Стойка бильярдных шаров.
ЧАСТЬ 1
Считая, что в стойке все шары одинаковые, обозначим через – радиус одного шара. Ясно, что с увеличением числа рядов – , бильярдных шаров будет увеличиваться их общее число, также изменяется размер стойки – равностороннего треугольника. Главным для нас будет исследование зависимости между числом рядов, то есть числом шаров и длиной одной стороны стойки, также найдем зависимость между числом рядов и числом шаров в стойке.
Зависимость между числом рядов и числом шаров в стойке определяется очень просто. Если в стойке будет – рядов бильярдных шаров, то мы замечаем, что в каждом последующем ряде будет на один шар больше, чем в предыдущем. Таким образом, общее количество шаров в рядах составляет арифметическую прогрессию: Сумма этой прогрессии будет равна
Значит, если в стойке будет рядов, то общее количество шаров в стойке равно:
Для того, чтобы найти связи (зависимости), указанные в п.3 (с,д,е) необходимо вначале найти связь (зависимость) между кол-вом рядов и длиной стороны соответствующего треугольника. Ясно, что число рядов совпадает с кол-вом шаров в последнем, нижнем ряду.
Рассмотрим случай когда в треугольнике всего один шар. См. рис. 1
Известна формула для равностороннего треугольника:
,
где – длина стороны равностороннего треугольника, а – радиус вписанной окружности. Отсюда получим:
= (1)
С другой стороны
+D +D
Значит +D = .
Запомним, что +D
Теперь рассмотрим общий случай, когда в треугольнике – рядов. См. рис. 2 (На рис.2 всего 5 рядов, но мы будем считать, что их – ). Длина стороны треугольника – равна:
+D +D +D
Здесь диаметр шара,
Заметим (см. рис.1и рис.2) что +D +D .
Тогда из равенства (2) получим, что
Значит мы выяснили, что если в треугольнике будет – рядов, то длина стороны этого треугольника должна быть равна
Замечание. Если то длина стороны соответствующего треугольника будет равна – . (См. формулу (1)). Ясно, что с увеличением числа рядов – будет увеличиваться длина стороны соответствующего треугольника, и будет определяться из формулы (3).
Мы уже знаем, что если в стойке количество строк – рядов , то количество шаров равно Значит общая площадь окружностей (сечений шаров) будет равна
так как площадь одной окружности равна , а их штук.
Теперь найдем площадь треугольника-стойки, в котором будет рядов. Мы знаем формулу площади равностороннего треугольника со стороной –
Длина стороны треугольника-стойки, содержащей рядов определяется формулой (3) и равна Значит площадь такого треугольника-стойки буде равна
Чтобы найти оставшуюся площадь, то есть площадь треугольника-стойки без общей площади окружностей, воспользуемся формулами (4),(5) и получим:
.
Все полученные результаты можно представить в виде следующей таблицы:
Кол-во
рядов,
строк
|
Кол-во
шаров
|
Длина стороны
треугольника-стойки
|
Общая площадь
окружностей
|
Площадь треугольника-стойки
|
Оставшаяся площадь
|
n
|
|
|
|
|
|
Все полученные формулы верны, работают. Это можно проверить для любого конкретного .
Достарыңызбен бөлісу: |