о
о
1666. Найти производную но х ог функции у, заданной параметрически:
t
t
t*
i
1) х — J sin t dt,
у = jj cos t dt;
2) x = ^ t\x\ t dt, y = ^ t*\nt dt.
0
0
]
(2
1667. Найти значение второй производной по г от функции
ч
dx
1 +л-г
ц р И
2 = 1 .
1668. При каком значении х функция J (х )= \ ) хе~хЧ х имеет экстре-
0
мум? Чему он равен?
1669. Найти кривизну в точке (0, 0) линии, заданной уравнением
X
у = ^ (1 —
|—
i) In (1 —
j—
t) dt.
о
1670. Найти точки экстремума и точки перегиба графика функции
ЛГ
у = ^ ( х а— Зх -j-
2
) dx. Построить график этой функции,
о
Рис. 38.
1671.
По графикам функций, данным на рис. 37 и 38, выяснить вид
графиков их первообразных.
Ф о р м у л а Нь ю т о н а — Л е й б н и ц а
1672. Вычислить интегралы:
1)
2)
3) ij 3 V x d x ;
4) [ (х -f- 1 )* dx;
1
4
i
I
3
2
2a
5)
V x ( 1 -f- V x ) dx; 6)
( J/ x — V x ) dx;
7)
p = - ;
4
I
a
4
t)
zi
8)
S) \ v h (n> 0’ * > 0); 10)
I
«
-0
1673. Вычислить интегралы:
т:
~
1) ^ sin
jc
dx;
2 )
c o s
x dx
о
о
(объяснить геометрический смысл полученного результата),
-
VT
з
4'
I
3) p r f j c ;
4) \ s e c ‘ xdx-,
б) $
6
)
$ y = i -
0
0
0
'l
1674. Функция f (x ) имеет рапные значения в точках х — а и х — Ь
ь
и непрерывную производную. Чему равен jj /' (jc) dx?
а
1675. Касательная к графику функции y = f ( x ) в точке с абсциссой
х = а составляет с осыо абсцисс угол
и в точке с абсциссой
b
I)
х ~ Ь — угол ~ . Вычислить \ Г (х) dx и jj /' (х) /" (х) dx; / ' (х) пред-
а
а
полагается непрерывной.
§
2. ОСНОВНЫЕ СВОПСТВЛ О П РЕЛЕЛЕН Н О ГО ИНТЕГРАЛА
115
■
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Г Л А В А VI
§ 1. Простейшие приемы интегрирования
В задачах 1676 — 1702, воспользовавшись основной таблицей интег
ралов и простейшими правилами интегрирования, найги интегралы.
1676. \ Y x d x .
1677. \ Y x * d x .
1678.
1679. J 10* dx.
1680. J а*е* dx.
1681. ^
.
1682. [
1683. \ 3,4х-о.'7 dx.
1684. \ (1 - 2«) da.
J V
2
g/i
J
, 1685. J ( У х -|- 1) (х - V x + 1) dx.
1686. ^
+ ^ dXt
1687. j (2л'—|>
2 + Зл'—°-8 — 5л'0-38) dx.
1688. j
1689. ^ ~ j - rfjc.
1690
І (
*
— л
1 «о 1 Г х
'•
. С
(/л-.
1691. Г >
£
dx.
.)
»
х
J
Г*
Г
Р 3 •
2
х — • З л'
1692. \ -т ^ = .
1693. \
tfjr.
J Г З-Зх-
J
1694. С
dx.
1695. f — ™— *— dx.
1696. \ tg2 x dx.
J 1 + COS 2,v
J cos2 x- sin2 x
J b
1697. J ctg2 x dx.
1698. ^ 2 sin2
dx.
1699. [
1700. [
1 ".
1701. f — 9 ^ . 0 .
J X
2
(1 + *-)
J ,V(l-(-A--)
J COS
2x -f- Sin
2
X
1702. J (arcsin x + arccos л*) dx.
В задачах 1703— 1780 найти интегралы, воспользовавшись теоремой
об инвариантности формул интегрирования.
1703. ^ sin лг с/ (sin х).
\ 1704. ^ tg3 л 'd (tg л').
1706.
1707.
1709.
1711.
1713.
1715.
1717.
1719.
1721.
1723.
1725.
1727.
1729.
1731.
1733.
1735.
1738.
1741.
1744.
1747.
1750.
1752.
1755.
§ 1. П РО С Т Е Й Ш И Е П Р И Е М Ы И Н Т Е Г Р И Р О В А Н И Я
< /(!+ *“)
117
О V 1 + л'а *
(*
dx
) (2лг — З)6'
S ]/(8 — 3x)fi dx.
С
гп
1706. J (х -(- 1 У'Ых
(ІХ
1708
•
I
dx.
} Y (« -Ь bxf
J X V 1 — Х~ dx
(а -{- Ьх)
1710. $ V S —
2
х dx.
1712. 5 2х У х - -j- 1 dx.
(с Ф 1).
А
х dx
г*
х '(
+ г
x*dx
+ Г
jj sin3 лг cos лг dx.
1714.
5
-V-
V х '
Т
2 dx.
С
л'* dx
J
V T + J ? "
С
(6л' - 5)
dx
.) 2
У З х *
- 5
cos
x dx
V sin" x
j/ ln
x
dx.
dx
I
3
(arcsin
хУ V I — x*
^ cos Зл* d (Зл*).
^ cos Злг dx.
sin (2л; —
3)
dx.
Ц j^cos^x-—
dj
S
1716.
1718.
1720.
1722.
1724.
1726.
1728.
1730.
V
-
2 У
o.v- —
ox
- f- 0 ‘
sin
x dx
COS -A'
^ cos'* лг sin
2
x dx.
^ (arctg
x)- dx
I
1 -j- X~
dx
cos-
x \
1
-)-
tg
x
i* jl{\ + \nx)
J cc
dx.
1736.
1739.
1742.
[
J
cx
-I-
i
1 -j- X-
J
dx
S l r r -
I742-
I f r
^ tg лг dx.
1745. ^ ctg лг dx.
$ctg(2*-j- \)dx.
1748. (j
(In
x )r
cos- (1 -J- lri
x)
‘
Jj (cos а — cos 2л*) dx.
1732. ^ cos (1 — 2x)dx.
1734. J V ( s i n ex)dx.
(2x
- 3)
dx
j
X "
— «.J.VT
$
С x dx
J p q r f -
1743.
j C-V H- «-
1746. \\gbxdx.
dx. 1749.
-4^-.
J
a
: In x
f f/ (arcsin л")
J
arcsin л"
1737.
1740.
dx.
1 -j- cos"
X
1751. ^ esinx d (sin x)
i
^ gsin .v cos лг (/лг.
1753. ^ а:|л' г/л.
1754. ^ a~x dx.
*j dx.
1756. J dx.
1757. J e~x V dx.
118
ГЛ. VI. Н ЕО П РЕД ЕЛ ЕН Н Ы Й ИНТЕГРАЛ. И НТЕГРАЛЬНО Е ИСЧИСЛЕНИЕ
У
\ -
А 8
1770.
1762
1765.
■
ы
І
7
І
dx
+ 9*
х dx
1768. jj ~ ^ dx
+ 4 *
1771
. ^
dx.
1772. 5 (dx.
1773. f ■
/ -
+-—■
dx.
1774. f
J К 1 — A"
J
A" + 9
1775. ^ y m < t e
1776. ^ £ £ ^ < 1 *
1777. Г 1 + x ~ x--dx.
1778. f 7----d.
J )/ (1 - .v-)3
'
(лг + У x- — l)
1770. [ 2jc~ } ^ l in X dx. 1780. С •
y. + <,rcc°?.S£>’ rf*
J
у
1 — a -
J
У
1 - 9 a -
B задачах 1781 — 1790 найти интегралы, выделив целую часть подын
тегральной дроби.
1781. С
1782.
f —
rfx.
1783.
J
a
+ 4
J 2
a
+ 1
J a + &
a
,784. J g ± £ * .
1785.
jj
1786. J
1787.
1783.
1789.
ү — dx.
•01790. ii 4 ^ - .
J A " + 1
В задачах 1791 — 1807 найти интегралы, использовав прием разло
жения подынтегрального выражения и прием выделения полного квадрата.
1791. С
.
1792. [
41793. ( т—г т г ^ --- чТ-
J А ( А — 1)
J А ( А + 1 )
J ( А + 1) ( 2
а
- d )
1 7 9 4 ‘
[
7----- Т77----- 7- 1 7 9 5 *
^
^
А 1 7 9 6 ’
--- 7/Л , 1П .
J ( а
— a)
(b
- a)
J
л -
—
1
Н
} х-
-
7 а
+
10
•
\
“Т л Г Г --- І7г
1798‘
[
І
о •
1799* ^ о
Ч - Г -
j
а
- + З
а
— 10
J 4
а
- — 9
j 2 — З
а
-
•
1801> t
, 1802. f -
J
(
a
- 1)- + 4
. J a - + 2 a +
d
J
A
1797
1800
dx
x~ — 2.5 *
dx
§ 2. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИН ТЕГРИРО ВАН ИЯ
119
1806.
• [ , « , rff
1804* Г
Лх
1805‘
J 4х“ + 4л + 5
J
/ 1
- (2л + 3)2 *
Г
' Ч у :
:
1807. Г ■
,
АХ
J
К 8
Ьл - Ул2
•
J
/ 2
- бл — 9л-3
]/ 4л — 3 -
а
-
В задачах
1 8 0 8
—
1831
найти интегралы, использовав формулы три
гонометрии для преобразования подынтегрального выражения.
I
1808. \ cos
9
л dx.
1809. \ sin
2
xdx.
1810. [ -.—— — . )
J
J
J 1 — cos х
1811. f ТаГ^— •
1812‘ \ T ~ C°* X dx.
1813. [ \ + sinx dx.
j 1 -j- sin x
J 1 -J- cos x
j I - sm x
1814. \ (tg
2
л -}- tg
4
Л)
dx. 1815. [
c
°
s
2
a
dx
.
о
j
1
-j- sm x cos x
1816.5
cos x sin
З л
dx.
1817. ^ cos
2
л cos Зл dx.
1818. J sin 2л sin 5л dx.
1819. ^ cos л cos 2л cos Зл dx.
1820. f —
.
1821. [ — - S1-? 'v dx.
1822. [ s^ ^ d x .
J COS A
J
COS A
,) COS A
1823. [ -os.! * (lx .
1824. f - ^ k d a .
1325. f
J
sin л'
J
/cos a
J
COS
1
A
1826. ^ cos
3
xdx.
1827. $ tg'* л dx.
1828. jj sin
5
A*1829Л sin 4л f/л.
1830. [t^ x d x .
1831. [
J
J &
J SHI
0
A
§ 2. Основные методы интегрирования
И н т е г р и р о в а н и е по ч а с т я м
В задачах
1 83 2
—
1 8 6 8
найти интегралы.
1832. ^ х sin 2л dx. 1833./ ^ л cos л dx. 1834.
хе~х dx.
^І 835. \ л Зл‘ dx.
1830. j x n ln x dx {n ^ — 1).
sj 1837. ^ л arctg л dx. 1838. J arccos л dx.^X 839. $ arctg ]/ x dx.
1840. jj p.Csi^ * dx. \/l 841. ^ л tg
2
x dx. 1842. ^ x cos
2
л dx.
1843. y * f d x .
1844. [ x.arct^x dx. 1845. [ — l H ^ -dv
.) л
J / l +
A a
J | Л — A
1846. ^1п(л*+ 1)аГл.
1847. \ (jq ^ p .
184& $ j7f= j= r
1849.
J ,v= In (1 - f
X)
dx.
1850. \x
1851.
\x*exdx. 1852.
\x*a*dx.
1853. J л :І sin xdx,
1854.
л
2
cos2л dx.
1855. ^1п
2
лгУл.
1856. y ^ ~ ~ d x .
1857. j\ y = t dx-
1858.
jj (arcsin x f dx.
1859. ^ (arctg x f x dx.
1860.
jj ex sin x dx.
1861. ^ еЭх ( sin
2
x — cos 2x) dx.
1862.
^ eax cos nx dx.
1863. sin In xdx.
1864.
cos In xdx.
1865*. ^ x dx - t
120
ГЛ. VI. НЕО ПРЕД ЕЛЕН Н Ы Л ИНТЕГРАЛ. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1866*. ^ V a 1 -j- x l dx. 1867. ^
1868. ^ x* ex sin xdx.
З а м е н а п е р е м е н н о й
В задачах 1869— 1904 найти интегралы.
1869. \ --- d*
(подстановка х -f- 1 = г*).
J
1
+ -/Z
+ 1
1
ЧУ 1870.
[ ~ £ L .
1871. [ * ± ± * d X '
1872. [ .... -f f ____
Ч ---- .) У х - 1
J (х - 2у
J Л' / х 4- ]
.
[ 4 ± L dJC.
1874.
.
1875.
J х / х - 2
J
1
+
У х
J
а
(х
+
1)
’* ^
dx-
1877* ^----$ = .
1878. [ .
dx-----.
J х 4- 1
J 1 _|_ у х 4_ 1
J у ах 4- Ь 4- /«
^ Jfj* dp _
(подстановка x — z%
'• S
o' 1881' S
V x + y v
,882- 5
y J - V x dx'
С ■
e dx~r (подстановка ex -J- 1 = г4).
J / ex 4- 1
1884. [ dx.. — _
vr 1885. [ + 111 ~v dx.
J
У
1 4-
c’x
x
in x
1886. § У 1 -j- cos2 x • sin 2x • cos 2x dx.
1887.
С
lnlg A-—
dx. 1888.
[
■
xL d:L . . .
1889. [ — -
J Sin
X
•
COS
X
J
У a3 —
X3
J (Xs '
1873
1876
1879
1880
1883.
■4)-
1890. [ -- dX----
(подстановка x = ~ , или x = a t g z ,
или
j
xs у x-
- f a "
\
2
x — a sh z^j.
(*
X* d v
1891. \
= (подстановка x = asin^).
J
У
if
— x s
С
(/.У
J Л- /лг- - «-
Достарыңызбен бөлісу: