Система счисления
жүктеу/скачать 184,15 Kb.
|
Лекция 11. Система счисления
| Теорема.Любое натуральное число можно представить в виде, а ∙10 +а ∙10 +…+ а ∙10+а , где а , а ,…, а , а принимают значения 0, 1, 2,…, 9 и такая запись единственна.
Доказательство. а) Докажем существование записи числа в виде суммы разрядных слагаемых. • Среди множителей слагаемых 1;10;102;,…,10п найдем наибольшую степень, содержащуюся в х, т.е. что 10п х<10п+1. Это всегда можно сделать. Проиллюстрируем сказанное на примере 379=3·102+7·10+9·100. 102 379 <103. • Разделив (с остатком) число х на 10п, получим х=ап·10п+ хп где ап <10 и хп<10п. Далее разделив хп на 10п-1, получим хп=ап-1 ·10п-1+ хп-1, где ап-1 <10 и хп-1 <10п-1. Продолжая этот процесс, дойдем до равенства х2=а1 ·10+ х1. • Положив х1=а0, будем иметь х=а ∙10 +а ∙10 +…+ а ∙10+а , т.е. число х представлено в виде суммы степеней 10 с коэффициентами, меньшими 10. б) Докажем единственность представления числа х в виде суммы разрядных слагаемых, т.е. следует убедиться, что число п – наибольший показатель степени 10, а также коэффициенты а ,а ,…,а ,а , определяются однозначно. • Проиллюстрируем сказанное сначала на примере 379=3·102+7·10+9·100. Число п - наибольший показатель степени 10, однозначно определяется условием: 102 379 <103. • После этого а2, а1, а0 определяются соответственно из условий а2 ·102 379 < (а2+1) ·102,т.е. 3 ·102 379 <4 ·102, а1 · 10·1 79 < (а1+1) ·101, т.е. 7· 10 79 <8 ·10, а0 ·10 9< (а0+1) ·100, т.е.9· 100 9 <10 ·100. • Аналогично: наибольший показатель п степени 10 однозначно определяется условием 10п х <10п+1, из условия ап ·10п х< (ап+1) ·10пнаходят ап, далее, аналогичным образом определяются коэффициенты а ,…,а ,а . • Таким образом а ,а ,…,а ,а и п определяются однозначно, следовательно существует единственное представление числа х в виде суммы разрядных слагаемых. Возможность представления натуральных чисел позволяет сравнивать числа на основе следующей теоремы. жүктеу/скачать 184,15 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|