ОҚУШЫЛАРДЫҢ МАТЕМАТИКАЛЫҚ

250 
Осыған байланысты, республика көлемінде орта білім 
беру жүйесінде оқушылардың математикалық сауаттылығын 
дамытуда логикалық есептердің қолданымдарын іс жүзіне асыру 
ең маңызды мәселелердің бірі болып табылады.
«Білекті бірді, білімді мыңды жығады» – деген халық 
даналығы босқа айтылмаған. Яғни, мектеп оқушыларының 
білімі, 
біліктілігі 
мен 
дағдыларының 
берік 
негізін 
қалыптастырып қана қоймай, олардың ақыл-ой белсенділігін 
барынша дамытып, ойлауға, білімді өз бетінше алуға және 
толықтыруға үйрету, оларды теориялық және практикалық 
мәселелерді шешуде саналы түрде қолдана білуін қамтамасыз 
ету қажет. 
Әрбір мұғалім оқушылардың логикалық ойлауын дамыту 
керек деген ойға ешкім дау айта алмайды. Бұл туралы 
әдістемелік әдебиеттерде, оқу бағдарламаларына түсіндірме 
жазбаларда айтылған. Алайда, әрбір жас маман мұны қалай 
жасау керектігін әрдайым біле бермейді. Логикалық ойлаудың 
дамуы көбінесе өздігінен жүретіндігіне әкеледі, сондықтан 
оқушылардың көпшілігі логикалық ойлаудың бастапқы 
әдістерін игермейді (талдау, салыстыру, синтез, абстракция 
және т.б.). Демек, математикалық сауаттылықты оқушылар 
арасында дамытуға ерекше көңіл бөлу қажет деп есептейміз. 
Оқу 
процесінде, 
оқушылардың 
математикалық 
қабілеттерін 
тиімді 
дамыту 
барысында 
тапқырлыққа 
байланысты, әзіл-оспақ есептерді, математикалық ребустарды, 
софизмдер және басқа да логикалық есептерді пайдаланбау 
мүмкін емес. Осыдан сұрақ туындайды: «Қандай тапсырмалар 
логикалық деп аталады?» 
Логикалық есептер
дегеніміз не?
 
Кең мағынада, біз 
логикалық есепті арнайы білім қажет етпейтін, логикалық 
кабілеттер арқылы шығарылатын есеп деп түсінеміз. Мұндай 
есептер математикалық немесе стандартты емес болуды қажет 
етпейді. Қарапайым арифметикалық есептерді де логикалық 
есептер тобына жатқызуға болады.
 
Мысалы, келесі тапсырманы алайық: Аулада жүрген 
қаздар мен ешкілердің аяқтарының саны 24, ал бастарының 
саны 9. Аулада неше қаз және ешкі жүр? [5] 
Бұл мәселені алгебралық жолмен оңай шешуге болады: біз 

251 
қаздардың санын 
х
арқылы, ал ешкілерді 
у 
– деп өрнектейміз; 
қаздың аяқ саны 2-еу болғандықтан х-ті 2-ге, сәйкесінше, у-ті 
ешкінің аяқ санына, яғни 4-ке көбейтеміз. Берілген шартқа 
байланысты теңдеулер жүйесін құрамыз: 
{
х + у = 9
2х + 4у = 24
. Осы 
жүйедегі бірінші теңдеуден х-ті өрнектейміз. Сонда, х = 9 – y –ті 
екінші теңдеудің х-тің орнына қоямыз. Теңдеуден белгісіз 
шаманы есептеу барысында 3-ке тең болғандығын байқаймыз. 
Осыдан, бірінші теңдеуге қайтып келіп, х белгісізді есептеуде 6 
шықады. Демек, аулада 6 қаз және 3 ешкі жүргендігіне көз 
жеткіздік. Бұл мысалда берілген арифметикалық есепті 
алгебралық шешімге алып келдік. Алгебралық шешім 
стандартты және әмбебап болып табылады. Жоғарыда 
шығарылған тапсырманың шарты оқушылардан проблемалық 
жағдайды түсінуді және қисынды түрде ойлауды, ал, есептің 
шешімі алгебралық түрде шығаруды талап етеді. Осыдан, 
арифметикалық есептерді шешуде оқушылар екі әдісті 
қолданады: алдымен логикалық, содан кейін алгебралық. 
Есептерді логикалық әдіспен шешу әлдеқайда тиімді, себебі 
баланың логикалық ойлауын, демек, оның жалпы ойлауын 
дамытады. 
Сонымен, 
логикалық 
тапсырманың 
белгілі 
бір 
«ерекшелігі» бар, стандартты емес, яғни, бұл тапсырманың 
ерекше шарты, күтпеген шешімі болады. Оларды шешу үшін 
оқушы ойлау процесінде қалыптасатын логикалық қабілеттерді 
қолдана отырып, есептің «мазмұнын» түсіну маңызды болып 
табылады. 
Көптеген 
олимпиадалық 
математикалық 
есептер 
логикалық деп санауға болады. Шығарылу әдістеріне мен 
тәсілдеріне байланысты бірнеше логикалық есептердің түрлері 
қалыптасқан. Келесі жиі кездесетін тәсілдерді атап өтейік: 
Дирихле 
принципі, 
кестелер 
құру 
әдісі, 
Эйлер-Венн 
диаграммасы, граф әдісі, симметрия идеясы, инвариантты 
таңдау, математикалық индукция, «дұрыс пайымдау» әдісі және 
т.б. жоғарыда аталған барлық әдістер айқын логикалық сипатқа 
ие. Сонымен қатар, стандартты емес математикалық есептерді 
«пәндік» 
тақырыптар 
бойынша 
да 
бөлуге 
болады: 
комбинаторика, ықтималдылық, арифметика, бөлінгіштік, 

252 
кеңістік пен форма және мәтіндік есептер.
Стандартты емес логикалық тапсырмалардың тұтас 
шоғырын 
қарастырайық. 
Логикалық 
есептерді 
әртүрлі 
жолдармен шығару терең ойлауды қалыптастыру үшін де, 
математика сабақтарына қызығушылықты тәрбиелеу және оны 
танымал ету үшін де өте тиімді әдіс-тәсілдердің бірі болып 
табылады. 
Математикалық білім оның ішінде математикалық 
сауаттылықты дамытудағы маңызды міндет – оқушылардың 
ойлау қабілетін, кеңістіктік қиялдың жалпы әдістерімен 
қаруландыру, тапсырманың мағынасын түсіну қабілеттігін 
дамыту, алгоритмдік ойлау дағдыларын игеруді қажет етеді.
Яғни, әр оқушыға гипотезаны фактіден ажырата білу, өз 
ойларын нақты айту, екінші жағынан қиял мен түйсікті 
дамытуды үйрену керектігі өте маңызды (кеңістіктік көрініс, 
нәтижені болжау және шешім жолын болжау қабілеті). 
Себебі, 
логикалық есептер
– «ми үшін гимнастика», әр 
оқушының өз ақыл-ой қабілеттерін дамыту құралы болып 
табылады.
Көптеген логикалық есептер 
«дұрыс пайымдау» әдісімен
шешіледі. Шешу үрдісі өз алдында барлық жағдайлардың 
талдаулары, сәйкес келтіруді таңдау және қажет еместерін алып 
тастауды ұсынады. Шешу нәтижесінде қалыптасқан мәселені 
қарастырайық.
 
Есеп.
Өзен арқылы ешкі, қасқыр және орамжапырақты 
өткізу керек. Қайықта, тасымалдаушыдан басқа үшеуінің біреуі 
ғана сыяды. Оларды қандай тәсілмен, ешкі – орамжапырақты, 
қасқыр – ешкіні жеп қоймайтындай етіп жеткізу болады. 
Шешуі:
Өткізудің түрлі нұсқаларын қарастырамыз. Егер 
алдымен қасқырды жеткізсек, онда ешкі орамжапырақты жеп 
қояды. Ал егер орамжапырақты, онда қасқыр ешкіні жейді. 
Тиісінше, басында ешкіні жеткізу қажет. Сосын қасқырды 
жеткіземіз, бірақ оны онда қалдырсақ, ешкіні жеп қояды. Яғни 
ешкіні қайта алып келіп, орамжапырақты жеткізу қажет. Және 
де соңында ешкіні.
Басқаша әрекет етуге де болады: қасқырды емес, 
орамжапырақты. Бірақ ешкі оны жеп қояды, яғни ешкіні керіге. 
Енді қасқырды және қайтадан ешкіні. 

253 
Жауабы:
алдымен 
ешкіні, 
сосын 
қасқырды 
(орамжапырақты). Сосын ешкіні қайтарамыз да орамжапырақ 
(қасқырды) жеткіземіз. Сосын ешкіні. 
Математиканың 
көптеген 
салаларында, 
мысалы, 
математикалық анализде, геометрияда, жиындар теориясында 
және т.б., қолданылатын 
Дирихле принципіне 
тоқталып өтейік. 
Дирихле принципі
– бұл өте қарапайым, соған қарамастан өте 
қуатты идея. Дей тұрғанмен, 
Дирихле принципінің
сандар 
теориясындағы қолданымы өте тиімді екендігін атап өту керек. 
 
Бұл қарапайым принципті бірінші болып неміс математигі 
Лежан Дирихле
(1805-1895) тұжырымдаған.
Дирихле принципінің
үш түрі бар: біреуі қарапайым түрі, 
екеуі күрделі. 

жүктеу/скачать 4,99 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: