Сборник задач для учащихся 5-6 классов

До переливания 
8
0
0
После 1-го 
переливания 
5
0
3
После 2-го 
переливания
5
3
3
После 3-го 
переливания
2
3
1
После 4-го 
переливания
2
5
1
После 5-го 
переливания
7
0
0
После 6-го 
переливания
7
1
3
После 7-го 
переливания
4
1
0
После 8-го 
переливания
4
4
 
Задача
 27. Делёж. 
Ответ:
 
Решение 1: 
Бочонки
Шестиведе
рный
Трехведе
рный
Семиведе
рный
До переливания 
4
0
6
После 1-го 
переливания 
1
3
6
После 2-го 
1
2
7

переливания
После 3-го 
переливания
6
2
2
После 4-го 
переливания
5
3
2
После 5-го 
переливания
5
0
5
Решение 2:
Бочонки
Шестиведе
рный
Трехведе
рный
Семиведе
рный
До переливания 
4
0
6
После 1-го 
переливания 
4
3
3
После 2-го 
переливания
6
1
3
После 3-го 
переливания
2
1
7
После 4-го 
переливания
2
3
5
После 5-го 
переливания
5
0
5
Задача28:
Ответ 

Задача 29:
Флаг – 1.
Ответ 
Задача 30:
Флаг – 2.
Ответ 
Задача 31:
Ответ 

Задача 32:
Ответ.
Решение.
Здесь стоит сначала вычислить сторону квадрата, который должен 
получиться. Он будет состоять из стольких же клеток, что и исходные фигуры, 
а их общая площадь составляет 5·5+(5·5-1)=49 клеток. 49=7², поэтому сторона 
квадрата равна 7 клеткам. Значит, нужно каким-то образом «нарастить» 
квадрат 5×5. 

Разрезать квадрат с дыркой на 4 части двумя прямыми можно, только 
если эти прямые касаются краев дырки. Сделать это так, чтобы разрезу 
проходили по сторонам клеток, можно только так, как показано на рисунке 
(см. Ответ к этой задаче). После того, как эти рассуждения проведены, 
завершить решение не составит труда.
 
Задача 33:
Три фигуры.
Ответ 
Решение.
Обратим внимание, что каждая из указанных фигур состоит из 
16=4·4 клеток, значит, квадрат получится размера 4×4. Дальше надо 
постараться «увидеть» часть этого квадрата на рисунке и часть фигуры, 
которую надо отрезать и передвинуть.
Задача 34:
Мальтийский крест – 1. 

Ответ 
 
Решение: 
В этой задаче не стоит искать сторону квадрата, который 
должен получиться. Лучше просто внимательно посмотреть на рисунок. У 
мальтийского креста 4 оси симметрии: вертикальная, горизонтальная и две 
диагональных (как, впрочем, и у квадрата). Обратим особое внимание на 
диагональную ось симметрии и постараемся делать наши разрезы 
симметричными 
относительно 
нее. 
Если 
провести 
два 
длинных 
диагональных разреза (см. рисунок в Ответе к этой задаче), «вытащить» 
прямоугольник, образовавшийся внутри, а оставшиеся две части сдвинуть 
друг к другу, получится «квадрат» с двумя «дырками» в углах. Чтобы их 
заполнить, надо разрезать оставшийся прямоугольник на 4 части. Это легче 
будет сделать, вновь принимая во внимание соображения симметрии.
Задача 35:
Ответ
Решение.
В этой задаче несложно вычислить площадь квадрата, 
который мы пытаемся собрать. Она равна 2·2+6·6+9·9=4+36=81=121=11², 
поэтому квадрат будет иметь сторону 11. Дальнейший ход решения зависит 
от вашего воображения. Кстати, вполне возможно, что приведенный в ответе 
способ разрезания — не единственный.

Задача 36:
 «Лесенка».
Ответ 
Задача 37: 
Решение.
Наполнить из бидона 8-литровый сосуд, затем из него наполнить
5-литровый, после чего в 8-литровом останется 3 л. Возвращаем из 5-
литрового сосуда его содержимое в бидон и переливаем из 8-литрового в 5-
литровый 3 л. Затем наполним из бидона 8-литровый сосуд. Долить из 8-
литрового сосуда 5-литровый доверху, а поскольку в нем уже было 3 л, мы 
отольем из 8-литрового 2 л молока. В результате, в 8-литровом сосуде 
останется 6 л молока. Решение можно изобразить в виде таблицы: 
Сосуд емкостью 8л 
0 
8 
3 
3 
0 
8 
6 
Сосуд емкостью 5л 
0 
0 
5 
0 
3 
3 
5 
Задача 38: 
 
Решение.
Для того, чтобы выявить фальшивую монету, достаточно одного 
взвешивания. Обозначим монеты: А, В и С. Если поместить монеты А и В на 
чашки весов, то возможны три случая:
если монета А окажется легче монеты В, то она и является фальшивой; 
если монета В окажется легче монеты А, то она и является фальшивой; 

если весы будут находится в равновесии, то фальшивой является отложенная 
нами монета С. 
Нам удалось обойтись одним взвешиванием благодаря тому, что мы знали, 
легче фальшивая монета настоящей или тяжелее. 
Задача 39: 
Решение.
Разобьем монеты на три группы: в первой и второй группах по 21 
монете, в третьей – 19 монет. На чашки весов поместим две группы по 21 
монете. Возможны два случая: чашки весов находятся в равновесии и чашки 
весов не уравновешены. 
1). Пусть чашки весов находятся в равновесии. Следовательно, фальшивая 
монета находится в составе третьей группы, состоящей из 19 монет. 
Разобьем эти 19 монет на три группы: первые две по 7 монет и третья из 5 
монет. Поместим первые две на чаши весов. Если они находятся в 
равновесии, то фальшивая монета находится в составе группы из 5 монет. В 
этом случае разбиваем ее на три группы: первые две по 2 монеты и третья – 
из одной монеты. Если разместить первые две группы на чашках весов, то 
возможны два случая: если чашки находятся в равновесии, то фальшивой 
окажется единственная монета третьей группы; если одна из групп окажется 
тяжелее, то в ее составе – фальшивая монета. Поскольку группа содержит 
две монеты, нам достаточно еще одного взвешивания, чтобы четвертым 
взвешиванием выявить фальшивую монету.
Вернемся ко второму взвешиванию. Пусть одна из групп в составе 7 монет, 
находящаяся на чашке весов, тяжелее другой. Тогда в ее составе фальшивая 
монета. Разбиваем эти 7 монет на три группы: первые две – по 3 монеты, 
третья – в составе одной монеты. Первые две группы разместим на чашках 
весов (это третье взвешивание). Если чашки весов находятся в равновесии, то 
фальшивой является единственная монета третьей группы. Если одна из 
групп на весах тяжелее, то в ее составе находится фальшивая. Две из этих 
трех монет разместим на весах (это четвертое, последнее взвешивание). Если 
весы будут находиться в равновесии, то фальшивой является третья, не 
попавшая на весы монета. Если одна из монет на весах тяжелее, то она и 
является фальшивой. 

2). Вернемся к первому взвешиванию. Пусть одна из групп в составе 21 
монеты на чашке весов тяжелее другой. Тогда в ее составе находится 
фальшивая монета. Разобьем 21 монету на три группы по 7 монет в каждой. 
Разместим две из них на чашках весов (это второе взвешивание). Если они 
находятся в равновесии, то фальшивая монета находится в составе третьей 
группы, если одна из групп на чашках весов тяжелее другой, то фальшивая 
монета – в ее составе. В любом случае количество монет, в составе которых 
находится фальшивая, равно семи. Рассматривая предыдущий случай, мы 
уже показали, как за два взвешивания выявить фальшивую монету из семи 
данных. Таким образом, и в этом случае нам оказалось достаточно четырех 
взвешиваний. 
Задача 40: 
Решение.
Обозначим монеты А, В, С, D, Е. Поместим монеты А и В на одну 
чашку весов, а монету С и гирю – на другую (первое взвешивание). Если весы 
находятся в равновесии, то среди монет на чашках весов нет фальшивой и, 
следовательно, фальшивой является одна из монет D и Е. Следующим 
взвешиванием разместим на одной из чашек весов монету D, а на второй – 
гирю (второе взвешивание). Если весы находятся в равновесии, то монета D – 
настоящая, а следовательно, монета Е – фальшивая. Если же равновесия при 
втором взвешивании нет, то фальшивой является монета D.
Вернемся к первому взвешиванию. Если тяжелее окажется та чашка весов, 
на которой размещены монеты А и В, то фальшивая монета среди трех: А, В 
(тогда фальшивая монета тяжелее настоящих) или С (тогда она легче). 
Отложенные монеты D и Е в этом случае – настоящие. Разместим теперь на 
одной из чашек весов монеты А и С, а на другой – настоящие монеты D и Е 
(второе взвешивание). Если теперь перевесит чашка весов, на которой 
находятся монеты А и С, то фальшивой является монета А (тяжелее 
настоящей может быть монета А, но не монета С). Если перевесит чашка 
весов, на которой находятся настоящие монеты D и Е, то фальшивой является 
монета С (легче настоящей может быть монета С, но не монета А). Если же 
чашки весов при втором взвешивании будут находиться в равновесии, то 
фальшивой является монета В (в этом случае монеты А и С настоящие). 

Интернет - источники: 
http://mathem.hut1.ru/z_all.htm
 
http://mmmf.msu.ru/archive/20052006/z5/15.html
 
http://logicumm.ru/ves/
 
http://www.smekalka.pp.ru/weight.html
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

жүктеу/скачать 3,64 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: