Сборник задач по курсу математического анализа ■ ' '4 f
§ Г. СПОСППЫ ТОЧНОГО ВЫ ЧИ С ЛЕН И Я ИНТЕГРАЛОВ
жүктеу/скачать 9,73 Mb. Pdf көрінісі
|
Berman Sbornik
- Бұл бет үшін навигация:
- i l l .V з 2322*. Показать, что 1 — 0,523 dx ---- ^ 3
§ Г. СПОСППЫ ТОЧНОГО ВЫ ЧИ С ЛЕН И Я ИНТЕГРАЛОВ 2301 2303 2305. I* dx • ^ J+ 7 3 - I *2 (• JC* dx * J Xs - Зх 2 ‘ dx / x + 1 -Ь У (х 1 )'* 2307. \ У 2х + Р dx, о In 5 (» ех У е* - 1 2309. 3 ;/'2 2302 х3 dx * J (1 -f x‘J)a ' и /'5 2304. л-’5 fif.V J (1+*V 0 "hrt 2306. ... .) У a- ,v- —a Vi 2308. J x r> V I -j- •*“ 2310. t J л" У .v- -j- 5л- 4- 1 135 2311. x sm x COS" X dx. 2314. jj (arcsin лг)' dx. 2312. dx 2 cos x 4- 3 2313. dx 1 4- -g- siuajc It) _____________ 2315. jj arctg ]•/")/ x — I dx. 2316. * (Зл- + 2) dx J (x* + 4 x + l ) - 2317. sin A' COS X dx a- cos- x 4 № sin- x * 23IS. Показать, что \ —— .! nJ ^ dx, . „ — где а и b — любые j «- cos- x -f~ o- sin- x 2 действительные числа, отличные от нуля. X dx 2319. Решить уравнение С — _~v J х у х* — Y i X С d к 2320. Решить уравнение ^ у'-=-~ 1 12 I б 136 ГЛ. V II. ВЫЧ МОЛ H111 IE О ПРЕД ЕЛЕННЫ Х ИНТЕГРАЛОВ 2321. Убедшшшсь в справедливости неравенств — 1 п _v 1 при е ■ 1 dx х^> с, показать, что интеграл I* меньше единицы, но больше 0,02. у' i l l .V з 2322*. Показать, что 1 — 0,523 < С - dx---- < - Д - ^ 0 ,Д Я 5 . 6 ^ 3 У 4 - Xs - а 3 4 У 2 о 2323*. Показать, что 0,5 0,5 < [ - т = ^ = ^ ^ 0,523 («2э 1). ^ j У \ - х-п б о V1* 2324. Используя неравенство sin а: jc — справедливое при х^>0, и неравенство Коши— Бупяковского (см. задачу 1638), оценить интеграл К 2 $ У х sin х dx. о 1 2325*. Показать, что 0,78 < [ -J x— < 0,93. ^ 3 VT о 2326. Найти наибольшее и наименьшее значения функции J ( x ) = I 2 1 -j- 1 ., г і і і “ \ t- — 2t -f 2 B ІІІ,теРвале I— Ч- 5 2327. Найти точку экстремума и точки перегиба графика функции и В задачах 2328— 2331, ие вычисляя интегралов, доказать справед ливость равенств. % 8 1 2328. [ х хо sin9 х dx = 0. 2329. 'J - Зд—t~- lx* ~ x dx = 0. J COS- X ~~ 1 1 1 2 2330. ^ ecos -v dx = 2 J e ws -v dx. 2331. (J cos x 1 и j - i j dx = 0. - l о J j_ 2 г 2332*. а) Показать, что если / (/ )— функция нечетная, го [ / { f ) d t — •1 —X X функция четная, т. е. что ^ f (t) dt — ^ f (t) dt. a a X б) Будет ли ^/(/) dt функцией нечетной, если f (t) — функция четная? П 2333*. Доказать справедливость равенства X 1 t g * C ttf.V 2334. Показать тождество \ - / 4- гтт~т~л — .) 1 + t J 1 J t ( \ + t - ) § I. СПОСОБЫ ТОЧНОГО ВЫ ЧИ СЛЕН ИЯ ИНТЕГРАЛОВ 137 1 1 2335. Доказать тождество Sln-Jf COS2 X arcsin У і dt -f* ^ arccos Y"t dt = . о и 2330. Доказать справедливость равенства i I J x m (1 — x)n dx — x n (1 — x)m dx, O I) 2337. Доказать справедливость равенства i) I) jj / (x) d x = \ f(a - \ - b — x) dx. a a п t : 2* 2 2338. Доказать, что /(cos лг) dx — \ f (sin лг) dx. и ii Применить полученный результат к вычислению интегралов Т. г, "о ~2 ^ cos‘J х dx и sin'2 лг dx. О II 2339*. Доказать, что xf(s\nx)dx = Y /(sin x) dx = О V 2 a = j- • 2 • ^ /(sin x) dx = ^ ^ / (sin лг) dx. Применить получении,! результат и о 138 ГЛ. V II. ВЫ Ч И С Л ЕН И Е О П РЕД ЕЛ ЕН Н Ы Х ИНТЕГРАЛОВ к вычислению интеграла Л' sin х , dx. 1 + cos~ х 2340*. Показать, что если f ( x ) — функция периодическая с перио- а + Т дом Т, то ^ f (x )d x не зависит от а. а 2341*. О функции f(x) известно, что она нечетная в интервале .V [ -- I f ] 11 имеет нериод, равный Т. Доказать, что jj f(t)d t есть также а периодическая функция с тем нее периодом. I 2342. Вычислить интеграл ^(1— х-)п dx, где п — целое положптель- о ное число, двумя способами: разлагая степень двучлена по формуле для бинома Ныотона и с помощью подстановки „*r = sin таты, получить следующую формулу суммирования (С* — биномиальные коэффициенты): Г о , С1 С* , , (-> )ЯС % _ 2 • 4 • 6 ... 2« а 3 ^ 5 7 “Г — “t- 2п + 1 “ 1 .3-5... (2 я+ D * 2г. С dx 2343. Интеграл \ -— \ ^ легко берется с помощью подстановки D — О COS X X tg y == z . Имеем: 2т. о [* < 1 х (* 2 3 COS лг \ / „ 1 — 2- 0. Но, с другой стороны, — 3<^— 3 cos -V -(- 3, следовательно, 2 < 5 - 3 c o s x < S и 1 > 3— 1— > | . Отсюда § 'J (lx > jj 5_ 3C osx> j" Т dx’ 0 0 о 2т. и значит, Л 5 — З соз ^ айтн 0ШИ< > КУ ° рассуждении. § 2. П РИ БЛ И Ж ЕН Н Ы Е МЕТОДЫ. 139 к Т 2344*. Пусть 1 п = \ tg4 х dx («^>1 и целое). Проверить, что В задачах 2347— 2349 вычисления вести с точностью до 0,001. 2347. Площадь четверти круга, радиус которого равен единице, равна С другой стороны, взяв единичный круг с центром в начале координат, уравнение которого х--)-_у2= 1 , и применяя для вычисления площади четверги этого круга интегрирование, получим: Пользуясь правилами прямоугольников, трапеций и правилом Симп сона, вычислить приближенно число -, разбивая интервал интегрирова ния [0, 1] на 10 частей. Полученные результаты сравнить между собой и с табличным значением числа к. зультаты, полученные по различным правилам, при разбиении интервала интегрирования на 10 частей сравнить между собой и с результатами предыдущей задачи. ' п = 10. Найти модуль перехода от натуральных логарифмов к десятич ным. Сравнить с табличным значением. 6 2346*. Доказать справедливость равенства о о 2346*. Доказать, что а § 2. Приближенные методы о о вычислить приближенно число Ре- 0 10 2349. Вычислить правило Спмпсопа при 140 ГЛ. V II. ВЫ ЧИ С ЛЕН И Е О П РЕД ЕЛ ЕН Н Ы Х ИИТЕГРЛНОВ В задачах 2350— 2355 вычислить приближенно, пользуясь формулой Симпсона, интегралы, которые не могут быть найдены в конечном виде с помощью элементарных функций. Число п частичных интервалов за дается в скобках. I 1 2350. \ V 1 — -v-:l dx (п = 10). 2351. $ V 1 -}- a'1 dx (п = 10). 2352. ^ ~ (п = б). 2353. У cos ср dy '1 'і К " т т 2354. ^ У 1 — 0, ilm r ? rfa (п = (>). 2355. jj dx Рис. ЗУ. 1.35 2356. Вычислить по формуле Симпсона интеграл ^ f(x )d x , поль 1.03 зуясь следующей таблицей значений функции f (х): (п = 10). (а = 10). X 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 f(x ) 2,36 2,50 2,74 3,01 3,46 3,08 4,GO 2357. Прямая линия касается берега реки в точках А и В. Для измерения площади участка между рекой и прямой А В провешены 11 перпендикуляров к А В от реки через каждые 5 м (следовательно, прямая А В имеет длину G0 м). Длины этих перпендикуляров оказались равными 3,2S; 4,02; 4,G4; 5,26; 4,98; 3,62; 3,82; 4,68; 5,26; 3,82; 3,24 м. Вычислить приближенное значение площади участка. 2358. Вычислить площадь поперечного сечения судна при следующих данных (рис. 39): АЛу = А\Ап — А 4 А 3 = /13Аі = /14/1,15 — А^Л*] = 0,4 м, А В = 3 м, A\Bi = 2,92 .и, AJ3, = 2,75 л/, Л3Я, = 2,52 лг, А5Ді = 2,30 л*, Д,ЯВ=1,84 .w, Л6/?(; = 0,92 .и. 2359. Для вычисления работы пара в цилиндре паровой машины вычисляют площадь индикаторной диаграммы, представляющей собой § 2. П РИ БЛ И Ж Е Н Н Ы Е МЕТОДЫ 141 графическое изображение зависимости между давлением пара в цилиндре и ходом поршня. На рис. 40 изображена индикаторная диаграмма паро вой машины. Ординаты точек линий ABC и ED, соответствующие абсциссам х0, х и хъ •••> ^ю, даны следующей таблицей: Ординаты линии A B C ........... > > ED . . . . ' ' о G0,6 5,8 Xi 53,0 1,2 л\> 32,2 0,6 24,4 0,6 д-* 19,9 0,7 ! Се с 4" Абсциссы............................... Xj л "я •*0 X in Ординаты линии Л В С ........... 15,0 13,3 12,0 11,0 6,2 > г ED . . . . 0,9 1,0 1,3 1,8 57 Вычислить с помощью формулы Спмпсопа площадь ABCDB. Орди наты даны в миллиметрах. Длина OF = 88,7 мм (точка F — общая проекция точек С п О па ось абсцисс). В задачах 2360 — 2363 при нахождении пределов интегрирования необ ходимо воспользоваться методами приближенного решения уравнений. 2360. Найти площадь фигуры, ограниченной дугами парабол — 7 и у = — 2х~-\-Ъх и осыо ординат. 142 ГЛ. VIT. ВЫ ЧИ С Л ЕН И Е О П РЕД ЕЛ ЕН Н Ы Х ИНТЕГРАЛОВ 2361. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у = х 3 и прямой у — 7 (х -|- 1). 2362. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой _у=16 — х* ходя пз размеров, проставленных на чертеже (в мм), вычислить пло щадь ABCDO, если известно уравнение линии В С : pv7 = const (ли ния В С называется а д и а б а т о й ) , -у =1,3, А В — прямая, параллельная оси Ov. 2365. На рис. 42 представлена индикаторная диаграмма дизельного двигателя. Отрезок А В соответствует процессу сгорания смеси, адиа бата ВС — расширению, отрезок CD — выпуску и адиабата DA — сжа тию. Уравнение адиабаты B C :p v ['3 = const, уравнение адиабаты AD\pvx,3b = const. Исходя из размеров, проставленных на чертеже (в мм), определить площадь ABCD. В задачах 2366 — 2385 вычислить несобственные интегралы (или установить пх расходимость). и полукубической параболой у — — У х 2. Р 2363. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = 4 — х 1 и у = У х . Рис. 41. Рис. 42. жүктеу/скачать 9,73 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|