Сборник задач по курсу общей физики: Учеб пособие 223 для студентов пед ин-тов по спец. №2105 «Физика» /Г. А. Загуста, Г. П. Макеева, А. С. Микулич и др.; Под ред. М. С. Цедрика. М.: Просвещение, 1989. 271 с.: ил
жүктеу/скачать 3,13 Mb.
|
cedrik
§ 1. КИНЕМАТИКА Средняя скорость точки: где А г — приращение радиус-вектора r{t) = Tx(t)Jy(t)-\~kz(t) за время Лt (i, k — единичные векторы (орты) осей прямоугольной системы координат, x(t), y(t), z(t) — координаты точки). Мгновенная скорость: Модуль скорости: где v — скорость материальной точки в условно неподвижной системе координат (абсолютная скорость), v' — ее скорость в движущейся системе координат (относительная скорость), и0 — скорость подвижной системы координат относительно неподвижной (переносная скорость). Среднее ускорение точки: = I V 2 ds_ = dt ’ где ds — путь, пройденный точкой за время dt. Закон сложения скоростей Галилея: — иг -\- Уо> где Ли — приращение скорости за время At. Мгновенное ускорение: Модуль ускорения: \а\ 2 4 Полное ускорение при криволинейном движении -► -► | -► v2 | -+dv а = а„ + ат — п-~ + т —, Н at где ап и ат — нормальное и тангенциальное ускорения, пит — единичные векторы в направлении главной нормали и касательной к траектории, R — радиус кривизны траектории. Направление вектора полного ускорения определяется из соотношения: tg а = —, Cix где а — угол между векторами полного ускорения и скорости. Угловая скорость и угловое ускорение при вращательном движении: dw — dio (а) — Т» = ——. dt dt Связь линейной и угловой скорости: и = [а>, г], где г — радиус-вектор рассматриваемой точки относительно любой точки оси вращения. Связь угловой скорости с периодом Т и частотой вращения п: 2л 0 (о = — — 2 лп. т Нормальное и тангенциальное ускорения точки равномерно вращающегося тела: an~i\}2R, ат = е#, где Л — расстояние от оси вращения. Уравнение гармонических колебаний и его решение: А^4-(о^д: = 0, х = А cos (coot + ф), где х — смещение, А — амплитуда, со о — собственная частота колебаний, ф — начальная фаза. При сложении двух одинаково направленных гармонических колебаний одной и той же частоты Х\~А \ cos (ayt + ф|), х2 = Л2 cos (cot-f- Ф2) амплитуда и фаза сложного колебания определяется соотношениями: 2 4 i А | sin ф| -\-Ai sin ф2 ^ — A j-|-А2-|-2А 1А2 COS (ф2 Ф1 )♦ ^ A] cos ф!-(-А2 cos ф2 * 5 Частота биений при сложении гармонических колебаний с частотами vi и v2: =г= | Vi — V 2 I * Прямолинейное движение В каком случае пройденный материальной точкой путь и модуль вектора перемещения совпадают? Координаты материальной точки изменяются со временем по закону х~ Первую четверть пути мотоциклист проехал со скоростью v ] —10 м/с, вторую со скоростью и2 — 15 м/с, третью со скоростью i;* = 20 м/с и последнюю со скоростью и4=:5,0 м/с. Определить среднюю скорость мотоциклиста на всем пути. Найти среднюю скорость движения автомобиля, если известно, что -j- часть времени он двигался со скоростью 16 м/с, а все остальное время со скоростью 8 м/с. Пассажир электропоезда, движущегося со скоростью 15 м/с, заметил, что встречный поезд длиной 210 м прошел мимо него за 6,0 с. Определить скорость встречного поезда. Определить скорости велосипедиста и пешехода, если известно, что при движении их в одном направлении за каждую минуту движения пешеход отстает от велосипедиста на расстояние S|=210 м, а если, не меняя по модулю скорости, они движутся навстречу друг другу, то за каждые 2 мин расстояние между ними уменьшается на S2 — 780 м. При неподвижном эскалаторе метрополитена пассажир поднимается за ^=120 с, а по движущемуся при той же скорости относительно ступенек за t?~30 с. Определить время подъема пассажира, неподвижно стоящего на движущемся эскалаторе. Моторная лодка плывет по реке из одного пункта в другой и обратно. Во сколько раз время движения лодки против течения больше времени движения по течению, если скорость течения v\ — 2,0 м/с, а скорость лодки относительно воды и2 = =10 м/с? Определить скорость моторной лодки относительно воды, если при движении по течению реки ее скорость 10 м/с, а при движении против течения 6,0 м/с. Чему равна скорость течения воды в реке? Определить продолжительность полета самолета между двумя пунктами, расположенными на расстоянии 1000 км, если скорость встречного ветра Ui = 25 м/с, а средняя скорость самолета относительно воздуха и> = 250 м/с. Чему равно время полета самолета при попутном ветре? 1 Здесь и далее в уравнениях движения величины выражены в единицах СИ. 6 Определить скорость встречного ветра, если при движении автобуса со скоростью и, =15 м/с капли дождя, имеющие вертикальную составляющую скорости и2 = 10 м/с, образуют на оконном стекле автобуса полосы под углом а Определить время полета самолета между двумя пунктами, находящимися на расстоянии 500 км, если скорость самолета относительно воздуха Ui = 100 м/с, а скорость встречного ветра, направленного под углом а = 30° к направлению движения, У 2 = 30 м/с. С какой наибольшей скоростью должен идти под дождем человек, чтобы дождь не попадал на ноги, если он держит зонт на высоте 2,0 м и край зонта выступает вперед на 0,30 м? Капли дождя падают вертикально со скоростью 8,0 м/с. Турбореактивный самолет за 1,5 ч полета преодолел расстояние 700 км. Определить скорость ветра, если его направление составляет угол а = 90° с направлением движения самолета, скорость которого относительно воздуха 200 м/с. Две подводные лодки плывут навстречу друг другу каждая со скоростью v. С первой лодки был послан ультразвуковой сигнал, который, отразившись от второй лодки, вернулся обратно через время t. Скорость сигнала с. На каком расстоянии находились лодки в тот момент, когда был послан сигнал? Два лодочника должны переплыть реку из пункта А в пункт В (рис. 1.1). Один из них направляет лодку по прямой АВ и, достигнув противоположного берега, оказывается в пункте С. Для того чтобы попасть в пункт Б, он движется против течения вдоль берега от пункта С к пункту В. Второй лодочник направляет лодку так, что, достигнув противоположного берега, сразу оказывается в пункте В. Какой из них попал в пункт В быстрее и во сколько раз, если скорость лодки относительно воды в обоих случаях одинакова и равна im=2,0 м/с, а скорость течения воды V2~ 1,2 м/с? Скорость течения воды у берегов и на середине реки считать одинаковой. Движение материальной точки задано уравнением x = at-\- bt2jt~ct5, где а = 5,0 м/с, Ь = 0,20 м/с2, с = 0,10 м/с5. Определить скорость точки в моменты времени 11=2,0 с и ^ = = 4,0 с, а также среднюю скорость в интервале времени от t \ До t2. Определить траекторию движения точки, заданного уравнениями: х = 4^ + 2; y = 6t2— 3; 2 = 0. Построить график зависимости пути, пройденного точкой, от времени. Движение материальной точки задано уравнениями: х = 8£2 + 4; у — — 3. 2 = 0. Определить модули скорости и ускорения точки в момент времени £ = 10 с. Какой путь пройдет тело за время £=10 с от начала движения, если уравнения его движения :с = 2£2-|-3£ + 4, у = ~ 3f2 -\-4t — 2, г — 0? На рисунке 1.2 приведены графики скоростей двух тел А и В, движущихся прямолинейно, координаты которых в на- 7 о 8 12 /6 20 24 28 32 tc Рис. 1.1 Рис. 1.2 чальный момент времени £ = 0 совпадают. Через какое время их перемещения совпадут? Прямолинейное движение точки описывается уравнением r = 3t2/-f At Скорость материальной точки, движущейся вдоль оси Ху определяется уравнением vx — 0,2 — 0,lt. Найти координату точки в момент времени £ = 10 с, если в начальный момент времени она находилась в точке Хо = 1. На рисунке 1.3 приведен график зависимости вертикальной проекции скорости движения кабины лифта от времени. Определить перемещение кабины и пройденный ею путь. Построить график зависимости ускорения кабины от времени. Самолет для взлета должен иметь скорость 100 м/с. Определить время разбега и ускорение, если длина разбега 600 м; движение самолета при этом считать равноускоренным. Автомобиль движется со скоростью U|=25 м/с. На пути s — 40 м производится торможение, после чего скорость уменьшается до и2=15 м/с. Считая движение автомобиля равнозамедленным, найти модуль ускорения и время торможения. v 1.27. Тело, совершающее равноускоренное движение, проходит одинаковые соприкасающиеся отрезки пути длиной s = 15 м соответственно за fj=2,0 с и £2 —1,0 с. Определить модули ускорения и скорости тела в начале первого отрезка пути. Определить путь, проходимый частицей, которая движется по прямолинейной траектории в течение 10 с, если ее скорость изменяется по закону и = 30 + 2 £. В момент времени *0 = 0 5 = 0. В копре для забивки свай груз равномерно поднимается на высоту 4,9 м за 5 с, после чего сразу падает на сваю. Определить, сколько ударов делает груз за 1 мин. Определить время подъема лифта в высотном здании, считая его движение при разгоне и торможении равнопеременным с ускорением а=1,0 м/с2, а на среднем участке — равномерным со скоростью v — 2,0 м/с. Высота подъема h = 60 м. Определить начальную скорость тела, брошенного вер- 8 тикально вверх, если отметку (высоту) 60 м оно проходилс 2 раза с промежутком времени 4,0 с. Сопротивление воздуха не учитывать. Тело, брошенное вертикально вниз с начальной ско- ростью 19,6 м/с, за последнюю секунду прошло п = ^~ часть всего пути. Определить время падения тела и его конечную скорость. С какой высоты брошено тело? Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью 21 м/с. Определить время между двумя моментами прохождения телом отметки половины максимальной высоты. Сопротивление воздуха не учитывать. На вертикально подвешенной тонкой нити закреплено п свинцовых шариков так, что нижний шарик почти касается пола. Когда верхний конец нити отпускается, шарики один за другим ударяются о пол. Как должны относиться расстояния между шариками и расстояния от шариков до пола, чтобы удары слышались через равные промежутки времени? Определить начальную скорость, которую необходимо сообщить телу, брошенному вертикально вверх, чтобы оно вернулось обратно через t = 6 с. Чему равна максимальная высота подъема? Сопротивление воздуха не учитывать. Частица движется с ускорением a—2ti | 4tj * ЗА’. Определить модуль скорости частицы в момент времени t — 2 с, если в начальный момент времени t — 0 ее скорость была v0 = 3i± if— lk. На наклонной плоскости с углом наклона а — 30° лежит тело. Какое минимальное ускорение необходимо сообщить наклонной плоскости в горизонтальном направлении, чтобы лежащее на ней тело свободно падало? Криволинейное движение Какова траектория точки, если ее радиус-вектор относительно начала координат изменяется со временем по закону r = 2tT-\~ 8f2J? Радиус-вектор частицы определяется выражением г = 9 = 3f/ + 0,5t2j. Определить модули скорости и ускорения частицы в момент £~5 с. Определить скорость пули, если при выстреле из пистолета в горизонтальном направлении во втором из двух вертикально закрепленных тонких листов бумаги, находящихся на расстоянии J — 20 м, пробоина оказалась на h = 5 см ниже, чем в первом. Ракета запущена под углом а = 60° к горизонту с начальной скоростью Уо~90,4 м/с. Определить время горения запала ракеты, если известно, что она вспыхнула в наивысшей точке своей траектории. Под каким углом к горизонту нужно направить струю воды, чтобы высота ее подъема была равна расстоянию, на которое бьет струя воды? Доказать, что при отсутствии сопротивления воздуха максимальная дальность полета тела, брошенного под углом к горизонту, будет при а = 45°. Под каким углом к горизонту брошено тело, если известно, что максимальная высота подъема равна 1/4 части дальности полета? Сопротивление воздуха не учитывать. С башни высотой 19,6 м в горизонтальном направлении брошено тело со скоростью 10 м/с. Записать уравнение траектории тела. Чему равна скорость тела в момент падения? Какой угол образует эта скорость с горизонтальным направлением? Сопротивлением воздуха пренебречь. Из одной точки одновременно брошены два тела с одинаковой скоростью под разными углами а\ и а2 к горизонту. Определить расстояние между телами спустя t = 2,0 с после начала движения, если и0 = 1О м/с, a ai = 30° и ос2 = 60°. На какой высоте вектор скорости тела, брошенного под углом а = 45° к горизонту с начальной скоростью и0 = 20 м/с, будет составлять с горизонтом угол [3 — 30°? Сопротивление воздуха не учитывать. Через какое время вектор скорости тела, брошенного под углом a = 60° к горизонту с начальной скоростью 20 м/с, будет составлять с горизонтом угол (3 = 30°? Сопротивление воздуха не учитывать. С вершины горы брошено тело в горизонтальном направлении со скоростью 19,6 м/с. Определить тангенциальное и нормальное ускорения тела спустя 2,0 с после начала движения. Какой угол образует вектор полного ускорения с вектором скорости? Материальная точка совершает движение в плоскости XY, описываемое уравнениями х = 3 sin о)£, у = 3 cos Записать уравнение траектории точки. Найти зависимость пройденного точкой пути от времени, считая, что при t — 0 s = 0. Материальная точка движется в плоскости XY. Определить траекторию точки, если ее движение задано уравнениями: х = 3 sin о£/ = 2 cos со£. 10 Вращательное движение Определить среднюю скорость движения самолета, если известно, что он вылетел из Хабаровска в 6 ч по местному времени и прибыл в Москву в 6 ч по московскому времени. Считать, что Москва и Хабаровск находятся на широте 50°. На горизонтальном валу, совершающем 200 об/с, на расстоянии 20 см друг от друга закреплены два тонких диска. Для определения скорости полета пули произведен выстрел так, что пуля пробила оба диска на одинаковом расстоянии от оси вращения. Определить скорость пули, если угловое смещение пробоин оказалось равным 18°. При повороте трактора, движущегося со скоростью 24 км/ч, его центр масс описывает дугу радиуса R Найти разность скоростей гусениц трактора, если расстояние между ними d = 1,5 м. На тележке, движущейся по ровной площадке вдоль оси X со скоростью Vox = 5,0 м/с, установлен двигатель, на вал которого насажен диск диаметром D = 20 см, совершающий п = = 13 об/с. Направление вращения диска таково, что линейная скорость любой точки в момент прохождения ею крайнего ниж- него положения совпадает с направлением оси X. Как будет двигаться диск, если он сорвется с вала? Считать, что при качении диска по площадке скольжение отсутствует. Трение не учитывать. С какой скоростью двигалась повозка при киносъемке, если при демонстрации кинофильма на экране задние колеса, имеющие по N = 12 спиц, кажутся невращающимися? Диаметр колес D—1,0 м. Киносъемка производилась со скоростью v\ = = 24 кадра в секунду. Сколько оборотов сделали колеса автомобиля после включения тормоза до полной остановки, если в момент начала торможения автомобиль имел скорость у() = 60 км/ч и остановил- ся за t = 3,0 с после начала торможения? Диаметр колес D — 0,70 м. Чему равно среднее угловое ускорение колес при торможении? Скорость электропоезда 36 км/ч. Определить скорость точки А на ободе колеса электропоезда (рис. 1.4) по отноше- нию к рельсу в момент, когда она на- ходится в наивысшем положении, в наи- низшем положении и на уровне оси ко- леса. Радиус колеса 0,50 м. Точка А ниже уровня рельса на 5,0 см. Чему равна угловая скорость вращения ко- леса? Определить угловое ускорение маховика, частота вращения которо- го за время N — 20 полных оборотов возросла равномерно от Ли = 1,0 об/с до п = 5,0 об/с. Рис. 1.4 За время движения в канале ствола пуля делает один полный оборот. Какова средняя угловая скорость вращения пули, если в момент вылета скорость ее и = Определить угловую скорость и угловое ускорение твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси Z по закону ф — at — bt\ где а = 20 с-1, b = 1 с 2. Каков характер движения этого тела? Построить графики зависимости угловой скорости и углового ускорения от времени. Колебательное движение Амплитуда гармонического колебания равна 5,0 см, период — 4,0 с. Определить максимальные скорость и ускорение колеблющейся точки, если в начальный момент времени точка находилась в положении максимального смещения. Через какое время от начала движения точка, совершающая гармонические колебания с периодом 12 с и начальной фазой, равной 0, сместится от положения равновесия на расстояние, которое равно половине амплитуды? Написать уравнение колебательного движения материальной точки, совершающей колебание с амплитудой 5 см, периодом 2 с и начальной фазой 45°. Колебания материальной точки описываются уравнением x = 0,03sinn (t+0,5). Определить наибольшие значения скорости и ускорения. Чему равна фаза колебаний спустя 5,0 с от начала движения? Определить начальную фазу гармонического колебания тела, если через 0,25 с от начала движения смещение, изменяющееся по закону синуса, было равно половине амплитуды. Период колебания 6,0 с. Считая движение поршня в цилиндре автомобильного двигателя гармоническим колебанием, определить максимальные значения его скорости и ускорения, если автомобиль движется со скоростью и — 72 км/ч на прямой передаче, радиус колес R = 344 мм, ход поршня /=100 мм. Написать уравнение колебательного движения материальной точки, совершающей два одинаково направленных гармонических колебания, которые описываются уравнениями: Х\ = 4 sin 2л + */~3 sin (2nt + Какова частота изменения амплитуды сложного колебания, полученного в результате сложения двух одинаково направленных гармонических колебаний с частотами 440 и 440,5 Гц? Найти уравнение траектории движения материальной точки, которая участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, заданных уравнениями: х = 2 sin ji(2t-|-'l), у = 2 sin (2л^ + 90°). Указать направление движения. 12 Сложить графически два взаимно перпендикулярных колебания с одинаковыми амплитудами и фазами, периоды которых соответственно равны 1 и 2 с. жүктеу/скачать 3,13 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|