У-е вида F(x,y’,y’’)=0, где х-независ перемен, у - иском ф-ия y’ и y’’- ее произв наз диф у-я 2-го порядка. y’’+p(x)y’+q(x)y=q(x) – неоднор, y’’+p(x)y’+q(x)y=0 – однор. Общ реш лин неоднор диф у-я 2-го порядк явл сумма его частн реш и общ реш, соотв однородн у-я. Уон=Уоо+Учн. Для реш лин неоднор у-я примен метод вариац произв пост. Он закл в след: Пусть дано неоднор у-е. 1)запис соотв однор у-е 2) реш это однор у-е Уоо=
=С1у1(х)+С2у2(х) 3) Уоо=C1(x)у1+С2(х)у2* 4) для нахожд С1(х) и С2(х) сост сист С1’(х)y1+С2’(х)y2=0 5) Решаем сист, находим С1’(х) C2’(х)
C1’(x)у1’+С2’(х)у2’=f(x)
6) Находим С1(х) и С2(х) и подст в *
|
|
Линей однор диф у-е 2-го пор( с пост коэфиц) y’’+py’+qy=0 Лин однор с пост коэф, т.е. p и q – числа. Сост соотв характеристич у-е. k2(квадрат)+ рk+q=0. решаем квадр у-е. 1) (D=0) – корни действит и он один. k1=k2, тогда у=е в степени k1x, у2=е в степ k1x и все это умнож на x. Уоо=С1е в степ k1x + С2е в степ k1x*x(только С2…) 2) D>0 k1не равно k2. Корни действит и различ. у1=е в степ k1х, у2=е в степ k2х, тогда Уоо=С1е в степ k1x + C2 е в степ k2x 3) D<0, тогда k1,2=α±iβ, тогда у1=е в степ αх *соsβх, у2=е в степ αх*sinβх. Уоо=С1у1+С2у2.
Далее использ метод вариации. Уон=С1(х)у1+С2(х)у2. Для нахожд С1(х) и С2(х) сост сист: С1’(х)y1+С2’(х)y2=0 Находим С1’(x) и
C1’(x)у1’+С2’(х)у2’=f(x)
C2’(x). Найденные С1(х) и С2(х) в Уон.
|
