Сабақ тақырыбы: Сандық аргументтің тригонометриялық функциялары. Сабақтың мақсаты: а білімділік

1. 
   Кері тригонометриялық функциялар дегеніміз қандай функциялар?
   
2. 
   арксинус функциясының қасиеттері?
   
3. 
   арккосинус функциясының қасиеттері?
   
4. 
   арктангенс функциясының қасиеттері?
   
5. 
   арккотангенс функциясының қасиеттері?
   

1. 
   Сабақтың барысы:
   

Алдымен аргументтері әр түрлі синустардың, яғни sinα + sinβ қосындысын көбейтіндіге түрлендіреміз. Ол үшін α = және β =тепе-теңдіктері мен синустың қосындысы

sinα + sinβ = sin( )+ sin ( ) = sin

cos + cos

sin + sin

cos - cos

sin =2 sin cos

sinα + sinβ = 2 sin

cos;

sinα - sinβ = sin( )- sin ( ) = sin

cos + cos

sin - sin

cos + cos

sin =2 sin cos;

Сонымен sinα - sinβ = 2 sin

cos;

•

cos;

cosα - cosβ = - 2 sin

sin = 2 sin

sin ;

sin2α + sinα =2sin

cos=2sin

cos

сos() + cosα =2 сos

•

cos=2 сos

•

cos=

= 2 сos • cos()=2• cos()= cos();

===

= = ctg2

= 2 cos • cos= 2 cos45

= 2••=

1. 
   Аргументтері әр түрлі синустардың немесе косинустардың қосындысын және айырмасын көбейтіндіге жіктеудің мақсаты неде?
   
2. 
   Аргументтері әр түрлі синус пен косинус қосындысын және айырмасын қалай көбейтіндіге келтіруге болады?
   

1. 
   Сабақтың барысы:
   

ІІ. Үй тапсырмасын тексеру, өткен сабақты пысықтау.

а) Үй тапсырмасын тексеру.№90

б) Қайталау сұрақтары

1.Негізгі тригонометриялық функциялар қалай аталады?

2.Тригонометриялық функцияның негізгі қасиеттері қандай?

3.Тригонометриялық функцияның графиктері қалай аталады?

4.Арксинус дегеніміз не?

5.Арккосинус қалай анықталады?

6.Арктангенс дегеніміз не?

7.Арккотангенс дегеніміз не?

в) Дидактикалық ойын «Иә» не «Жоқ»

1-сұрақ. Бұл функция жұп па?

Жауабы: Жоқ

Логика: косинус емес

2-сұрақ. Бұл функция 00-та 0-ге тең ба?

Жауабы: Иә

Логика: cos емес, ctg емес, tg болуы мүмкін.

3-сұрақ. Бұл функцияның периоды 2π-ге тең бе?

Жауабы: Иә

Логика: tg емес

Ендеше бұл функция y=sinx.

«Есіңе сақта!»

y=arcsin x функциясының мәндер жиыны ;

y=arcсоs x функциясының мәндер жиыны ;

y=arctg x функциясының мәндер жиыны ;

y=arcсtg x функциясының мәндер жиыны .
г) Қолданылуы:

Тригонометриялық функциялардың негізгі қасиеттері мен графиктері механикада, физика мен техникада, әсіресе тербелмелі қозғалыстар мен басқа да пермодты процестерді зерттеуде кеңінен қолданылады. Гормониялық тербелістің (мысалы, маятниктің, айнымалы электр тогының тербелісі) графигі синусоидалар болып табылады. Мысалы, тепловоз генераторындағы айнымалы токты тұрақты токқа айналдыратын түзеткіштерде жартылай синусоидалы, толық синусоидалы орамалар болады.

1) Теңдеулер түрлері туралы:

2) Жаңа материал.

Анықтама: sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a түрінде берілген теңдеулерді қарапайым тригонометриялық теңдеулер деп атайды.

Бұл теңдеулерді шешу формулалары төмендегідей:

1.sin x=a, ‌ ‌

x=(-1)n

2.cos x=a,

4.ctg x=a, a – кез келген сан

sin x=a, cos x=a

теңдеулерінің дербес шешімдері:

sin x=1

sin x=-1

cos x=1

cos x=0

Алгебралық теңдеулер

Ортақ қасиеттері

Тригонометриялық теңдеулер

Алгебралық теңдеулердің шешімдерінің саны айнымалының дәреже көрсеткішіне байланысты шектеулі болады.

1.Теңдеудің бір бөлігінен екінші бөлігіне қосылғышты қарама-қарсы таңбаменшығаруға болады.

2.Теңдеудегі өрнектерді түрлендіруге болады.

1.Тригонометриялық теңдеудің бір шешімі бар болса, онда ол шексіз қайталанады.

2.Тригонометриялық теңдеудің екі жағын ортақ көбейткішке бөлуге болмайды.

IV. Жаңа білімді бекіту.

1)Бірнеше мысалдар келтіру.

2)Оқулықпен жұмыс.

№98,.№99,№100

а)sin x=3 3>1

Теңдеудің шешімі жоқ.

V. Үйге тапсырма беру. №99 (ә, в); №100 (ә, в); №101 (ауызша).

VІІ. Бағалау, сабақты аяқтау.
Оқытушы: И.Т.Нұрбергенова

Пәні:Математика.

Күні: ________________________________________________

Топ: __________________________________________________
Сабақ тақырыбы: Тригонометриялық өрнекті теңбе-тең түрлендіру

Сабақтың мақсаты:

Білімділік: оқушылардың тригонометриялық өрнектер және оларды түрлендіру тарауы бойынша алған білімдерін тиянақтау, тригонометрия туралы қосымша ғылыми мағлұматтар беру, оқушылардың білімдерін байқау.
Тәрбиелік: оқушылардың пәнге деген қызығушылықтарын, белсенділіктерін арттыру, өзара жолдастық көмек көрсете білуге, ойын тиянақты дәл айта білуге үйрету, шапшандыққа тәрбиелеу.
Дамытушылық: ой-өрісін дамыту, білуге тиісті міндетті деңгейдегі есептерді шығару, іскерлік қабілетін дамыту теориялық білімін практикада қолдана білу дағдысын қалыптастыру.
Сабақтың түрі: білімді жүйеге келтіру
Сабақтың әдісі: ұжымдық оқыту, өзара оқыту, оқыта үйрету

Сабақтың жүрісі:

1. 
   Ұйымдастыру
   

1. Оқушылардың сабаққа қатысы, дайындығын тексеру

2. Оқушылардың білім дәрежесіне қарай үш топқа бөлу

2. 
   Үй тапсырмасын тексеру
   

№ 514 есептің жауаптары:

1) ; ; .

2)

4) ;; .

№ 521 есептің жауаптары:

1) ; ; .

3. 
   Өткен сабақтардан алған білімдерін тексеру үшін тест сұрақтарына жауап беру (тест сұрақтарының үш жауабы бар, 1-1 ұпай, 2-2 ұпай, 3-3ұпай)
   

I. cos=?

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8).
II. sin2=?

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ;

6) ; 7) ; 8) .
III. tg/2=?

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ;

6) ; 7) ; 8)
IV. tg2=?

1); 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) .
V. Cos2 - cos²=?

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8)
Жауаптары:

І - 1), 3), 8);

ІІ – 3), 5), 7);

ІІІ – 1), 4), 5);

IV – 2), 4), 6);

V – 2), 5), 8).

4. 
   Қосу формулаларын қайталай отырып, жаңа тақырыппен таныстыру
   

Sin(+)=sincos+cossin

sin(-)=sincos-cossin

мүшелеп қосып және азайтайық.

Бұлардан:

Sinαcosβ=1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]; (1)

cosαsinβ=1/2[sin(α+β)-sin(α-β)]; (2)
Сол сияқты

cos(+)=coscos-sinsin

cos(-)=coscos+sinsin

мүшелеп қосып және азайтайық.

Бұлардан:

cosαcosβ=1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]; (3)

cosαsinβ=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]; (4)
Мысалдар көрсеитіледі:

1 мысал: sin(5π/12)cos(π/12) мәнін табайық.

2 мысал: 2cos31⁰sin14⁰ өрнектері мәндерін формулалардың және арнайы кестенің көмегімен есептейік.

5. 
   Жаңа тақырыпты бекіту үшін үш топқа әртүрлі тапсырмалар орындату, үйге берілген тесттер туралы сұрау.
   

І топ оқушыларына:

1) sin15^ocos10^o 2) sin35^о sin50^о 3) 2sin2αcos5α

Көбейтіндіні қосындыға түрлендіріңдер.
II топ оқушыларына:

Өрнектерді қосындыға түрлендіріңдер, арнайы кестенің көмегімен мәндерін табыңдар.

1) sin105^ocos75^o 2) 2cos37^o30^/cos22^o30^/ 3) 4sin75^ocos15^ocos60⁰
III топ оқушыларына:

Әуелі өрнекті түрлендіріп, одан соң арнайы кестені қолданып, мәндерін табыңдар.

1. 
   2sin70^ocos120^o+2cos68^ocos52^o
   
2. 
   Cos86^osin20^o-sin121⁰sin59^o
   
3. 
   Sin20^ocos70^o+sin10^osin50^o
   

Оқулықтан № 528 есептерді шығарту

6. 
   Сабақты қорытындылау. Бой сергіту үшін ойындар ойнату
   

7. 
   Үй жұмысына оқулықтан № 526, 528 есептерді шығарып келуге беру, формулаларды жаттау
   

ІІІ топ оқушыларына қосымша № 531, 532 есептерді шығарып келуге беру

8. 
   Оқушыларды жинаған ұпайы бойынша бағалау
   

Топ	Үй жұмысы	Тест сұрақтары	Талапкер есептері	Сынып жұмысы	Сұрақтарға жауап беру	Жинаған жалпы ұпайы	Бағасы
І топ:
ІІ топ:
ІІІ топ:

Оқытушы: И.Т.Нұрбергенова

Пәні:Математика.

Күні: ________________________________________________

Топ: __________________________________________________
Сабақ тақырыбы: Тригонометриялық теңдеулерді және теңдеулер жүйесін шешу әдістері

Сабақтың мақсаты:

Білімділігі: Білім алушыларды тригонометриялық теңдеулер жүйесін шешу әдістерін үйрету

Дамытушылығы: Білім алушының оқушылардылардың біліктілігін, теңдеулер шығару дағдысын қалыптастыру;

Тәрбиелігі: оқушыларды сауаттылыққа, тазалыққа, тәртіпке тәрбиелеу

Типі: Жаңа сабақты меңгерту

Түрі: Аралас сабақ

1. 
   Сабақтың барысы:
   

І. Ұйымдастыру кезеңі

ІІ. Үй берілген тапсырманы аралай жүріп тексеру, сұрақ қою арқылы жауап алу

ІІІ Жаңа сабақ жоспары:

Бір тектес тригонометриялық теңдеулерді шешу.

a₀uⁿ+a₁u^n-1v+a₂u^n-2v²+…+a_n-1uv^n-1+a_nvⁿ=0

түріндегі теңдеу u мен v-ға байланысты n- дәрежелі біртектес теңдеу деп аталады

Мысалдар қарастырaйық.

6sin²х - 3sinхcosx - cos²x = 1 теңдеуін шешейік.

Шешуі: Теңдеудің оң жақ бөлігіндегі 1 санын sin²х + cos²x = 1 түріндегі негізгі тригонометриялық тепе-теңдікпен алмастырып, сол жақ бөлігіне көшіреміз.

Сонда , 6sin²х - 3sinхcosx - cos²x - sin²х - cos²x =0

5 - 3sinхcosx - 2cos²x = 0

Осы шыққан теңдеудің сол жағында тұрған қосылғыштардың әрқайсысының дәежесі 2-ге тең. Демек, берілген теңдеу екінші дәрежелі біртектес теңдеу. Бұл теңдеуді шешу үшін теңдіктің екі жағын cos²x ≠ 0 немесе sin²х ≠ 0 деп алып, мүшелеп бөлеміз.

Егер sin²х-ке бөлсек , онда ctgx функциясына, ал cos²x-ке бөлсек tgx функциясына қатысты квадрат теңдеуге келеміз.

, 5tg²x – 3tgx – 2 = 0, tgx = u,

5u²-3u-2=0, u₁=-0,4; u₂=1

tgx =-0,4; tgx = 1 x₁ = -arctg0,4 + πn, n € Z. x₂ = + πn, n € Z.

Тригонометриялық теңдеуі бар жүйені тригонометриялық теңдеулер жүйесі деп атайды.

Тригонометриялық теңдеулер жүйесін шешу, алгебралық теңдеулер жүйесін шешу әдістеріне негізделген, демек, ол алгебралық теңдеулер жүйесін шешу әдістерін тригонометриялық формулаларды түрлендірулер кезінде қолдана білу мен тригонометриялық теңдеулерді шешу дағдысын меңгеруді қажет етеді.
1 - Мысал: теңдеулер жүйесін шешейік.
Шешуі: жүйе бір алгебралық және бір тригонометриялық теңдеулермен берілген. Алгебралық теңдеудегі белгісіздің біреуін екіншісі арқылы өрнектейік, айталық . Осы өрнекті екінші теңдеудегі у-тің орнына қоямз. Сонда жүйесіналамыз.

Осыдан sinx = 2sinx· cos - 2cosx· sin.

Енді cos= , ал sin=екенін ескерсек , sinx =2sinx+ cosx шығады.

Бұдан cosx = 0 немесе cosx = 0, x =+πn.

Соңғы өрнектегі х-тің мәнін бірінші теңдеуге апарып қойсақ:

Тексеру арқылы x =, мәндері берілген теңдеулер жүйесін қанағаттандыратынын көреміз, яғни

Жауабы: , n € Z.
2 - Мысал: теңдеулер жүйесін шешейік.
Шешуі: sinx = u, cosy = v деп алмастырып, жүйесіне келеміз.
Бұдан u₁ =, v₁= және u₂ =, v₂ = мәндерін аламыз.

Енді әрбір жұп үшін х айнымалысының мәнін анықтаймыз.

1. 
   u₁ =, v₁ = . sinx =, х =(-1)^к; cosy =, y =±.
   
2. 
   u₂ =, v₂ =. sinx =, х =(-1)^к; cosy =, y =±.
   

Жауабы: (-1)^к; ±, к € Z.

(-1)^к; ±, к € Z.

IV. Жаңа білімді бекіту. 80 бет №№164,165,166,167 жаттығулары

VІ. Сабақты бекіту. «Мен нені үйрендім?» атты жаттығу.

V. Үйге тапсырма беру.

VІІ. Бағалау, сабақты аяқтау.

Оқытушы: И.Т.Нұрбергенова

Пәні:Математика.

Күні: ________________________________________________

Топ: __________________________________________________
Сабақ тақырыбы: Тригонометриялық теңсіздіктерді шешу

Сабақтың мақсаты:

Білімдік: Оқушыларға теңсіздіктің жаңа түрі-тригонометриялық теңсіздік ұғымын меңгерту және оның шешу жолдарын үйрету, қарапайым тригонометриялық теңсіздіктердің барлық түрлерімен, олардың шешімінің бар және жоқ болу шарттарымен таныстыру

Дамытушылық: тригонометриялық теңсіздіктерді шешу алгоритмін беру, оны есеп шығаруда қолдану білік, дағдыларын қалыптастыру, ұлттық бірыңғай тестіге дайындалуға дағдыландыру

Тәрбиелігі: оқушыларды сауаттылыққа, тазалыққа, тәртіпке тәрбиелеу

Типі: Жаңа сабақты меңгерту

Түрі: Аралас сабақ

1. 
   Сабақтың барысы:
   

І. Ұйымдастыру кезеңі

ІІ. Үй берілген тапсырманы аралай жүріп тексеру, сұрақ қою арқылы жауап алу

ІІІ Жаңа сабақ жоспары:

Бұл тақырыпты игере отырып, тригонометриялық теңсіздіктер ұғымымен танысып және оларды шешу әдістерін үйренесіздер.

Біз тригонометриялық теңдеулерді қарастырдық.

Кез келген тригонометриялық теңдеулер жүйесін тең түрлендіру әдістері арқылы қарапайым тригонометриялық теңдеулерге келтіріліп шешілетініне көз жеткіздік.

Енді тригонометриялық теңсіздіктерді шешуге тоқталамыз. Тригонометриялық теңсіздіктерді шешуді қарапайым тригонометриялық теңсіздіктерді шешуден бастаймыз. Себебі, күрделі тригонометриялық теңсіздіктерді тепе-тең түрлендіргеннен кейін, келесі теңсіздіктердің ең болмағанда біреуіне келеді:

, , .

, , . (1)

, , .

c, c, c. мұндағы

Df. (1) түріндегі берілген теңсіздіктер тригонометриялық теңсіздіктер деп аталады.

Тригонометриялық теңсіздікті қарапайым шешу үшін қолданылатын алгоритмдер:

1. 
   тригонометриялық теңсіздікті қарапайым тригонометриялық теңсіздікке келтіру;
   
2. 
   бір координаталық жазықтыққа теңсіздіктің құрамында берілген тригонометриялық функцияның графигін салу және у =а түзуін жүргізу;
   
3. 
   функциялар графиктерінің қиылысу нүктелерін табу;
   
4. 
   берілген теңсіздікті қанағаттандыратын қисықтың бөлігі мен бас аралықты анықтау;
   
5. 
   сәйкес кері тригонометриялық функцияның мәнін ескеріп, бас аралықты шеткі нүктелерінің абциссаларының мәнін табу;
   
6. 
   тригонометриялық функцияның периодтылық қасиетін пайдаланып, теңсіздіктің жалпы шешімін жазу.
   

Енді тригонометриялық теңсіздіктерді шешуге мысалдар қарастырайық.
1 - Мысал: теңсіздігін шешейік.
Шешуі: теңсіздікті шешу үшін у= sinx функциясының графигі синусоида қисығын және у=түзуін координаталық жазықтыққа салайық. Сонда у=түзуі синусоида қисығын шексіз көп нүктелерде қиып өтеді.
Енді берілген теңсіздікті қанағаттандыратын абцисса осінің бас аралығындағы шеткі нүктелерінің абциссаларын х₁, х₂ деп белгілеп, олардың мәндерін анықтайық. Ол үшін arcsinх = екенін ескереміз. Сонда х₁ = π - = және х₂ = 2π + = шығады.

Демек, ≤ х ≤ болады. Берілген теңсіздіктің толық шешімін жазу үшін у= sinx функциясының периодтылық қасиетін пайдаланамыз. Сонда + 2πn ≤ х ≤ + 2πn.

Жауабы: ( + 2πn ≤ х ≤ + 2πn),

IV. Жаңа білімді бекіту. 84 бет №№136,137, 77 бет №№154,155,156

VІ. Сабақты бекіту. «Мен нені үйрендім?» атты жаттығу.