Сборник задач по курсу математического анализа ■ ' '4 f
§ I. НЕКОТОРЫЕ ЗЛЛЛЧЛ ГЕОМЕТРИИ И СТАТИКИ
жүктеу/скачать 9,73 Mb. Pdf көрінісі
|
Berman Sbornik
§ I. НЕКОТОРЫЕ ЗЛЛЛЧЛ ГЕОМЕТРИИ И СТАТИКИ 157 ю окружности X й - у - == г , а плоскость этого круга перпендикулярна с оси абсцисс. Найти объем тела, которое при этом получается. 2592. Оси двух равных цилиндров пересекаются под прямым углом. Іайти объем тела, составляющего общую часть цилиндра (па рис. 47 изображена '/« тела). (Рассмотреть сечения, образованные плоскостями, іараллелыіыми осям обоих цилиндров.) 2593. Два наклонных цилиндра имеют одну и ту жг высоту Н I общее верхнее основание радиуса R, а нижние основания их сопри- асаются (рис. 48). Найти объем общей части цилиндров. П л о щ а д ь п о в е р х н о с т и в р а щ е н и я 2594. Найти площадь поверхности, образованной вращением пара- юлы у 2 = 4 ах вокруг оси абсцисс от вершины до точки с абсциссой ; = 3 а. 2Б95. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением убической параболы 3у — х л = 0 вокруг оси абсцисс (от л'і = 0 до *2 = й). 2596. Вычислить площадь катеноида — поверхности, образованной ращением ценной линии у = ас\\~ вокруг оси абсцисс (от ^ = 0 о x 2597. При вращении эллипса ~ -{-^-== 1 вокруг большой оси полу- ается поверхность, называемая удлиненным эллипсоидом вращения при ращении вокруг малой — поверхность, называемая укороченным эллип- оидом вращения. Найти площадь поверхности удлиненного и укорочеп- ого эллипсоидов вращения. 2598. Вычислить площадь веретенообразной поверхности, образо- анной вращением одной арки синусоиды j/ = sin„v вокруг оси абсцисс. 158 ГЛ. V III. ПРИ М ЕН ЕН И Я ИНТЕГРАЛА 2599. Дуга тангенсоиды .у = tg х от ее точки (0, 0) до ее точкі (х/4, 1) вращается вокруг оси абсцисс. Вычислить площадь поверхности которая при этом получается. 2600. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокру. оси абсцисс петли линии 9ау“ = х(3а. — л')2. 2601. Дуга окружности х*-\-у* = а\ лежащая в первом квадранте вращается вокруг стягивающей ее хорды. Вычислить площадь получаю щейся при этом поверхности. 2602. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруі осп абсцисс дуги линии х = е* sin t, y = e‘ cost от t\ = 0 до to = Tz/2 2603. Найти площадь поверхности, образованно!! вращением астро иды x = acos't, j> = asin3£ вокруг оси абсцисс. 2604. Арка циклоиды вращается вокруг своей оси симметрии. Найті площадь получающейся при этом поверхности. (См. задачу 2568.) 2605. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруі полярной осп кардиоиды р = а (1 cos?). 2606. Окружность р = 2r sin ср вращается вокруг полярной оси Найти площадь поверхности, которая при этом получается. 2607. Лемниската р2 = a3 cos 2 <р вращается вокруг полярной оси Найти площадь поверхности, которая при этом получается. 2608. Бесконечная дуга липни у = е ~ х, соответствующая положи тельным значениям .г, вращается вокруг оси абсцисс. Вычислить пло щадь поверхности, которая при этом получается. 2609. Трактриса х = а ^cos £-j-ln tg-^-j, у = a sin t вращается вокруі оси абсцисс. Найти площадь получающейся бесконечной поверхности М о м е н т ы и ц е н т р т я ж е с т и * ) 2610. Вычислить статический момент прямоугольника с основанием с и высотой к относительно его основания. 2611. Вычислить статический момент прямоугольного равнобедренного треугольника, катеты которого равны а относительно каждой из его сторон 2612. Доказать, что имеет место следующая формула: ь ь J (ах -j- b )f(x ) dx = (аЧ -j- Ь) $/(-*:) dx, а а где £ — абсцисса центра тяжести криволинейной трапеции с основание* fa, Ь], ограниченной линией y = f(x ). 2613. Найти центр тяжести симметричного параболического сегмент; с основанием, равным а, и высотой Һ. 2614. Прямоугольник со сторонами а и & разбивается на две часті дугой параболы, вершина которой совпадает с одной из вершин прямо *) Во всех задачах этого раздела (2610—2662) плотность принимается рав ной единице. |