§ 6. Кривизна
В задачах 1529— 1536 найти кривизну данных линий.
1529. Гиперболы ху — 4 в точке (2, 2).
X
у “
1530. Эллипса
^ в вершинах.
1531. у = х 1— 4х3— 18jc2 в начале координат.
1532. у-— 8х в точке (9/8, 3). 1533. _у = 1плг
в точке (1, 0).
1534. у = In (jc -J- У 1 -}- лг)
в
начале координат.
1535. у = sin х в точках, соответствующих экстремальным значениям
функции.
(
3
3
\
•g а,
£ а ) .
В задачах 1537— 1542 найти кривизну данных линий в произволь
ной точке (х, у).
1537. у = х\ 1538. ^ —
1. 1539. у = In sec*.
2
2
2
—
у-m
v rn
у
1640. х 3 -\-у = а 3. 1641. £ , + £ , = 1. 1642.у = я с һ | .
§ 6. КРИВИЗНА
103
104
ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ИХ ГРАФИКОВ
В задачах 1543— 1549 найти кривизну данных линий.
1543. х = З/2, у = 3/— /3 при / = 1.
1544. x — aco$?t,
у — a sin3/ при / = /і.
1545. x = a (cos / / sin /), у = a (sin / — /cos/)
при /
= -^ .
1546. „v = 2acos/— a cos 2/, y = 2as\nt— a sin 2/
в произвольной
точке.
1547. p = a9 в точке р = 1, 9 = 0.
1548. р = аср в произвольной точке.
1549. р = аср* в произвольной точке.
1550. Найти радиус кривизны эллипса ^ -\- — = 1 в той его точке,
в которой отрезок касательной между осями координат делится точкой
касания пополам.
1551. Показать, что радиус кривизны параболы равен удвоенному
отрезку нормали, заключенному между точками пересечения нормали
с параболой и ее директрисой.
1552. Показать, что радиус кривизны циклоиды в любой ее точке
вдвое больше длины нормали в той же точке.
1553. Показать, что радиус кривизны лемнискаты р2 = a2 cos 2ср
обратно пропорционален соответствующему полярному радиусу.
1554. Найти окружность кривизны параболы у — х*
в точке ( 1, 1).
1555. Найти окружность кривизны гиперболы xy = 1 в точке ( 1, 1).
1556. Найти окружность кривизны линии у = ех в точке (0, 1).
1557. Найти окружность кривизны линии jy = tg,v в
точке (тс/4, 1).
1558. Найти окружность кривизны циссоиды (х~-\-у1) х — 2аУ2 = 0
в точке (а, а).
В задачах 1559— 1562 найти вершины (точки, в которых кривизна
принимает экстремальное значение) данных линий.
1559. У х-\- У у — У а. 1560. у = \ п х .
1561. у = ех.
1562. х = а (3 cos / -f- cos 3t), y = a (3 sin t -j- sin 3/).
1563. Найти наибольшее значение радиуса кривизны линии р =
= a sin3 | .
1564. Показать, что кривизна в точке Р линии y — f ( x ) равна
\у" cos3a|, где a — угол, образуемый с положительным направлением
оси абсцисс, касательной к линии в точке Р.
1565. Показать, что кривизну линии в произвольной точке можно
I (I sin а
где а имеет то же значение, что
dx
представить выражением к =
и в предыдущей задаче.
1566.
Функция /
(
jc
)
определена так: / (х) = х'л в интервале — оо
л'
1, / (х) = ах2 -j- Ьх -|- с в интервале \ <^х
оо. Каковы должны
быть а, Ь, с, для того чтобы линия у = /(х) имела везде непрерывную
кривизну.
|