Стойка бильярдных шаров. Часть 1

– число шаров внутри стойки;

– длина стороны треугольника;

– общая площадь окружностей – сечений шаров;

– площадь треугольника;

– площадь "пустого" пространства внутри треугольника – оставшаяся площадь.

В дальнейшем можно исследовать такую же задачу в треугольной стойке заменив, например, шары на кубики или на правильные треугольные призмы – тетраэдры.

Можно вместо треугольной стойки рассмотреть круглую стойку в которой будут размещены шары с диаметром равным высоте стойки. Можно также внутри такой стойки расположить кубики или тетраэдры.

Можно усложнить задачу, если взять вместо круглой стойки какую-то эллипсовидную.

Я думаю, что подобную задачу можно видоизменять в двух направлениях: изменяя форму стойки, или изменяя фигуры находящиеся внутри стойки.

ЧАСТЬ 2

Данную задачу исследуем аналогично первой.

Вначале рассмотрим случай с одним рядом шаров. См. рис.3.

Рассмотрим , угол – прямой и равнобедренный. Треугольник подобен треугольнику

Так как угол равен углу ,то . Значит

Пусть внутри треугольника два ряда шаров. См. рис.4.

Рассмотрим треугольник Найдем длину стороны .

(Это мы нашли выше. См. формулу (6) ). Ясно, что отрезок =

Значит

Аналогично .

Далее, заметим, что если в треугольнике будет рядов, то длина боковой стороны треугольника, которую обозначим будет равна

Теперь будем определять связи для этого случая, аналогичные тем, которые были рассмотрены в части 1.

Зависимость между числом рядов и числом шаров в стойке здесь определяется также очень просто. Если в стойке будет – рядов бильярдных шаров, то мы замечаем, что в каждом последующем ряде будет на два шара больше, чем в предыдущем. Таким образом, общее количество шаров в рядах составляет арифметическую прогрессию: Сумма этой прогрессии будет равна

Значит, если в стойке будет рядов, то общее количество шаров в стойке равно:

Мы уже нашли длину боковой стороны треугольника, содержащего рядов шаров

В треугольнике, содержащем рядов шаров, как мы уже определили будет всего шаров, значит общая площадь окружностей – будет определяться по формуле

Боковая сторона равнобедренного треугольника-стойки, является катетом. Поэтому площадь такого треугольника-стойки в котором рядов будет равна

Площадь "пустого" пространства, то есть площадь треугольника-стойки без общей площади окружностей, будет равна – то есть

Все полученные результаты также можно представить в виде следующей таблицы: