Сборник задач по курсу математического анализа ■ ' '4 f


§ 5. СИСТЕМЫ Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И АЛ ЬН Ы Х УРАВНЕНИИ



Pdf көрінісі
бет120/146
Дата06.02.2022
өлшемі9,73 Mb.
#80743
түріСборник задач
1   ...   116   117   118   119   120   121   122   123   ...   146
Байланысты:
Berman Sbornik


§ 5. СИСТЕМЫ Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И АЛ ЬН Ы Х УРАВНЕНИИ
4321. / " +
2 / ' 4 - / 4 - 2 < г 2л* 
= 0; 
у
\Х а 0
 = 2,
У |.v = 
0
 =
1
» y'U-
0
=l.
4322.
/ " —/ =
3 ( 2 —
* 2); ^
= 0= У U - o = y ' U - o = 1.
4323. Решить уравнение Эйлера 
х
3
/ " х у '
— _у = 0.
§ 5. Системы д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х уравн ен и й
(корни характеристического урав 
нения г 
1
=
1

г,2
= 2, г
3
= 5).
(корни характеристического урав­
нения Гі =
2
, г
2
. з = 3 ± : /).


276
ГЛ. XIV. Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И А Л ЬН Ы Е УРА ВН ЕН И Я
У
'ху
4330.
4332.
4334.
У ~
2

2xz
X- — у- — z~
4 ^ _ й + 3 х
dt 
dt 1
Sin t,
dx
dt
4331.
4333.
z = y '(z — y f, 
y = z '(z — y)\
X,
-J- у =  COS t.
dt- I dt ' x ~ 
d t ' dt-
dy_ 
dt* 
d-x
d F = y -
e
l,
4335.
dx
dy
dz
z — y
y — x
В задачах 4 3 3 6 — 4339 найти частные решения систем дифференциаль­
ных уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям.
d y _ у - - y z
4336.
4337.
4338
4339
4340. Найти пару линий, обладающих следующими свойствами: а) каса­
тельные, проведенные в точках с одинаковыми абсциссами, пересекаются 
на оси ординат; б) нормали, проведенные в точках с одинаковыми абсцис­
сами, пересекаются на оси абсцисс; в) одна из линий проходит через 
точку (
1

1
), д р у гая — через точку (
1

2
).
4341. Даны две линии: 
у ~ t (х),
проходящая через точку (0. I)
„V
и 
у =

f(t)clt,
проходящая через точку ^О, 

Касательные, про­


§ 5. СИСТЕМЫ Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И АЛ ЬН Ы Х УРАВНЕНИИ
277
веденные к обеим линиям в точках с одинаковыми абсциссами, пересе­
каются на осп абсцисс. Найти линию 
у = / (х ).
4342. Найти линию в пространстве, проходящую через точку (0, 
1

1
)
и 
обладающую следующими свойствами: а) след касательной на пло­
скости 
Оху
при перемещении точки касания вдоль линии описывает 
биссектрису угла между положительными направлениями осей 
Ох
и 
О у,
б) расстояние этого следа от начала координат равно координате 
точки касания.
4343. Два шарика, масса каждого из которых 
/п,
соединены очень 
легкой пружиной (удлинение ее пропорционально растягивающей силе). 
Длина нерастянутой пружины /0. Пружина растянута до длины 

а затем 
в момент 
t —
0
оба шарика, расположенные вертикально одни над дру­
гим, начинают падать (сопротивлением среды пренебрегаем). Через время 
7' длина нити сокращается до /«. Найти закон движения каждого из 
шариков.
4344. Горизонтальная трубка вращается 
вокруг вертикальной оси
с 
угловой скоростью 2 
радиана в секунду. В трубке находятся два
шарика с массами 300 и 200 г, соединенные невесомой упругой нера­
стянутой пружиной длиной 
10
см,
причем более тяжелый шарик дальше 
от оси вращения. Сила в 0,24 я растягивает пружину на 
1
см,
а центр 
тяжести системы шариков удален от осп вращения на 10 
см.
Шарики 
удерживаются в указанном положении некоторым механизмом. В момент, 
который считаем началом отсчета времени, действие механизма прекра­
щается, и шарики приходят в движение. Найти закон движения каждого 
шарика относительно трубки. (Трением пренебрегаем.)
4345. Скорость роста культуры микроорганизмов пропорциональна 
их количеству и количеству питательных веществ (коэффициент пропор­
циональности равен 
к).
Скорость убывания питательных веществ про­
порциональна наличному количеству микроорганизмов (коэффициент про­
порциональности равен 
к\).
В начале опыта в сосу и имелось Ло микро­
организмов и 
В
0
питательных веществ. Найти зав. снмость количества 
А 
микроорганизмов и количества 
В
питательных 
веществ от времени 
( А >
0
, А , >
0
).
4346*. Допустим, что бактерии размножаются со скоростью, про­
порциональной их наличному количеству (коэффициент пропорциональ­
ности равен 
а),
по в то же время вырабатывают яд, истребляющий их 
со скоростью, пропорциональной количеству яда и количеству бактерий 
(коэффициент пропорциональности равен 
Ь).
Далее, допустим, что ско­
рость выработки яда пропорциональна наличному количеству бактерий 
(коэффициент пропорциональности равен 
с).
Число бактерий сначала 
возрастает до некоторого наибольшего значения, а затем убывает, стре­
мясь к нулю. П оказать, что для любого момента 
t
число 
N
бактерий 
дается формулой
11
!
4ДІ


278
ГЛ. XIV. Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И АЛ ЬН Ы Е УРАВН ЕН И Я
где 
М
— наибольшее число бактерия и время 
t
измеряется от того 
момента, когда 
N = M , k —
некоторая постоянная.
4347. Два цилиндра, основания которых лежат в одной плоскости,
соединенные внизу капиллярной трубкой, наполнены жидкостью до раз­
ной высоты 
(Н\
и 
Н 2).
Через трубку в единицу времени протекает объем 
жидкости, пропорциональный разности высот, т. е. равный 

h o ) ,
где а — коэффициент пропорциональности. Найти закон изменения высоты 
жидкости в сосудах над капиллярной трубкой. Поперечное сечение сосу­
дов 
и 
So.

Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   116   117   118   119   120   121   122   123   ...   146




©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет