Система третьего порядка. Запишем уравнение автономной системы третьего порядка
1) Все корни характеристического уравнения действительны и различны.
Картину поведения фазовых траекторий довольно легко представить, рассматривая поведение фазовых траекторий в плоскостях, натянутых на пары собственных векторов. Этот случай уже изучен выше.
А)
В плоскостях , , , имеем устойчивые узлы. Такая точка покоя так и называется – Устойчивый узел. Б) В плоскостях , , , имеем неустойчивые узлы. Такая точка покоя называется – Неустойчивый узел. В) один корень имеет знак, противоположный остальным двум корням. Точка покоя в этом случае называется Седло – узел И является неустойчивой точкой покоя.
Пусть, например, . Тогда в плоскости имеем неустойчивый узел, а в плоскостях , - седла. Если , то в плоскости имеем устойчивый узел, а в плоскостях , - седла.
Заметим, что в ситуациях узлов и седла – узел траектория, начавшись в определенном октанте, не переходит в другой октант.
2) - действительный корень характеристического уравнения, - комплексно сопряженная пара корней.
Заметим, что при изменении номера корней ситуация будет аналогичной.
В плоскости имеем фокус, устойчивый при , неустойчивый при .
А) . Такая точка покоя называется Устойчивый фокус.
Б) . Такая точка покоя называется Неустойчивый фокус.
В) или . Такая особая точка называется Седло – фокус и является неустойчивой. В первом случае по оси Точка по траектории приближается к плоскости и уходит от начала координат, так как на самой плоскости имеем неустойчивый фокус.
Во втором случае на плоскости имеем устойчивый фокус, поэтому траектория стремится к оси , но удаляется от начала координат по этой оси, так как .
