параметрінің мәніне тәуелді зерттеп, шешейік: –6x1 + 7x2 + 3x3 = –2
Әдеттегідей жүйенің кеңейтілген матрицасы сатылы түрге келтіріледі: = . Жүйенің негізгі A матрицасының рангі 2 және кеңейтілген матрицаның рангі параметрінің мәніне тәуелді. Егер 15 болса, онда кеңейтілген матрицаның рангі 3 және негізгі матрицаның рангіне тең емес болады. Сондықтан, Кронеккер-Капелли теоремасы бойынша, жүйе үйлесімсіз. Егер = 15, болса, онда негізгі және кеңейтілген матрицалардың рангтеріі 2-ге тең. Сондықтан жүйе үйлесімді және анықталмаған. Кеңейтілген матрицаны түрі болады. Осы матрица x1 + 3x2 + 2x3 = 7 5x2 + 3x3 = 8 жүйесінің кеңейтілген матрицасы болады. Негізгі белгісіздер x1, x2, еркін белгісіз x3 болады. Осы жүйенің жалпы шешімін табамыз: x1 = – x3, x2 = – x3, векторлық түрде жалпы шешім (– x3, – x3, x3) деп жазылады. 5. Жүйені параметрінің мәніне тәуелді зерттеп, шешейік: x1 + x2 – x3 = –2 x1 + x2 + 2x3 = 2 2x1 + 2x2 – x3 = –1. Кеңейтілген матрица сатылы түрге келтіріледі: ~ ~ ~ ~ . Сонғы матрицаны B деп белгілейік. Егер = 1 болса, онда B матрицасының түрі болады және оның екінші жолын (–2)-ге көбейтіп, 3-жолға қосса, матрицасына келеміз. Бұл жағдайда кеңейтілген матрицаның рангі негізгі матрицаның рангіне тең емес. Сондықтан жүйе үйлесімсіз болады. Сөйтіп, = 1 болғанда жүйе үйлесімсіз болады. Егер = –1 болса, онда B матрицасының түрі болады. Бұл жағдайда жүйе үйлесімді және анықталмаған. Осы матрицаға сәйкес жүйенің түрі x1 – x2 – x3 = –2 4x2 + x3 = 3 болады. Негізгі белгісіздер x1, x3, еркін белгісіз x2 деп алынады. Онда жүйенің жалпы шешімі x1 = 1– 3x2, x3 = 3 – 4x2, векторлық түрдегі жалпы шешім (1– 3x2, x2, 3 – 4x2) деп жазылады. Егер 2 1 болса, онда кеңейтілген B матрицасының рангі 3 және негізгі матрицаның рангі де 3 болады. Бұл жағдайда жүйе анықталған болады. Жүйенің жалғыз шешімін табу үшін сатылы B матрицасына сәйкес жүйесі жазылады: x1 + x2 – x3 = –2 –2( – 1)x2 + x3 = 3 ( + 1)x3 = + 1. Осы жүйенің жалғыз шешімі x1 = , x2 = , x3 = 1 болады. 6. b векторы a1, a2, a3, a4 векторлары арқылы сызықтық өрнектелетінін тексеру керек, егер өрнектелсе, онда сол өрнектегі коэффициенттерін табайық, мұндағы a1 = (1, 2, –1, –2), a2 = (2, 3, 0, –1), a3 = (1, 2, 1, 4), a4 = (1, 3, –1, 0), b = (7, 14, –1, 2). Анықтама бойынша, кейбір x1, x2, x3, x4 скалярлары үшін x1a1 + x2a2 + x3a3 + x4a4 = b болғанда, сонда ғана b векторы a1, a2, a3, a4 векторлары сызықтық өрнектеледі. Осы теңдікті, векторларды баған түрде жазып, матрицалық түрде жазуға болады: x1 + x2 + x3 + x4 = . Осы матрицалық теңдеу координаталық түрде жазылады: x1 + 2x2 + x3 + x4 = 7 2x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 = 14 –x1 + x3 – x4 = –1 –2x1 – x2 + 4x3 = 2. Сөйтіп, осы теңдеулер жүйе үйлесімді болғанда, сонда ғана b векторы a1, a2, a3, a4 векторлары арқылы сызықтық өрнектеледі. Жүйенің кеңейтілген матрицасы сатылы түрге келтіріледі: . Осы жүйенің жалғыз шешімі бар, өйткені жүйенің кеңейтілген матрицасының рангі негізгі матрицаны рангіне тең. Оған қоса, негізгі матрицаның рангі a1, a2, a3, a4 векторлар жүйесінің санына тең, r(a1, a2, a3, a4) = 4. Сондықтан a1, a2, a3, a4 векторлар жүйесі сызықты тәуелсіз болады. Сатылы матрицаға сәйкес x1 + 2x2 + x3 + x4 = 7 –x2 + x4 = 0 3x3 + 2 x4 = 6 x3 = 4 жүйесінің шешімі x1 = , x2 = 4, x3 = , x4 = 4. Осыдан b = a1 + 4a2 + a3 + 4a4. 7. b = (7, –2, ) векторы a1 = (1, –6, 1), a2 = (3, 7, 8), a3 = (2, 3, 5) векторлары арқылы сызықтық өрнектелетін параметрінің мәндерін табайық. Ол үшін b = x1a1 + x2a2 + x3a3 теңдігі орындалатын параметрінің мәндерін табу керек. Векторларды баған түрде жазса, онда осы теңдіктің матрицалық түрі x1 + x2 + x1 = болады. Матрицалық теңдікті координаталық түрде жазса, онда x1 + 3x2 + 2x3 = 7 –6x1 + 7x2 + 3x3 = –2 x1 + 8x2 + 5x3 = . Сонымен, параметрінің қандай мәндері үшін осы жүйенің шешімі болатынын анықтау керек. Жүйенің кеңейтілген матрицасы сатылы түрге келтіріледі: . Бұл 4-мысалдағы сатылы матрица. Онда = 15 болғанда жүйе анықталмаған және 15 болғанда жүйе үйлесіміз деп табылған. Сондықтан есептің жауабы: = 15 болғанда b векторы a1, a2, a3 векторлары арқылы сызықтық өрнектеледі, 15 болғанда өрнектелмейді. 4-тапсырма. Теңдеулер жүйесін шешiңіз: 1) 3x1 – x2 + x3 – x4 = 4 4x1 – x3 + 2x4 = 1
3x1 + 2x2 + x3 = 8 2) 6x1 + x2 + x3 + x4 = 6 2x1 – x2 – x3 + x4 = –6 6x2 – x3 + 5x4 = 19 –x1 – x2 + 2x3 + 2x4 = 8 3) 2x1 + 3x2 – x3 – x4 = 6 x1 + x3 + x4 = 0 3x1 – x2 + 4x3 = 2 4x1 + x2 – x3 – x4 = 10 4)
2x1 – x2 + 2x3 – x4 = 2 4x1 – x2 + 2x3 – x4 = 9 3x1 + x2 – 3x3 + x4 = 2 5) 2x1 – 4x2 + 5x3 – 6x4 = –25 x1 + x3 + x3 + x4 = 5 3x1 – x2 – x3 = 7 x1 – 2x2 + 4x3 – 4x4 = –18 6) 2x1 + 2x2 – x3 – x4 = 7 3x1 – x3 + 2x4 = 0 6x1 – 5x2 – 4x3 + 3x4 = –1 x1 – x2 – x3 + x4 = –1 7) 3x1 – x2 + 4x3 – x4 = –1 2x1 + 2x2 + x3 = 16 x1 + x2 + x3 + x4 = –3 3x1 + x2 + 6x2 + 4x3 = 16 8) 3x1 – x2 – x3 – x4 = 3 2x1 + 2x2 – 2x3 – 3x4 = 23 x1 – x2 – x3 + x4 = –2 5x1 + 4x2 – 3x3 – 2x4 = 34 9) 2x1 – x2 – x3 = –3 x1 + x2 + x3 + x4 = 6 4x1 – x2 – 6x3 – x4 = –31 6x1 + 10x2 – x3 – x4 = –10 10)
x1 + 2x2 – x3 + x4 = 2 4x1 – x2 – x4 = 7 2x1 + x2 – x3 – x4 = –3 5x1 – x3 + 2x4 = 0 11) 2x1 + 4x2 + 6x3 + x4 = 19 5x2 – 6x3 – 2x4 = 19 –x1 – x2 + 4x3 + 6x4 = –7 x1 + x2 – x3 – x4 = 9 12)
3x1 + 6x2 + x4 = 7 x1 + x2 + x3 + x4 = 6 2x1 + 3x2 – x3 – 6x4 = –21 2x1 + 2x2 – 2x3 + 5x4 = 24 13)
5x1 + 6x2 – 4x3 – 4x4 = –20 x1 + x2 + x3 + x4 = 7 –2x1 – 3x2 + x3 + x4 = 5 6x1 – 2x2 – 4x3 – 5x4 = –12 14)
6x1 + 5x2 – x4 = 0 x1 + x2 + x3 + x4 = 5 2x1 + 3x2 + 4x3 – 5x4 = 10 –3x1 – 4x2 + 4x3 + 3x4 = 20 15)
2x1 + x2 – x3 – x4 = 0 x1 + x2 + x3 = –1 6x1 + 5x2 + 4x3 + x4 = 2 2x1 – x2 – x3 – x4 = 6 16)
2x1 + 4x2 + 6x3 + x4 = 19 5x2 – 6x3 – 2x4 = 19 –x1 – x2 + 4x3 + 6x4 = –7
17)
2x1 – 2x2 – x3 – x4 = 1 4x1 + 6x2 + x4 = –1 x1 – x2 – x3 + x4 = 1 5x1 – 3x2 + x3 – x3 = 9 18) –x1 – x2 + 2x3 + 2x4 = 4 6x1 + 5x3 – x3 – x4 = 0 –3x1 – 3x2 + 4x3 = 4 6x1 – x2 + 5x3 + 4x4 = 23 19)
6x1 + 5x2 – x3 – x4 = –6 3x1 + 4x2 – x3 = 0 2x1 + 2x2 + x3 + x4 = 13 –x1 – x2 – x3 + 2x4 = 9 20) 2x1 + 2x2 – x3 – x4 = 0 6x1 + 5x2 + x4 = –1 3x1 + x3 + 2x4 = 3 4x1 + x2 – x3 – x4 = 6 21)
6x1 + 3x2 + 2x3 – x4 = 5 x1 + x2 – x3 = 9 2x1 + 6x2 – 4x3 – 3x4 = 27 5x1 + 7x2 + x4 = –18 22)
x1 + x2 + x3 – x4 = 11 x1 + x4 – 3x3 – x4 = –11 x2 + x3 – 8x4 = –1 2x1 – 3x2 + x3 + x4 = 2 23)
2x1 – x2 + 2x3 – 2x4 = 6 6x2 + 4x3 – 5x4 = 16 3x1 + 2x2 – x3 – x4 = 21 24) 2x1 + x2 + x3 + x4 = 2 x1 – x2 – x4 = 2 3x1 + 2x2 – 4x3 = –1 4x1 + 6x2 + 7x3 + 6x4 = 12 25)
6x1 – 5x2 – 4x3 + 4x4 = 2 x1 + x2 + x3 + x4 = 2 4x1 – x2 –x4 = 7 3x1 – x3 + 5x4 = 12 26)
2x1 + x2 + x3 – x4 = 4 x1 + x2 + x3 – x4 = 2 3x1 + 2x2 – 3x4 = 0 x2 – x3 – x4 = –2 27)
2x1 + 4x3 – 5x4 = –9 x1 + x2 – x3 – x4 = –3 x1 + x2 + x3 + 2x4 = 12 6x1 + 5x2 – 2x3 – x4 = 16 28) 6x1 + 2x2 – 4x3 = –16 x1 + x2 – x3 + 4x4 = 31 2x1 + 3x2 – 5x4 = –17 6x1 + 7x2 – 4x3 = 19 29)
6x1 + 7x2 – 4x3 + x4 = –7 3x1 + 4x3 – 7x4 = 19 x1 + x2 + x3 + x4 = 8 2x1 – x2 – x3 + 2x4 = 1 30) 6x1 – 3x2 + 4x3 = 3 x1 + x2 – x3 – x4 = 9 3x1 – 4x2 – x3 + x4 = –10 5x1 + 4x2 – 4x3 + 4x4 = 14
Тапсырма 5. Теңдеулер жүйесін шешіңіз: 1) 24x1 + 14x2 + 30x3 + 40x4 + 41x5 = 28 36x1 + 21x2 + 45x3 + 61x4 + 62x5 = 43 48x1 + 28x2 + 60x3 + 82x4 + 83x5 = 58 60x1 + 35x2 + 75x3 + 99x4 + 102x5 = 69 2) 10x1 + 23x2 + 17x3 + 44x4 = 25 15x1 + 35x2 + 26x3 + 69x4 = 40 25x1 + 57x2 + 42x3 + 108x4 = 65 30x1 + 69x2 + 51x3 + 133x4 = 95 3) 12x1 + 14x2 – 15x3 + 23x4 + 27x5 = 5 16x1 + 18x2 – 22x3 + 29x4 + 37x5 = 8 18x1 + 20x2 – 21x3 + 32x4 + 41x5 = 9 10x1 + 12x2 – 16x3 + 20x4 + 23x5 = 4 4)
x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 = 2 2x1 + 9x2 + 8x3 + 3x4 = 7 3x1 + 7x2 + 7x3 + 2x4 = 12 5x1 + 7x2 + 9x3 + 2x4 = 20 5) 2x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = 4 4x1 + 3x2 + x3 + x4 = 5 5x1 + 11x2 + 3x3 + 2x4 = 2 2x1 + 5x2 + x3 + x4 = 1
6) 8x1 + 6x2 + 5x3 + 2x4 = 21 3x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 10 4x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 8 3x1 + 5x2 + x3 + x4 = 15 7x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 = 18 7) 6x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 = 5 4x1 + 2x2 + x3 + 2x4 + 3x5 = 4 4x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 + x5 = 0 2x1 + x2 + 7x3 + 3x4 + 2x5 = 1 8)
3x1 + 6x2 + 5x3 – 4x4 + 3x5 = 5
2x1 + 4x2 + 2x3 – 3x4 + 3x5 = 6 9) 6x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 = 1 3x1 + 2x2 + 4x3 + x4 + 2x5 = 3 3x1 + 2x2 – 2x3 + x4 = –7 9x1 + 6x2 + x3 + 3x4 + 2x5 = 2 10)
3x1 + 2x2 + 5x3 + 2x4 + 2x5 = 1 2x1 + x2 + 4x3 + 4x4 + x5 = 3 x2 – 2x3 + x4 = –7 2x1 + 3x2 + x3 + 3x4 + 3x5 = 2 11)
2x1 + 4x2 + 10x3 + 15x4 + 20x5 = 16 x1 – 8x2 + 6x3 + 6x4 + x5 = 56 3x2 + 4x3 + 2x4 + 3x5 = 6 12) 4x1 – 4x2 + 3x3 + 6x4 + 8x5 = 5 2x1 – 2x2 + x3 + 2x4 + 2x5 = 1 x1 – x2 + x3 + 2x4 + 3x5 = 2 x1 – x2 + 3x3 + 7x4 + 11x5 = 8 13)
x1 + x2 + 3x3 – 2x4 + x5 = 4 3x1 + 3x2 + 5x3 – 4x4 + 3x5 = 5 x1 + x2 + 7x3 – 4x4 + x5 = 11 2x1 + 2x2 + 2x3 – 3x4 + 3x5 = 6 14)
2x1 + 2x2 + 5x3 + x4 + x5 = 1 2x1 + 3x2 + 6x3 + 2x4 + x5 = 1 3x1 + x2 – 7x3 – 2x4 + 2x5 = 7 15) 2x1 + 5x2 + 3x3 + 3x4 + x5 = 11 3x1 + 4x2 + 4x3 + 2x4 + x5 = 13 4x1 + 5x2 + x3 = 3 5x1 + x2 + 2x3 = 3 6x1 + 7x2 + 7x3 + x4 + 2x5 = 23 16) 2x1 + 5x2 + 3x3 + 3x4 + x5 = 11 3x1 + 4x2 + 4x3 + 2x4 + x5 = 13 4x1 + 5x2 + x3 = 3 5x1 + x2 + 2x3 = 3 6x1 + 7x2 + 7x3 + x4 + 2x5 = 23 17) 6x1 + 2x2 + 3x3 = 5 3x1 + 2x2 + 6x3 + x4 = 1 x2 + 6x3 + 2x4 + x5 = –1 3x3 + 2x4 + 2x5 = 1 3x1 + x2 + x4 + x5 = 0 18)
2x1 – 3x2 + 5x3 + 7x4 = 1 4x1 – 6x2 + 2x3 + 3x4 = 2 2x1 – 3x2 – 11x3 – 15x4 = 1 19)
2x1 + 7x2 + 3x3 + x4 = 6 3x1 + 5x2 + 2x3 + 2x4 = 4 9x1 + 4x2 + x3 + 7x4 = 2 20)
12x2 – 16x3 + 25x4 = 29 27x1 + 24x2 – 32x3 + 47x4 = 55 50x1 + 51x2 – 68x3 + 95x4 = 115 31x1+21x2–28x3+ 46x4= 50 21) 45x1 – 28x2 + 34x3 – 52x4 = 9 36x1 – 23x2 + 29x3 – 43x4 = 3 35x1 – 21x2 + 28x3 – 45x4 = 16 47x1 – 32x2 + 36x3 – 48x4 = –17 27x1 – 19x2 + 22x3 – 35x4 = 115 22) 38x1 – 74x2 + 46x3 + 8x4 = 90 –95x1 + 185x2 – 115x3 – 210x4 = 225 57x1 – 111x2 + 69x3 + 120x4 = 135 23) 105x1 – 175x2 – 315x3 + 245x4 = 84 90x1 – 150x2 –270x3 + 210x4 = 72 57x1 – 125x2 – 225x3 + 175x4 = 59 24) 7x1 – 5x2 + 2x3 – 4x4 = 8 –3x1 + 2x2 + x3 + 2x4 = –3 2x1 –x2 + x3 – 2x4 = 1 –x1 + x3 + 2x4 = 1 –x2 + x3 + 2x4 = 3 25)
7x1 + 14x2 + 20x3 + 27x4 = 0 5x1 + 10x2 + 16x3 + 19x4 = –2 3x1 + 5x2 + 6x3 + 13x4 = 5 26)
27)
12x1 – 18x2 + 102x3 – 174x4 – 216x5 = 132 14x1 – 21x2 + 119x3 – 203x4 – 252x5 = 154 x3 + 2x4 + 3x5 = –1 4x3 + 5x4 + 6x5 = –2 7x3 + 8x4 + 9x5 = –3 28)
24x1 + 9x2 + 33x3 – 15x4 = 21 8x1 + 3x2 + 11x3 – 5x4 = 7 40x1 + 15x2 + 55x3 – 25x4 + 213x5 = 35 56x1 + 21x2 + 77x3 – 35x4 + 197x5 = 49 29)
3x1 + 7x2 – x3 – 3x4 + 2x5 = 10 –x2 – 13x3 – 2x4 + x5 = –14 –x3 – 16x4 + 2x5 = –11 2x4 + 5x5 = 12 30)
8x1 + 12x2 = 20 14x1 + 21x2 = 35 9x3 + 11x4 = 0 16x3 + 11x4 = 0 10x5 + 12x6 = 22 15x5 + 18x6 = 33 Тапсырма 6. параметріне тәуелді сызықтық теңдеулер жүйесін зерттеп, шешіңіз: 1) 5x1 – 3x2 + 2x3 + 4x4 = 3 4x1 – 2x2 + 3x3 + 7x4 = 1 8x1 – 6x2 – x3 – 5x4 = 9 7x1 – 3x2 + 7x3 + 17x4 = 2) 3x1 + 2x2 + 5x3 + 4x4 = 3 2x1 + 3x2 + 6x3 + 8x4 = 5 x1 – 6x2 – 9x3 – 20x4 = –11 4x1 + x2 + 4x3 + x4 = 2 3) 2x1 + 5x2 + x3 + 3x4 = 2 4x1 + 6x2 + 3x3 + 5x4 = 4 4x1 + 14x2 + x3 + 7x4 = 4 2x1 – 3x2 + 3x3 + x4 = 7 4) 2x1 – x2 + 3x3 + 4x4 = 5 4x1 – 2x2 + 5x3 + 6x4 = 7 6x1 – 3x2 + 7x3 + 8x4 = 9 x1 – 4x2 + 9x3 + 10x4 = 11 5) 2x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = 3 4x1 + 6x2 + 3x3 + 4x4 = 5 6x1 + 9x2 + 5x3 + 6x4 = 7 8x1 + 12x2 + 7x3 + x4 = 9 6) x1 + x2 + x3 + x4 = 1 x1 + x2 + x3 + x4 = 1 x1 + x2 + x3 + x4 = 1 x1 + x2 + x3 + x4 = 1 7) (1 + )x1 + x2 + x3 = 1 x1 + (1 + )x2 + x3 = x1 + x2 + (1 + )x3 = 2 8) ( + 1)x1 + x2 + x3 = 2 + 3 x1 + ( + 1)x2 + x3 = 3 + 32 x1 + x2 + ( + 1)x3 = 4 + 33 9)
2x1 + 2x2 + 2x3 = 3 5x1 + 6x2 + 7x3 = 10) 2x1 – x2 + x3 = 0 x1 – 2x2 – 2x3 = –3 x1 + x2 + 3x3 = –1 11)
(–1 + 2)x1 + x2 + x3 = 2 – x1 + x2 + x3 = 1 x1 + x2 + x3 = 1 12)
x1 + x2 + x3 + x4 = 1 x1 + x2 + x3 + x4 = –1 x1 + x2 + x3 + x4 = 0 x1 + x2 + x3 + x4 = 0 13)
4x1 – x2 + 3x3 = 0 4x1 – x2 + x3 = 0 3x1 + x2 + 4x3 = –1 14)
x1 + x2 + x3 + x4 = 1 15) 2x1 + x2 + 2x3 + 2x4 = 2 2x1 + 9x2 + 4x4 = 2 2x1 + 5x2 + x3 + 3x4 = 2 2x1 – 3x2 + 3x3 + x4 = 7 16)
17)
18)
19)
20)
21)
3x1 + 2x2 + x3 = –1 7x1 + 6x2 + 5x3 = 5x1 + 4x2 + 3x3 = 2 22)
x1 + x2 + x3 = 0 5x1 + x2 – 2x3 = 2 –2x1 – 2x2 + x3 = –3 23)
24x1 – 38x2 + 46x3 = 26 60x1 + x2 + 115x3 = 65 84x1 – 133x2 + 161x3 = 91 24)
x1 + x2 + x3 = 1 x1 + x2 + x3 = 1 x1 + x2 + x3 = 1 25)
x1 + x2 + x3 = –1 26)
x1 + x2 + x3 = 0 27) (3 – 2)x1 + (2 – )x2 + x3 = (2 – )x1 + (2 – )x2 + x3 = 1 x1 + x2 + (2 – )x3 = 1 28)
(3+2)x1 + (1+3)x2 + x3 + ( – 1)x4 = 3 3x1 + (3+2)x2 + x3 + ( – 1)x4 = 1 3x1 + 3x2 + 3x3 + ( – 1)x4 = 1 29)
30)
жүктеу/скачать 1,11 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|