Стойка бильярдных шаров. Часть 1

Считая, что в стойке все шары одинаковые, обозначим через – радиус одного шара. Ясно, что с увеличением числа рядов – , бильярдных шаров будет увеличиваться их общее число, также изменяется размер стойки – равностороннего треугольника. Главным для нас будет исследование зависимости между числом рядов, то есть числом шаров и длиной одной стороны стойки, также найдем зависимость между числом рядов и числом шаров в стойке.

Зависимость между числом рядов и числом шаров в стойке определяется очень просто. Если в стойке будет – рядов бильярдных шаров, то мы замечаем, что в каждом последующем ряде будет на один шар больше, чем в предыдущем. Таким образом, общее количество шаров в рядах составляет арифметическую прогрессию: Сумма этой прогрессии будет равна

Значит, если в стойке будет рядов, то общее количество шаров в стойке равно:

Для того, чтобы найти связи (зависимости), указанные в п.3 (с,д,е) необходимо вначале найти связь (зависимость) между кол-вом рядов и длиной стороны соответствующего треугольника. Ясно, что число рядов совпадает с кол-вом шаров в последнем, нижнем ряду.

Рассмотрим случай когда в треугольнике всего один шар. См. рис. 1

Известна формула для равностороннего треугольника:

где – длина стороны равностороннего треугольника, а – радиус вписанной окружности. Отсюда получим:

С другой стороны

Значит +D = .

Запомним, что +D

Теперь рассмотрим общий случай, когда в треугольнике – рядов. См. рис. 2 (На рис.2 всего 5 рядов, но мы будем считать, что их – ). Длина стороны треугольника – равна:

Здесь диаметр шара,

Заметим (см. рис.1и рис.2) что +D +D .

Тогда из равенства (2) получим, что

Значит мы выяснили, что если в треугольнике будет – рядов, то длина стороны этого треугольника должна быть равна

Мы уже знаем, что если в стойке количество строк – рядов , то количество шаров равно Значит общая площадь окружностей (сечений шаров) будет равна

так как площадь одной окружности равна , а их штук.

Теперь найдем площадь треугольника-стойки, в котором будет рядов. Мы знаем формулу площади равностороннего треугольника со стороной –

Длина стороны треугольника-стойки, содержащей рядов определяется формулой (3) и равна Значит площадь такого треугольника-стойки буде равна

Чтобы найти оставшуюся площадь, то есть площадь треугольника-стойки без общей площади окружностей, воспользуемся формулами (4),(5) и получим:

Все полученные результаты можно представить в виде следующей таблицы: