Устойчивость движения, классификация точек покоя, теоремы Ляпунова
жүктеу/скачать 222,57 Kb.
|
917819.pptx
Устойчивость движения, классификация точек покоя,302-математика .Абдинабиева ФатимаРассмотрим нелинейную систему дифференциальных уравнений, запишем ее уравнения в векторной форме Или в координатной форме . В качестве независимой переменной выбрано время t, поэтому система дифференциальных уравнений является моделью некоторого процесса – изменения переменной во времени или Движения материальной точки, Занимающей в фазовом пространстве текущее положение и изменяющей это положение с изменением времени t. Таким образом, Движение – это частное решение системы дифференциальных уравнений. Зададим некоторые начальные условия . Пусть выполняются условия теоремы Коши (непрерывны в рассматриваемой области). Тогда через любую точку расширенного фазового пространства из рассматриваемой области проходит единственная интегральная кривая – график частного решения . Назовем движение, «начинающееся» в точке Невозмущенным движением . Если «возмутить» – несколько изменить начальные условия в фазовом пространстве, выбрать их , то изменится и движение. Назовем движение,«начинающееся» в точке , Возмущенным движением . Если возмущение начальных условий невелико, то в некоторой окрестности начальной точки траектории – движения тоже близки. Рассматривая близость возмущенного и невозмущенного движений «вообще», при любом времени t > T, мы приходим к определению Устойчивости движения по Ляпунову. Движение называется Устойчивым по Ляпунову, Если определения в том, что для любого размера окрестности «допуска» (по фазовым координатам) невозмущенного движения существует размер окрестности, в которой можно «возмутить» начальные условия. Причем это возмущение приведет к тому, что возмущенное движение после некоторого момента времени Т войдет в окрестность «допуска» и останется в этой окрестности при любом t > T. Если движение устойчиво по Ляпунову и , то такое движение называется Асимптотически устойчивым. Если движение асимптотически устойчиво, то возмущенное движение с ростом времени стремится к невозмущенному. Движение называется Неустойчивым по Ляпунову, если Смысл этого определения в том, что как бы ни было мало возмущение начальных условий, все равно со временем хотя бы по одной координате возмущенное движение выйдет из некоторой окрестности «допуска» невозмущенного движения. Теорема. Задача об устойчивости движения может быть сведена к задаче об устойчивости тривиального (тождественно равного нулю) решения системы. Доказательство. Обозначим . Тогда При Имеем , поэтому задача об устойчивости движения для исходной системы уравнений может быть заменена эквивалентной ей задачей об устойчивости тривиального решения для системы . Поэтому обычно заранее делают указанную замену и исследуют задачу об устойчивости тривиального решения. жүктеу/скачать 222,57 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|