В курсе излагаются основы численных методов решения задач алгебры, анализа, обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений математической физики

Курс - 4

Форма отчета - зачет

Всего часов - 72

Всего аудиторных занятий, час - 34

Орг. СРС -- 6

2. 
   Тематический план дисциплины.
   

3. 
   Содержание лекций
   

– 8 часов лекций.

1. 
   Градиент скалярного поля. Дивергенция векторного поля. Оператор Лапласа в евклидовом пространстве. Формулы Грина и их следствия.
   
2. 
   Оператор Лапласа в криволинейных координатах.
   
3. 
   Оператор Лапласа-Бельтрами на римановых многообразиях. Модельные многообразия.
   
4. 
   Вид оператора Лапласа-Бельтрами на модельных римановых многообразиях.
   

– 6 часов лекций.

1. 
   Понятие емкости конденсатора. Функция Грина оператора Лапласа-Бельтрами. Вычисление емкости конденсаторов на модельных многообразиях. Вид функции Грина оператора Лапласа-Бельтрами на модельных многообразиях.
   
2. 
   Параболичность и гиперболичность типа римановых многообразий. Критерий параболичности типа модельных римановых многообразий.
   
3. 
   Свойства собственных функций и собственных значений оператора Лапласа-Бельтрами на замкнутых многообразиях.
   

– 6 часов лекций.

1. 
   Свойства ограниченных решений спектрального уравнения в параболическом и слабо гиперболическом случае.
   
2. 
   Свойства неограниченных решений спектрального уравнения в параболическом и слабо гиперболическом случае.
   
3. 
   Свойства решений спектрального уравнения в строго гиперболическом случае.
   

– 16 часов лекций.

1. 
   Теорема Лиувилля для ограниченных гармонических функций на модельных многообразиях.
   
2. 
   Теорема Лиувилля для положительных гармонических функций на модельных многообразиях.
   
3. 
   Задача Дирихле для гармонических функций на римановых произведениях.
   
4. 
   Задача Дирихле для гармонических функций на модельных многообразиях.
   
5. 
   Гармонические функции предписанного роста на модельных многообразиях.
   
6. 
   Гармонические функции на многообразиях с концами.
   
7. 
   Примеры и контрпримеры теории гармонических функций на модельных многообразиях.
   
8. 
   Методология метода Фурье при изучении решений стационарного уравнения Шредингера на модельных многообразиях.
   

1. 
   Градиент скалярного поля, потенциальные векторные поля и оператор Лапласа. Формулы Грина для оператора Лапласа.
   
2. 
   Оператор Лапласа-Бельтрами на римановых многообразиях.
   
3. 
   Оператор Лапласа-Бельтрами на модельных многообразиях.
   
4. 
   Параболичность типа римановых многообразий.
   
5. 
   Собственные функции и собственные значения оператора Лапласа-Бельтрами.
   
6. 
   Спектральное уравнение для модельных многообразий.
   
7. 
   Поведение ограниченных решений спектрального уравнения (случай I= ).
   
8. 
   Поведение ограниченных решений спектрального уравнения (случай I< ).
   
9. 
   Поведение неограниченных решений спектрального уравнения.
   
10. 
    Теорема Лиувилля для ограниченных гармонических функций на модельных многообразиях.
    
11. 
    Теорема Лиувилля для положительных гармонических функций на модельных многообразиях.
    
12. 
    Разрешимость задачи Дирихле для гармонических функций на модельных концах.
    
13. 
    Разрешимость задачи Дирихле для гармонических функций на модельных многообразиях.
    
14. 
    Гармонические функции предписанного роста.
    
15. 
    Гармонические функции на многообразиях с концами.
    
16. 
    Примеры в теории гармонических функций на модельных многообразиях.
    

1. 
   А.Ф.Тиман, В.Н.Трофимов. Введение в теорию гармонических функций. М: Наука. 1968. 208 С.
   
2. 
   С.Хелгасон. Группы и геометрический анализ. М: Мир. 1987. 736 С.
   
3. 
   Д.Гилбарг, Н.Трудингер. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными. М: Наука. 1989. 464 С.
   
4. 
   Е.М.Ландис. Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типов. М: Наука. 1971. 288 С.
   
5. 
   A. Grigor’yan. Heat Kernel and Analysis on Manifolds. Studies in Advanced Mathematics. V.47. 2009. 484p.
   
6. 
   А.Г.Лосев. Теоремы типа Лиувилля на некомпактных римановых многообразиях. Вестник ВолГУ. Сер. Математика. Физика. 1998. №3. С.18-31.
   
7. 
   А.Г.Лосев. Об одном критерии гиперболичности некомпактных римановых многообразий специального вида. Мат.заметки. 1996. Т.59. №4. С.558-564.
   
8. 
   А.Г.Лосев. Некоторые лиувиллевы теоремы на римановых многообразиях специального вида. Изв.ВУЗов. Математика. 1991. №12. С.15-24.
   
9. 
   А.Г.Лосев. Стационарное уравнение Шредингера на квазимодельных римановых многообразиях. Труды кафедры МАТФ ВолГУ Волгоград. 2002. С.94-124..
   
10. 
    A.Grigor’yan. Analytic and geometric backgroung of recurrence and non-explosion of the brownian motion on Riemannian manifolds. Bull. Amer. Math. Soc. 1999. V.36. P.135-249.