Сборник задач по курсу математического анализа ■ ' '4 f



Pdf көрінісі
бет128/146
Дата06.02.2022
өлшемі9,73 Mb.
#80743
түріСборник задач
1   ...   124   125   126   127   128   129   130   131   ...   146
Байланысты:
Berman Sbornik

л* = -^--|-271/7, где 
гг — 0,
± 1 , ± 2 , . . . В этих точках 
у —
 
0
. График состоит пз
отдельных точек оси абсцисс. 3) Функция определена на всеИ числовой оси,
кроме точек 
х — кп, 
где 
п — 
0

±1, ± 
2

...
,_ 0
 
0
 
. a
a 
(/ cos ф +
b
sin ф )
158. w = 2 arcsin ^ . 
159. 
агс.ц -^ + ,а + -
_*/ 5 | д ■
160. 
а 
= arccos Г1 — 
—Д

2
/е (« + / ? - *)J
161. 
1
) - I йСл-йС 
1
;
2) 
О ^ х ^ ] ;
3) 
О ^ х ^
1; 
4) - І а С л г ^ О ;
5) 0 < л ' < с о ;
б) — со 
с
-V <
0
; 7 ) 0 ^ л' < оо; 
8
) — о о < л ' ^
0
;
9) — со < л' <: 1; 10) 1 < х с со.
1G2. 
1) — l s g . v ^ l ;
2) 0 
л' ^ 1; 
3) — со < л: <; со; 
4) определена
всюду, кроме 
х = 0.
163*. Период 2л. График 
см. на 
рис. 82. 
Указание.
 
На 
интервале
ү  
л' ^ ~
имеем 
у =  
arcsin (sin 
Л') ~ х  
по определению функции arcsin 
х .

7Z 
TZ
Для 
получения 
графика 
функции 
на 
интервале - ^ - ^ л г с с З — 
полагаем
75 
71
z
 =
х
— 
тогда л' = 71 
г ,
----------
2
 
^
2
 ^ Т *
у —
 arcsin (sin 
х)
 
= arcsin sin 
(z
 
-f- 
т.) =
 — arcsin (sin z) =
—z;
у
= 7t — 
X
И т. Д.
167. 
з»нз„б « s 15, 
«= 5,5; функция переходит от возрастания к убыванию
при 
х =
 —
2
. Нуль функции: 
— 3,6.
169.
 
у
 = 4 (267 - Юл: — л:8) или 
у =
 — 0,0312.V- — 0,3125* + 8,344; 
нули
О д_,
функции: х , ^ - 22,09, 
х£^
12,09. Чтобы получить корни с точностью до 0,01,
надо коэффициенты взять с точностью до 
0
,
0001
.
170. Л'д=а2,б0 
с м ,  
л-j «=7,87 
с м .
171. A'j «= — 2,3, л\.;=»3; остальные корни — мнимые.
172*. Выбрать 
а
так, 
чтобы коэффициент при 
x'z
 обратился в нуль;
д-, ^ - 3,6, Л'о «= - 2,9, л'д ^ 0,6, 
Х\
 «= 4,8.
173. 
хх
«= 0,59, 
xs
 
3,10, 
х3
 
6,29, 
хА
 «з 9,43; вообще 
х
 ;=» 
т.п. (п
 >
2).
174. 
лг, 
я» — 0,57, 
y t
 л= — 1,26; л а ^ — 0,42, 
у
2
=а= 1,19; 
х3
 ^ 0,16, 
у
3
 
^
 0,7-1,
хл
 «= 0,54, 
ух
=« - 0,68.


К г л а в е II
176. 
lim 
=
л 
5
= 4. 
177. lim ия = 0; л > - ^ — . 178. « = 1 9 999.
п
— о о
п —
с о
у г
179. 
lim t>„ = 0; 
п
 ^ 1000. Величина 
vn
бывает то больше своего предела,
tl -*
00
то меньше, то равна ему (последнее при л =
2
&-J-
1
, где 
к — 0,
 
1

2
, ...).
180. 
lim л„ = 1; 
л 5= 14; 
« S ^ lo g
2
 — .
п
— о о
с
300 
ОТВЕТЫ 
к 
ГЛАВЕ II

/"5 _
5
t)
181. л 
у
"I/ 
1
—-—- ,
если 
л =
0
, если е >
0 *
182. л > = —----- ■
 — ; последовательность лл убывающая.
У  е (2
с)
183. 
lim £>„ =
0
; г/„ достигает своего предела при л = ш - f -
1
, так как,
п
СО
начиная с этого значения л, 
vn — 0.
185. 0. 186. 1) Нет. 2) Да.
189. При « = 0 этот предел может равняться любому числу или не сущ ест­
вовать.
____ 

2
190. 
Ь
 <
V
 4 + е - 2; 5 < 0,00025. 191. 
6
 
< 2 -
V
 3. 
192. 
о 
< .
193. 

X — ^ | < -if — arcsin 0,99 ^ 0,13G.
194. 

Ь ссли 
N — 0,
если 

> 1.
195. 
——
3, 
если 
N — 0,
если e > 4 - . 196. 
л > -—- .
Г 

.1
 

2
197. 
— положительная бесконечно большая 
величина, 
если 
разность
прогрессии <7 > 0, и отрицательная, если 
d с
 0. Для геометрической прогрес­
сии утверждение справедливо только тогда, когда знаменатель прогрессии по
абсолютной величине больше 
1
.


1ПО 3000 _
3000

ю* + 2 < Л < 10‘ — 2 ‘ 
1001 ^ 'V < 999 
*
200. 5 < —= = 0,01. 201. log, 0,99 <
jc
 < logs 1,01.
V N
202. ЛІ 5^ Юлг = 10100. 203. 
sin лг, cos л: и 
все 
обратные тригонометри­
ческие функции. 205. 
Нет. Да. 
206. 
Нет. 207. 
1
) Например, 
хп —
 
+
Ц-2л~ и Л'л = 2-л; 2) Нет.
209. Если а > 1 , то функция при .v —*-}-оо не ограничена (но не бес­
конечно большая); при 
х
—<■
 — со она стремится к нулю. Если 
0
< я <
1
, функ­
ция при л* — — оо не ограничена (но не бесконечно большая); при л* — -{-оо
она стремится к нулю. При а = 1 функция ограничена па всей числовой оси.
210.
1), 3) 
„ 
5 ) 
- н е т ;
2) 
„ 
4) 
- д а .
213.
214. 
N\
т
-
215. 
1

, - 1
+
^
;
2

I
1
, . ^ ’ 
3) 
+ г ^
.


ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ II
301
216*. Сравнить 
ип
с суммой членов геометрической прогрессии — , 
?
.............g * . 220. 
3 .2 2 1 . Да.
222. / (д-) = 9г* при 0 ^ л ' ^ 5 ;
f
(х) — 4ъ
при 5 < л* ^
10
; /( ,* ) = * при
1 0 < л ' ^ 1 5 . Функция разрывна при 
х — о
и прп * = 1 0 .
223. а = 1. 224. 
Л = — 1, 
В =
1. 225. * = 2; л' = — 2. 226. 2/3.
sin X
227. 
Функция 
у — 
——— 
имеет 
в 
точке л' = 0 
устранимый 
разрыв,
cos* 
,/•
у
 = ——------разрыв второго рода (бесконечный).
228. Функция разрывна при 
х =
 0.
229. Функция имеет три точки разрыва. Прп 
х ~ 0
 — разрыв устранимый,
при 
* = + 1
— разрыв второю рода (бесконечный).
230. Нет. Если 
х
 —<• 0 справа, то /
(л*) 
—■
 
п/2,
если 
х
 —«■ 0 слева, то / ( * > - » — г./Л
231. Функция разрывна при л* = 0. 232. 0.
234. Нет. Если 
х
 — 
1
справа, то 
у —
1, если л'—* 1 слева, то 
у
 
—* 
0
.
235. Если -V —* 0 справа, то 
у
 — 
1
, если 
х —*
 
0
слева, то 
у
 —►
— 1.
236. Функция разрывна при А' = 0 (разрыв первою рода).
237. Функция имеет разрывы первого рода в точках 
х
 = (2/г - f
1
).
238. При д- = 0 функция непрерывна, при 
х-ф
 0 функция разрывна.
239. Все три функции разрывны, 
когда л- равен цело-:- 
'положи­
тельному или отрицательному) или нулю.
241*. Записать многочлен в виде 
хп

а0
-j
- - 1
-J- 
. . . -f 
іт>,


j
\,
с ю повеление при 
х
— ± со.
244*. Построить схематично график функции
х
- X,
исследовав ее поведение в окрестности точек А„ А» и Л;(.
245. 1. 246. 1/2/247. 3. 248. оо. 249. 0. 250. 0. 251. 15/17.
252. 1. 253. 0. 254. 4. 255. 1. 256. 0. 257. 0. 258. 0. 259. 1.
260. 4/3. 261. 1/2. 262. — 1/2. 263. — 
1
. 264*. 
1
. Заметить,
1
 
1
 
265. ~ . 266. 1. 267. 0. 268. 9. 269. 
3
(я 

 
1

п
и
— 1 
и 
' 2
........................................................4 *
270. оо. 271. 0. 272. 0. 273. — 2/5. 274. 1/2. 275. 
6
. 276. оо.
277. - 1. 278. оо. 279. 0. 280. 
т/п.
281. 0. 282. оо. 283. 1/2.
284. — 1. 285. 0. 286. 1/4. 287. — 1/2. 288. 100. 289. — 1.
290. 1. 291. оо. 292. 0. 293. 0. 294. оо. 295. 4. 296. 1/4. 297. 3.
298. — !—— 
если * > 0 ; со, если 
х
 = " . 299. 4 - . 300. 4*.

V х
 

3
301. -----
у-
------- . 302. — . 303*. 
К 
числителю 
прибавить 
и отнять
4а у а
 — 

п 
~
единицу. 304. — 1/4. 305. Один корень стремится 
к —
cjb,
 
другой — к оо. 306. 
0
.
307. 0. 308. 0, если 
х 
—«• -f- оо; оо, если 
.V— — оэ. 309. 1/2, если 
х
—* -j- 0 0 ! — оо,
если 
х
—«•— оо. 310. 
, если л-—<• 
оо; оо, если 
х —-
— оо. 311, ± 5 /2 . 312. и.
313. 1. 314, 3. 315. 
к.
316. 
а[р.
317. 2/5.


302
ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ II
318. 0, если я > ш ; 1, если 
п = т\ со,
если 
п < т .
319. 2/3. 320. 1/3.
321. 1/2. 322. 3/4. 323. оэ. 324. — 1. 325. 1/2. 326. со. 327. 0.
328. 1/2. 329. оо. 330. — 3/2. 331. 1. 332. */2. 333. 2/я.
334. — 
335. 
336. 2. 337. 
338. — 2.
р.8 
_ л -
c i n
03
339. —2 sin а. 340. -—
Г)
— . 341. cos
3
 а. 342. 
. 343. — sin ce.
344. 2 Sin— 
345. 
346. 
1. 347. 6. 348. 
4
* 349. — 1.
cos0 
а 
о


Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   124   125   126   127   128   129   130   131   ...   146




©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет