Теория вероятностей

• БЕРНУЛЛИ ФОРМУЛАСЫ.

САБАҚТЫҢ МАҚСАТЫ:

• Бернулли формуласының есеп шығаруда қолданысын қарастыру.

• Бернулли формуласы

• Әрқайсысы екі нәтижеге ие болатын n тәуелсіз сынақтарды өткізгенде А оқиғасының дәл m рет орындалуының ықтималдығы келесі формуламен есептеледі:

• мұндағы p - әрбір сынақтағы А оқиғасының
• орындалу ықтималдығы

• Мысал 1. Ойын сүйегін он рет лақтырғанда 3 ұпайдың дәл екі рет түсу ықтималдығы қандай?

• Шешуі. Үш ұпайдың бір рет лақтырғанда түсу
• ықтималдығы 1/6. Сондықтан р=1/6, q=5/6.
• сонымен қатар n=10 және m=2 болғандықтан,
• Бернулли формуласы бойынша:

• Мысал

• Әр күн сайын АВС корпорациясының акциялары бір-бірінен тәуелсіз бір сатыға көтеріледі немесе түседі, сәйкесінше ықтималдықтары 0,75 және 0,25. Алты күннен кейін акциялардың бағасы бастапқы бағаға келуінің ықтималдығын табыңыз.

• Шешуі:
• 6 күнде бастапқы бағаға келу үшін сол уақыт ішінде 3 рет көтеріліп, 3 рет түсу керек. Ізделінді ықтималдық Бернулли формуласы бойынша
• P6(3) = C36(3/4)3(1/4)3 = 0,13

• Мысал. Ойын сүйегін 10 рет лақтырғанда 3 ұпайының 2 рет түсуінің ықтималдығы қандай?

• Шешуі. Бір рет лақтырғанда 3 ұпайының түсуінің ықтималдығы 1/6. Сондықтан р=1/6, q=5/6.
• n=10 және m=2, Бернулли формуласы бойынша:

• Бернулли схемасын қанағаттандыратын тәуелсіз n сынақтарды өткізуде А оқиғасының кем дегенде бір рет орындалуының ықтималдығы

• мұндағы q=1-p.

• Бернулли формуласының салдары

• n тәжірибеден келесі оқиғаладың ықтималдықтары:
• m реттен кем – Pn(0)+ Pn(1)+…+ Pn(m-1);
• 2) m реттен артық – Pn(m+1)+ Pn(m+2)+…+ Pn(n);
• 3) Кем дегенде m рет – Pn(m)+ Pn(m+1)+…+ Pn(n);
• 4) m реттен аспайтын – Pn(0)+ Pn(1)+…+ Pn(m).

• Мысал 1 . Тиынды 6 рет лақтырды. Елтаңбаның : а) 2-ден кем рет; б) кем дегенде 2 рет түсуінің ықтималдығы. Шешуі.

• Мысал 2. Жәшікте 20 ақ және 10 қара шар бар. Төрт шар алынды және алған сайын жәшікке қайтарылады. Алынған 4 шардың 2-уі ақ болуының ықтималдығы қандай.

• Шешуі. А оқиғасы – ақ шар алынды.
• Онда ,
• Бернулли формуласы бойынша

• Мысал 3. 5 баласы бар отбасында 3 қыздан артық болмауының ықтималдығын табыңыздар.

• Шешуі.
• Қыз баланың туылуының ықтималдығы
• онда
• Отбасында қыз бала жоқ, бір қыз, екі қыз, үш қыз болуының ықтималдығын тапсақ:
• Онда

• Мысал 4. Өндірілген бұйымдардың ішінде 4%-ы стандартты емес болады. Сынаққа алынған 30 бұйымның екеуі стандартты емес болуының ықтималдығы қандай.

• Шешуі. А оқиғасы - «стандартты емес бұйымның болуы», оның ықтималдығы p = 0,004 , онда q = 0,96. Осыдан Бернулли бойынша

• Мысал 5. Мергеннің әр оқ атқанда нысанға тигізуінің ықтималдығы 0,9. Атылған 20 оқтың тиюі кем дегенде 16 және 19-дан аспауының ықтималдығы қандай.
• Шешуі. Бернулли формуласы бойынша:

ТӘУЕЛСІЗ СЫНАҚТАРДА А ОҚИҒАСЫНЫҢ ОРЫНДАЛУЫНЫҢ ЕҢ ЫҚТИМАЛДЫ САНЫ ЕҢ ЫҚТИМАЛДЫ САНЫ КЕЛЕСІ ҚОС ТЕҢСІЗДІКТЕН АНЫҚТАЛАДЫ:

• Есеп. Атқыштың нысанаға тигізу ықтималдығы 0,8-ге тең. Нысанаға тигізудің ең ықтимал саны 20-ға тең болу үшін нысанаға неше рет оқ ату қажет?

• Жауабы. 25 рет оқ ату қажет