Сборник задач по курсу математического анализа ■ ' '4 f

§ 1. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ГЕОМЕТРИИ И СТАТИКИ
153
2547. Найти длину лишш p = asin:i 
(см. задачу 2505).
О
2548. Доказать, что длина лишш р — asinm^- 
( т  — целое 
число)
соизмерима с а при т  четном и соизмерима с длиной окружности ради­
уса а при т  нечетном.
2549. При каких значениях показателя к (к 
0) длина дуги линии 
у  = ах
’1
выражается в элементарных функциях? (Основываться на тео­
реме Чебышева об условиях интегрируемости в конечном виде диффе­
ренциального бинома.)
2550. Найти длину линии, заданной уравнением
X
у — \ V  cos xdx.
2551. Вычислить длину дуги линии
x =
\ ^
“ z' у = № < ь  
f 
1* 
2
от начала координат до ближайшей точки с вертикальной касательной.
2552. Доказать, что длина дуги синусоиды j ' = sinx, соответствую­
щей периоду синуса, равна длине эллипса, полуоси которого равны У 2 и 1.
2553. Показать, что длина дуги «укороченной» пли «удлиненной» цик­
лоиды х — int. — it sin t, у = in — п cos t (in и n — положительные числа) 
в интервале от i\ = 0 до і.г — 2тс равна длине эллипса с полуосями 
а = т  -j- п, Ь = | т  — п j.
2554*. Доказать, что длина эллипса с полуосями а и b удовлетво­
ряет неравенствам тс (а -|- b) 
L < у У '2 • У or -j- Ь~ (задача И. Бернулли).
О б ъ ем т е л а
2555. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью, образо­
ванной вращением параболы у- = 4х вокруг своей оси (параболоид 
вращения), и плоскостью, перпендикулярной к его оси и отстоящей от 
вершины параболы на расстояние, ранное единице.
2556. Эллипс, большая ось которого равна '2а, малая — 
2
Ь, враща­
ется:» 1) вокруг большой осп, 2) вокруг малой осн. Найти объем полу­
чающихся эллипсоидов вращения. В частном случае получить объем шара.
2557. Симметричный параболический сегмент, основание которого а, 
высота /г, вращается вокруг основания. Вычислить объем тела враще­
ния, которое при этом получается («лимон» Кавальери).
2558. Фигура, ограниченная гиперболой х~— у
1
— я" и прямой 
х — а -{- һ (Һ 
0), вращается вокруг оси абсцисс. Найти объем тела 
вращения.

154
ГЛ. VUT. П РИМ ЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛА
2559. Криволинейная трапеция, ограниченная линией у = хех и пря­
мыми х  = 1 и у =  0, вращается вокруг осп абсцисс. Найти объем 
тела, которое при этом получается.
2560. Цепная линия y = chx вращается вокруг оси абсцисс. При 
этом получается поверхность, называемая к а т е н о и д о м . Найти объем 
тела, ограниченного катеноидом и двумя плоскостями, отстоящими от 
начала на а и b единиц и перпендикулярными к оси абсцисс.
2561. Фигура, ограниченная дугами парабол у = х *  и у- = хг, вра­
щается вокруг оси абсцисс. Вычислить объем тела, которое при этом 
получается.
2562. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс 
трапеции, лежащей над осыо Ох и ограниченной линией ( х — 4) у
1
 =  
= х (х — 3).
2563. Найти объем тела, полученного от вращения криволинейной 
трапеции, ограниченной линией у =  arcsin лг с основанием [0, 1], вокруг 
оси Ох.
2564. Вычислить объем тела, полученного от вращения фигуры, огра­
ниченной параболой у =
2
х —
и осыо абсцисс, вокруг осп ординат.
2565. Вычислить объем тела, которое получится от вращения вокруг 
оси ординат криволинейной трапеции, ограниченной дугой синусоиды 
j>=sinA', соответствующей полуиериоду.
2566. Лемниската (лг -|-У2)4 = а
'2
 (х
2
— у*) вращается вокруг оси абс­
цисс. Найти объем тела, ограниченного поверхностью, которая при этом 
получается.
2567. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси 
абсцисс фигуры, ограниченной линией: 1) л~4-[-У* = а'2лг2; 2) х'-\-у!>
= х\
2568. Одна арка циклоиды x = a (t — sin^), у = а ( \ — cost) враща­
ется вокруг своего основания. Вычислить объем тела, ограниченного 
полученной поверхностью.
2569. Фигура, ограниченная аркой циклоиды (см. предыдущую задачу) 
и ее основанием, вращается вокруг прямой, перпендикулярной к середине 
основании (ось симметрии). Найти объем получающегося при этом тела.
2570. Найти объем тела, полученного при вращении астроиды
2 
2 
2
х
3
-\-у
3
= а
3
вокруг своей оси симметрии.
с3 
с2
2571. Фигура, ограниченная дугой линии лг = — cosn i, у  =
sin
1 1
(эволюта эллипса), лежащей в первом квадранте, и координатными осями, 
вращается вокруг оси абсцисс. Найти объем получающегося при этомтела.
2572. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью бесконеч­
ного веретена, образованного вращением линии у-=т~т—- вокруг ее
I -f- х~
асимптоты.
2573. Линия у
1
 = 2ехе~гх вращается вокруг своей асимптоты. Найти 
объем тела, ограниченного поверхностью, которая получается в резуль­
тате этого вращения.

5 f. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ГЕОМЕТРИИ И СТАТИКИ
155
2574*. 1) Фигура, ограниченная линией у = е~х~ и ее асимптотой, 
вращается вокруг оси ординат. Вычислить объем тела, которое при этом 
получается. 2) Та же фигура вращается вокруг осп абсцисс. Найти объем 
получающегося тела.
2575*. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью, получаю­
щейся при вращении липни у = х~е~х~ вокруг своей асимптоты.
2576*. Фигура, ограниченная линией =
и осыо абсцисс, враща­
ется вокруг оси абсцисс. Вычислить объем получающегося тела.
2577*. Найти объем тела, ограниченного поверхностью, производимой
a 
Xs
вращением циссоиды у- — 1>а ___ - (а^> 0) вокруг ее асимптоты.
2578. Найти объем тела, ограниченного поверхностью, получающейся 
при вращении трактрисы х  = a ^cos t -j- ln tg y j , y =  asinf вокруг ее 
асимптоты.
2579*. Вычислить объем тела, ограниченного эллипсоидом — -j-
I ? 2— ]
Т ь- ^
с2
2680. 1) Вычислить объем тела, ограниченного эллиптическим пара­
болоидом z —  
f -^Г и плоскостью z == 1.
2) Найти объем тела, ограниченного однополостным гиперболоидом 
«2
~4
-J- tj--- z ~ = \  
и п л о с к о с т я м и Z  = — 1 
И 
Z —  2.
2581. Вычислить объемы тел, ограниченных параболоидом z = x- -J- 
2
у~ 
и эллипсоидом х
1
-(- 
2
у
2
-j- z* =  6.
2582. Найти объемы тел, образованных пересечением двуполостного
Г
_
z - 
_
1
'4
9
и эллипсоида
гиперболоида
(5 
I 
4 
>
9
2583. Найти объем тела,
конической поверхностью (z — 2)2 = у -\-ү и
плоскостью z =  0.
2584. Вычислить объем тела,
л'3 , г
ограниченного 
Xs , У
ного параболоидом
А
"2
, у "
2 z — --- 1—
*
— 4 Г 9
ограничен- 
и конусом
Л
I 
У
_____ „ 2
4 I у
2585*. Найти объем тела, отсеченного от 
круглого цилиндра плоскостью, проходящей через диаметр основания 
(«цилиндрический отрезок», рис. 43). В частности, положить /см 
и Н =  6 см.

150
ГЛ. V III. П РИ М ЕН ЕН И Я ИНТЕГРАЛА
258G. Параболический цилиндр пересечен двумя плоскостями, из 
которых одна перпендикулярна к образующей. В результате получается 
тело, изображенное на рис. 44. Общее оснонаине параболических сег­
ментов я = 1 0 см, высота параболического сегмента, лежащего и осно­
вании, // = 8 см, высота тела h — Q см. Вычислить объем тела.
2587. Цилиндр, основанием которого служит эллипс, пересечен наклон­
ной плоскостью, проходящей через малую ось эллипса.
Вычислить объем тела, которое при этом получается. Линейные раз­
меры указаны па рис. 45.
2588*. На всех 
хордах круга радиуса R, 
параллельных одному
направлению, построены симметричные параболические сегменты посто­
янной высоты Н. Плоскости сегментов
перпендикулярны к плоскости окружности. 
Найти объем полученного таким образом 
тела.
2589*. Прямой круглый конус ра­
диуса /\\ высотой I I  рассечен па две части 
плоскостью, проходящей через центр осно­
вания параллельно образующей (рис. 46). 
Найти объемы обеих частей конуса. (Се­
чения конуса плоскостями, параллельными 
N образующей, суть 
параболические 
сег­
менты.)
л 
А' 
2590. Центр квадрата переменного раз-
Рис. 'it*. 
мера перемещается вдоль диаметра круга
радиуса а, причем плоскость, в которой 
лежит квадрат, остается перпендикулярной к плоскости круга, а две 
противоположные вершины квадрата перемещаются по окружности. 
Найти объем тела, образованного этим движущимся квадратом.
2591. Круг переменного радиуса перемещается таким образом, что
одна из точек его окружности остается иа оси абсцисс, центр движется

жүктеу/скачать 9,73 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: