§ 2. Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И РО ВА Н И Е ФУНКЦИЙ

62
ГЛ. III. ПРОИЗВОДНАЯ И Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И АЛ
858. 
Через начало координат проведена прямая, параллельная каса­
тельной к кривой в произвольной ее точке М. Найти геометрическое место 
точек Р пересечения этой прямой с прямой, параллельной оси ординат 
и проходящей через точку М.
Найти такие геометрические места для а) параболы у* = 2рх, б) ло- 
гарифмики 
y = \ogbx, в) окружности х* -|- у* = аг, г) трактрисы
a -f- У а* — х*
У = У а * ~ х~
a In
В задачах 859 — 864 найти углы, под 
которыми пересекаются данные линии.
859. 1) 
У =
“ 
y = X‘' + t f + S .
' '
х-\-2
 
16
2) у = ( х — 2)3 и у = 4 х  — х*-\-4.
860. 1) л'3 —
|— у~ = 8 и у “ = 2 х .
2) х* -\-уг — 4 х =  1 и
# *4 - У + 2у = 9.
861. х* — у°- =  5 и £ + £ = 1.
862. 
х~ 
-\-
у* = Sax и у а
~-
ЙЛП
863. 
х* 
=
4ау и у .
2 а — х *
Л‘3 -J- 
*
864. у =  sin х и у =  cos х ( О ^ х ^  тс).
865. Составить уравнение касательной и нормали к линии
$■+(*)->
в точке с абсциссой, равной а.
866. Доказать, что сумма отрезков на осях координат, образуемых
L 
_L 
_L
касателыюй к кривой х 2 -f-У2 = а 2, для всех ее точек равна а.
—
JL 
JL
867. Показать, что отрезок касательной к астроиде х 3 -|-у 3 = а 3 » 
заключенный между осями координат, имеет постоянную длину, равную а.
868
. Доказать, что отрезок касательной к трактрисе
а ш
а 4- Т' d" 
х- 
-»/ а 
о 
У = -
7
Г Ш ~-’~ ^ = = — V а* — х \
2 
а — У а3 — ха
заключенный между осыо ординат и точкой касания, имеет постоянную 
длину.
869. Показать, что для любой точки М  (лг0>
З'о) равнобочной гипер­
болы х
аг отрезок нормали от точки М  до точки пересечения
с осью абсцисс равен полярному радиусу точки М.
870. Показать, что отрезок, отсекаемый на оси абсцисс касательной

жүктеу/скачать 9,73 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: