Специальность «актуарная математика» срс проверил(а): Султангазиева Ж. Б
жүктеу/скачать 199,33 Kb.
|
СРС Педагогика
Саяхат» тарауы оқушыларды өткен өмірге, СРС 1, СРС Действительный анализ
- Бұл бет үшін навигация:
- 1. Использование аналогии при определении свойств прямоугольного параллелепипеда на основе свойств прямоугольника. Параллелепипед обладает следующими свойствами
- 2. Использование сравнения при обучении свойствам функций.
- 3. Доказательство теоремы о средней линии трапеции аналогично доказательству теоремы о средней линии треугольника. Теорема о средней линии треугольника
- Дано
- Теорема о средней линии трапеции.
- Доказать
|
Министерство образования и науки Республики Казахстан Казахский Национальный Университет имени Аль-Фараби Факультет «механико-математический» Кафедра «Вычислительных наук и статистики» Специальность «актуарная математика» СРС
Проверил(а): Султангазиева Ж. Б. Выполнила: Иманбай Ә. М. Алматы 2022 г. 1. Использование аналогии при определении свойств прямоугольного параллелепипеда на основе свойств прямоугольника. Параллелепипед обладает следующими свойствами: 1) противолежащие грани параллелепипеда равны и лежат в параллельных плоскостях. 2) диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. У прямоугольного параллелепипеда 3 измерения – длина, ширина и высота. В качестве измерений нашего параллелепипеда можно взять, например, длины ребер DA, DC и DD1, все эти ребра имеют общую вершину D. У прямоугольника два измерения – длина и ширина. При этом, . Оказывается, что аналогичным свойством обладает и прямоугольный параллелепипед: квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений. Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. И докажем, что – диагональ параллелепипеда, а, b и c – ребра, имеющие общую вершину. Пусть AD = a, DC = b, DD₁ = c. DD₁ ⟂ AD, DD₁ ⟂ DC => DD₁ ⟂ ABCD BB₁ ⟂ DD₁ => BB₁ ⟂ ABCD => BB₁ ⟂ BD ABCD – прямоугольник. Из ∆BAD по теореме Пифагора имеем . Из ∆BB₁D по теореме Пифагора имеем . . Еще одну аналогию между прямоугольником и прямоугольным параллелепипедом показывает одно свойство. Мы знаем, что площадь прямоугольника равна произведению его измерений, S=ab. Оказывается, что аналогичное утверждение справедливо и для прямоугольного параллелепипеда: объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений, V=abc. 2. Использование сравнения при обучении свойствам функций. Рассмотрим одно из свойств функции на примере о графика произвольной функции y = f (x): Функция y = f (x) называется возрастающей, если для любой пары значений аргументов x1, x2 из неравенства x1 < x2 следует неравенство f (x1) < f (x2). Функцию можно назвать возрастающей на промежутке, если большему из любых двух взятых из него чисел всегда соответствует большее значение функции. Для нашего примера функция возрастает при . Функция y = f (x) называется убывающей, если для любой пары значений аргументов x1, x2 из неравенства x1 < x2 следует неравенство f (x1) > f (x2).Функцию можно назвать убывающей на промежутке, если из любых двух взятых из него чисел большему из них всегда соответствует меньшее значение функции. Для нашего примера функция убывает при . То есть мы берем любые 2 точки функции, координата абсциссы одной из них будет меньше. Далее мы сравниваем значения функции в этих точках. Если значение функции в точке с меньшей абсциссой будет меньше значения другой, то функция возрастающая, если больше, то убывающая. 3. Доказательство теоремы о средней линии трапеции аналогично доказательству теоремы о средней линии треугольника. Теорема о средней линии треугольника. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине. Дано: ABC – треугольник, MN- средняя линия ABC Доказать, что: 1. MN || AC. 2. MN = ½ AC. Доказательство. Рассмотрим треугольники BMN и BAC. По условию у нас BM=MA, BN=NC. Можем записать: 1. ∠B – общий. 2. . Следовательно треугольники подобны (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними). Из этого следует, что по признаку параллельности прямых, MN||AC, т. е. средняя линия параллельна третьей стороне. Также из подобия треугольников следует, что , т. е. MN = ½ AC. Что и требовалось доказать. Теорема о средней линии трапеции. Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме. Дано: ABCD – трапеция, MN – средняя линия ABCD Доказать, что: 1. BC || MN || AD. 2. MN = ½ (AD + BC). Доказательство. Проведём прямую BN, пересекающую продолжение стороны AD в точке K. Появляются дополнительные элементы – треугольники: ABD, BNM, DNK, BCN. Если мы докажем, что BN = NK, то это будет означать, что MN – средняя линия ∆ABD, а дальше можно будет воспользоваться свойством средней линии треугольника и доказать необходимое. Только в этом случае, мы можем воспользоваться не просто признаком подобия, а доказать равенство треугольников. 1. Рассмотрим ∆BNC и ∆DNK, в них: а) ∠CNB =∠DNK (свойство вертикальных углов); б) ∠BCN = ∠NDK (свойство внутренних накрест лежащих углов); в) CN = ND (по следствию из условия теоремы). Значит ∆BNC = ∆DNK (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Из равенства ∆BNC = ∆DNK следует, что BN = NK, а значит MN – средняя линия ∆ABK. =>MN || AD. Так как ABCD – трапеция, то BC||AD, но MN || AD, значит BC || MN || AD. MN = ½ AD, но AD = AK + KD, причём KD = BC (∆BNC = ∆DNK), значит MN = ½ (AD + BC). Что и требовалось доказать. жүктеу/скачать 199,33 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|