Векторлық алгебра негізгі түсініктер



Pdf көрінісі
бет3/9
Дата21.12.2019
өлшемі1,18 Mb.
#53896
1   2   3   4   5   6   7   8   9
Байланысты:
Лекции по курсу ОВТА каз


1.7. Дивергенция 

 

 

Векторлық  функцияларды  дифференциалдау  скалярлық 



функцияларды  дифференциалдаудың  жалпы  түрі  болып 

табылады.  Мысалы: 

)

(t



r

дененің  кеңістіктегі  t  уақытағы  орнын 



анықтасын.  

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

13-сурет 



 

26 


 

 

Сонда  (13-сурет): 



 

,

)



(

)

(



lim

)

(



0

v

t

t

r

t

t

r

dt

t

r

d

t









 

 



v

  -  сызықтық  жылдамдық,  ал 



-  операторын  1.6-параграфта 



векторлық оператор  деп қарастырдық. 

 Енді оның векторлық және дифференциалдық қасиеттерін 

пайдаланып, оның векторлық шамаларға әсерін қарастырайық. 

 



операторының векторға скаляр көбейтіндісі: 

 

                                 



,

z

V

y

V

x

V

V

z

y

x









                (1.60) 



 

V

 



векторының дивергенциясы деп аталады. 1.3-бөліміндегі 

анықтама бойынша, бұл скаляр шама. Мысалы:  

 

       


(

)(

)



3;

x

y

z

r

i

j

k

ix

jy

kz

x

y

z

x

y

z





 










 



 

r

f

r

r

f

r

zf

z

r

yf

y

r

xf

x

r

f

r











)

(



3

))

(



(

))

(



(

))

(



(

)

(



.  



 

Дербес жағдай 

1

)

(





n



r

r

f

 болса, онда  

 

                             



1

1

0



1

)

1



(

3











n

n

n

n

r

n

r

r

r

r

r



  



 

олай  болса  n=-2  болғанда,  онда  осы  шаманың    дивергенциясы 

нөлге тең болады. 


 

27 


 

Дивергенцияның  физикалық  мағынасы  түсінікті  болу 

үшін 

)

(



v





 қарастырайық,  мұндағы   

)

,

,



(

z

y

x

v

 сығылатын 



сұйықтың  ағысының  жылдамдығы, 

)

,



,

(

z



y

x

 



–  (x,y,z) 

нүктесіндегі тығыздығы. Dxdydz – көлем элементін қарастырсақ  

(14-сурет),  онда  EFGH  бетінен  бірлік  уақытта  ағатын  сұйық 

мөлшері:  

(келген) 

EFGH


=



v



x

dydz,  ал  АВС



D

  бетінен  шығатын  сұйық 

мөлшері:  (кеткен)

ABCD

  =


dydz

dx

v

x

v

x

x











)

(



.  Туынды 



тығыздықтың 

біртектілігін 

және 

жылдамдықтың 



х 

координатына  тәуелділігін  ескереді.  Осы  аралықта  ағып  өткен 

сұйық  мөлшері  екеуінің  айырмасына  тең,  яғни  х  осі  бойынша: 

dxdydz

v

x

x

)

(





.  Қалған  4  беттен  ағып  өтетін  сұйықтарды 

ескерсек, онда толық ағып өткен сұйық (уақыт бірлігінде): 

               

 

                 



(

)

(



)

(

)



(

)

.



x

y

z

v

v

v

dxdydz

x

y

z

v dxdydz















  



.   (1.61) 

 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



14-сурет 

 


 

28 


Толық  сығылатын  сұйықтық  бірлік  көлемнен  бірлік  уақытта 

ағып  өтетін  мөлшері 

)

v





-ға  тең.  Дивергенция  және 



шығындылық  деген атауы да осыдан. 

                                             

0

)

(









v

t



                       (1.62) 



 

–  үздіксіздік теңдеуі деп аталады. 

 

          



 

(

)



(

)

(



)

(

)



,

x

y

z

y

x

z

x

y

z

fv

fv

fv

fv

x

y

z

v

v

v

f

f

f

v

v

v

f

f

f

x

y

z

x

y

z

f

v

f

v



 










 


 

 








     

  

(1.63) 



 

мұндағы 


f

- скаляр, ал 



v

- векторлық функция.  



 

Дербес  жағдай.  Егер 

0







B



,  онда

B

  векторы 



соленоидты деп аталады. 

 

1.8. Ротор     

 

                  



z

y

x

z

y

x

x

y

z

v

i

v

v

j

v

v

y

z

z

x

i

j

k

k

v

v

x

y

x

y

z

v

v

v







 

























     (1.64) 

 

29 


 

–  пайда болған теңдеу 



v

 векторының роторы деп аталады. 



Анықтауышты  есептегенде  немесе  кез  келген  басқа 



операторымен  жұмыс  істегенде  оның  дифференциалдық 

табиғатын  ескеру  қажет.  Арнайы  ескертейік, 







v

-  жаңа 


диффренциалдық  оператор.  Жалпы  жағдайда 

v

v







Егер 



  векторды  скаляр  мен  векторға  векторлы  көбейтсек, 



онда 

                         

 

 


(

)

(



)

;

z



y

x

y

z

z

y

x

x

fv

i

fv

fv

y

z

v

v

f

f

i

f

v

f

v

y

y

z

z

f

v

f

v

























 


  

          

(1.65) 

 

y және z - компоненттері де осыған ұқсас. Сонда: 



 

                                

 

 


.

fv

f

v

f

v



    



                 (1.66) 

 

(1.66) теңдеуі (1.63) теңдеуінің көшірмесі. 



 

Мысалы:              

( )


( )

(

( ))



rf r

f r

r

f r

r





  

 



 

А) 

 

30 


                               

0.

i



j

k

r

x

y

z

x

y

z



 




 

 



 

Б)                           

r

d

df

r

r

f





0

)



(

 екендігін пайдаланып,  

 

                               



0

)

(



0







r

r

dr

df

r

f

r



,  



 

себебі 


r

r

r



0



0

0



0



r

r





v



  шамасы 



v

  вектор  өрісінің 



роторы  есептелетін  нүктедегі  айналуын  сипаттайды,  сондықтан   

rot   деп аталады. 

хy  жазықтығында  қатты  дене  z  осі  бойынша 



 

бұрыштық жылдамдықпен  айналады  дейік.  Онда қатты дененің    

нүктесінің 

V

 сызықтық жылдамдығы (



r

 – радиус-вектор): 

 

                                                 



V

r

 



 .                                 (1.67) 

 

Мұны 



r



   көбейтіндісін табу үшін қарастырайық: 



 

                                           

(

)

V



r

  



,                        (1.68)  

    

        


(

)

(



)

(

)



r

r

r

r

r







 


   

    

   (1.69) 

 

дифференциялдық оператор, сондықтан:         



                       

(

)



.

r

r

r

r

r



 




        

 (1.70) 

 


 

31 


const



  болғандықтан  (1.70)  теңдеуінің  2-ші  және  3-ші 

мүшелері нөлге тең. 

 

                                                      



3

r

 


                                 (1.71) 

 

 болғандықтан және 



 

           

(

)

(



)

(

)



.

x

y

z

x

y

z

r

ix

jy

kz

ix

jy

kz

x

y

ix

jy

kz

i

j

k

z







 















   (1.72) 



 

(1.71),  (1.72)  теңдеулерін (1.70) апарып қойсақ, онда 

 

                                       



(

)

2



V

r



  

 


                    (1.73) 

                                     

болады.  Яғни,    қатты  дененің  сызықтық  жылдамдығының 

роторы екі еселенген бұрыштық жылдамдығына тең. 

            Егер

                                                 



v



0



                                   (1.74) 

 

болса,  онда 



V

векторын құйынсыз деп атайды.  



Құйынсыз  векторларға,  мысал  ретінде,  гравитациялық 

және  электростатикалық күштерді жатқызуға болады. 

 

                                              



0

2

3



,

r

r

V

C

C

r

r

 


                        (1.75) 

 

мұндағы  С  –  тұрақты, 



0

r

  –  радиус-вектор  бағытындағы  бірлік 

вектор. 

 


 

32 


1.9. 



  операторын біртіндеп қолдану 

 

Градиент, дивергенция және ротор түсініктері   арқасында 



вектор, скаляр және олардың комбинациясын алуға болады. 

Енгізген  барлық  шамаларға   



    операторымен  әсер  етіп, 



,





 

,

,



,

(

)



V

V

V










 

   тәрізді  

өрнектер аламыз. 

Бұл  өрнектер 2-ші реттік  дифференциялдық теңдеулерге 

кіреді.         

 

2



2

2

2



2

2

2



(

)(

)



(

)

.



i

j

k

i

j

k

x

y

z

x

y

z

x

y

z











  













   



 

 



Градиенттің дивергенциясын – лапласиан деп атайды. 

Екінші өрнекті жазайық: 

                                   

,

i



j

k

x

y

z

x

y

z





 









                 (1.76)   

                                 

2

2

2



2

2

2



(

)

(



)

(

)



0.

i

y z

z y

j

k

z x

x z

x y

y x







 


 



 







 


 

 


 

 (1.77)         



 

33 


 

Мұнда  біз  дифференциялдау  ретін  өзгертуге  болады  деп 

есептедік.  Ал  ол  өз  кезегінде  тек 

-дің  бірінші  ретті  дербес 



туындылары үздіксіз болғанда ғана орынды.  

(1.77)  теңдеуінен   

0



grad



rot

екендігін  көрдік,  яғни 

градиент - құйынсыз вектор. 

Төртінші өрнек (аралас көбейтінді ретінде қарастырамыз):   

 

     


2

2

2



2

2

2



0,

x

y

z

y

y

x

x

z

z

x

y

z

V

x

y

z

V

V

V

V

V

V

V

V

V

x y

y z

z x

z y

x z

y x







  












 



 

 


 

 


 

  (1.78) 

 

яғни,                       



                                                 

0

V

 

                 (1.79) 



 

жоғарыдағы 

шарт 

 

орындалады 



десек  



,

0



)

(rot



div

ротор әрқашан соленоидты вектор.   

Соңғы өрнекті қарастырайық: 

                           

(

)

V



V

V

 


  

.            (1.80) 

 

Декарттық координаталар жүйесінде 



 

                      



x

y

z

V

i

V

j

V

k

V

      

 

 

– векторлық лапласиан. 



 

34 


(1.80)  өрнегі  электромагниттік  теорияда  қолданылады. 

Вакуум үшін Максвелл теңдеулері:    

       

0

0



)

0,

)



,

)

0,



)

,

a



B

в

B

t

б

г

t

 




  


 





  

  


     (1.81) 

 

мұндағы 


  –  электр  өрісі,     



В

  –  магнит  индукциясы, 



0

0



,



электрлік  және  магниттік  тұрақтылар. 



  векторын 

(1.81в) және (1.81 г) теңдеуінен анықтауға болады делік.  (1.81 г) 

теңдеуінің роторын есептейік: 

 

                    



(

)

t



t



       



         (1.82) 

 

(1.81в) теңдеуінен уақыт бойынша туынды алайық: 



 

                             

2

0

0



2

(

)



(

),

t



t

 


 


  

   



 



                          

2

0



0

2

(



)

,

t

 

 


   

                                (1.83)                                                                                                  



2

0

0



2

(

)



,

t

 


 

       

 

                                        



2

0

0



2

.

t

 

 


 

                            (1.84) 



 

Егер 


E

  векторын  декарттық  координаталарда  жазсақ, 



онда (1.84) теңдеуі 3 скаляр толқындық теңдеуге бөлінеді. 

 

 



 

35 



Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6   7   8   9




©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет