Векторлық алгебра негізгі түсініктер

 

ВЕКТОРЛЫҚ АЛГЕБРА 

 

                          1.1. Негізгі түсініктер 

 

Ғылым  мен  техникада  кездесетін  кейбір  шамалар  тек  сан 

мәнімен  ғана  сипатталады  (абсолют  шамасымен).  Мысалы,  

масса,  уақыт,  температура  және  т.  б.  Бұл  шамаларды  -    скаляр 

шамалар деп атайды. Ал кейбір шамалар сан мәнімен ғана емес, 

сонымен  қатар    бағытымен  де  сипатталады.  Мысалы: 

жылдамдық,  үдеу,  күш,  импульс  және  т.  б.  Бұл  шамалар  – 

векторлық шамалар. 

Бір қызығы, жоғарыда аталған барлық векторлық шамалар 

механикада  кездеседі.  Алайда  механиканың  дамуы  кезінде 

векторлық  анализ  тіпті  болмаған.  Векторлық  анализ  тек 

Максвелдің  электромагниттік  теориясынан  кейін  ғана  пайда 

болды.  Себебі,  электр  және  магнит  өрістерінің  табиғаты  – 

векторлық.  

Кез  келген  вектордың  ұзындығы  (вектордың  шамасына 

пропорционал)  мен  бағыты  болады.  Векторларды  қосу 

ережелері:   

                                                     

1)  Үш бұрыш ережесі: 

 

 

 

 

 

 

 

 

                            

 

1-сурет 

 

                                     

B

A

C











 .                                   (1.1)  

 

 

2 

2)  Параллелограмм ережесі:  

 

 

 

 

 

 

 

                      

 

 

 

2-сурет 

 

                                     

                                            

A

B

B

A

C



















.                         (1.2)  

 

 

Векторлар 

– 

координат 

жүйелеріне 

тәуелсіз 

геометриялық  объектілер.  Мысалы 

A

-векторы  (3-сурет). 

Координаттар жүйесінің басынан басталып, (х

1

,у

1

,z

1

)  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3-сурет 

нүктесінде  аяқталады. 

A



  –  импульс,  күш,  жылдамдық  болуы   

мүмкін.  Ал    координаттар  жүйесінің  басынан  (х,у,z)  нүктесіне  

 

3 

дейінгі  арақашықтықты  арнайы 

r



(радиус-вектор)  символымен 

белгілейді: 

 

                                                

1

1

1

( ,

, )

r

x y z



,                              (1.3)      

                                                                             

r – радиус-вектордың абсолют шамасы болсын. Демек,  

 

         

1

1

1

,

,

x

r cos

y

r cos

z

r cos







 

 

 

 .         (1.4) 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4-сурет 

 

 Мұндағы 

,

cos

cos





 

және 

cos





бағыттауыш 

косинустар  деп  аталады,  ал 





,

  және 

y

x,





  және 

z

 

осьтерінің  оң  бағыттары  мен 

r

-векторының  араларындағы 

бұрыш  (4-сурет). 

1

1

, y

x

  және 

1

z

  шамаларын 

r



    радиус 

 

4 

векторының  (декарттық)  компоненттері  немесе  проекциялары 

деп атайды. 

Кез келген 





 векторын компоненттерге жіктеуге болады:         

 

 

,

,

x

y

z

cos

A cos

cos







  

  

  

.         (1.5) 

 

Енді 

j

i





,

 және 



k



бірлік векторларын енгізейік. Олардың 

ұзындықтары  бірге  тең  және  бағыттары  x,y,z  осьтерімен 

бағыттас болсын. Онда, 

 

                                          

x

y

z

A

i

j

k

     

.                      (1.6) 

 

Егер 

0







  болса,  онда 

0













z

y

x

.  Пифагор 

теоремасы бойынша 





 векторының абсолют шамасы:    

 

2

2

2

z

y

x















. 

 

Бізге  

                                

z

y

x

k

j

i























  

және  

                                 

z

y

x

k

j

i























   

 

векторы берілсін,  онда        

 

     













x

x

y

y

z

z

i

j

k

       

   

  

.    (1.7)       

   

 

1.2. Координаталар жүйесінің бұрылуы 

 

r



 

радиус-векторды  пайдаланып,  вектордың  жаңа 

анықтамасын  берейік.  Оған  физикалық  себептер  бар.  Біз 

 

5 

математика  көмегімен  табиғатты  (өмірді)  сипаттаймыз, 

сондықтан физикалық  сипаттауымыз математикалық аппаратқа 

тәуелсіз  болуы  керек.  Егер  физикалық  теорияны  үй  деп 

қарастырсақ,  онда  математика  –  құрылыс  саймандары. 

Саймандарсыз  құрылыс  жүргізе  алмаймыз.  Құрылыс  бітіргенде 

саймандарды жинастырып қоямыз. 

Кеңістікті 

изотропты 

деп 

қарастырайық. 

Демек, 

зерттелетін  физикалық  жүйеміз  немесе  физикалық  заң 

координаталар  жүйесінің бағыттарына тәуелсіз.  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5-сурет 

r



  радиус-векторын  екі  жүйеде  қарастырайық.  х  және  у 

осьтерін   сағат    тілінің    бағытына    қарама-қарсы   бағытта  



 

бұрышына бұралық (5 сурет). Пайда болған осьтерді 

x



 және 

y



 

деп белгілейік. Сонда,    

 

      

cos

sin ,

sin

cos

x

x

y

y

x

y

















 



              (1.8) 

 

Егер 

y

x

y

x

j

i

j

i

































 онда,   

 

   

cos

sin ,

sin

cos

x

x

y

y

x

y













  

 

  

 

      (1.9) 

 

6 

 

–  координаталар  жүйесін  бұрған  кездегі    векторлық 

компоненттерінің түрлену заңы. Егер 

x



және 

y



  екі  өлшемді 

радиус-вектор компоненттері сияқты түрлендірілетін болса,  

онда олар 

A



 векторының компоненттері болады. Егер  

x



 және  

y



  басқаша  түрлендірілсе,  онда  бұлардан  вектор  құруға 

болмайды.  Түсінікті болу үшін (1.9) теңдеуіндегі 

x



және 

y



 

шамаларының   мағынасын  ізделік.   

A



   векторы  координаттар  

және кез келген .  C   векторының  компоненттерінің  функциясы 

болсын: 

 

       

)

,

,

,

(

y

x

x

x

C

C

y

x







 , 

( , ,

,

)

y

y

x

y

x y C C

  

.            (1.10)  

 

Бұрылған кездегісі: 

 

                                   

)

,

,

,

(

y

x

x

x

C

C

y

x















,   

  

                                   

( , ,

,

)

y

y

x

y

x y C C



    

  

.                          (1.11) 

 

(1.8)  теңдеуін  пайдаланып, 











y

x

C

C

y

x

,

,

,

  координаттарын 

бұрылмаған  координаттар  жүйесі  мен 



бұрышы  арқылы 

сипаттауға  болады.  Алайда    бұрышқа  тәуелділік  түсінік 

кеңістіктің изотроптылығына қайшы келеді.  Сондықтан бағытқа 

тәуелсіз функциялармен шектелейік.  Егер 



=0 болса, онда  

 

.

,

y

y

x

x













 

 

Мысалы: 

1.  Екі шама берілген (-у, х).  Екі өлшемді вектор құруға  

болатынын көрсетіңдер. 

Жүйені   



   бұрышына бұрғанда осы шамалардың түрле- 

 

7 

нуін қарастырайық. 

 

,

cos

sin

,

sin

cos









x

y

V

x

y

V

y

x















  

 

 мұндағы   

x

V

y

V

y

x







,

  (1.8)  теңдеуін    пайдаланып, 

y

V

x









  және 

x

V

y







  екенін  көреміз.  Яғни,  (1.9)  теңдеуін 

қанағаттандырады. Демек, (-у,х) жұбы вектор компоненттері. 

2.   

)

,

(

y

x

y

j

x

i

V















 қарастырайық. 

  

(1.9) теңдеуіне байланысты 

 

 

cos

sin

,

sin

cos

,

x

y

V

x

y

x V

x

y

y



























 

  

x

V

x



   

 

және 

y

V

y





, 

,

sin

cos ,

x

x

y

y

x

y

V

V cos

V sin

V

V

V





















    

 





,

,

x

y





вектор  бола  алмайды.  Осы  теңдіктерді  басқа  түрде 

жазайық: 

 

                     

1

11

12

2

21

22

,

cos ,

sin ,

,

sin ,

cos

x

x

a

a

y

x

a

a

















 



            (1.12) 

 

(1.9) теңдеуі: 

 

                       

1

11 1

12 2

2

21 1

22 2

,

x

a x

a x

x

a x

a x













           (1.13) 

 

ij

a

  коэффициенттерін  бағыттаушы  косинустар  деп  қарастыруға 

болады 

i

x



(

 және 

j

x

 араларындағы бұрыш): 

 

 

8 

12

1

2

21

2

1

cos( ,

)

sin ,

cos(

,

)

cos(

)

sin .

2

a

x x

a

x x























 

 

 

(1.13) теңдеуін қысқаша былай жазуға болады: 

 

                         











2

1

.

2

,

1

,

j

j

ij

i

i

x

a

x

               (1.14) 

 

Енді  осы  айтылғандарды  3,4  және  одан  көп  өлшемдер 

үшін  оңай  жазуға  болады.  N  –  өлшемі   

V



  векторының 

)

,...,

1

(

N

j

V

j



  компоненттерімен  анықталады,  егер  осы 

шамалар басқа (бұрылған) жүйеде мына теңдеумен  берілсе: 

 

                      

1

,

1, 2,...,

,

N

i

ij

j

j

V

a V

i

N









      (1.15) 

 

мұндағы 

i

ij

x

a





 және 

j

x

 араларындағы бұрыш. 

ij

a

 

коэффициентінің 

анықтамасынан 

декарттық 

координаттарда былай жазуға болады: 

 

                                   

j

i

ij

j

i

x

x

a

x

x

















 .                          (1.16) 

 

Бұл  дербес  туындылар.  (1.16)  теңдеуін  (1.15)  теңдеуіне 

қоялық: 

 

                                         

1

1

N

N

j

i

i

j

j

j

j

j

i

x

x

V

V

V

x

x

























 .             (1.17) 

 

9 

 

Бағыттауышы  косинустар 

ij

a

 

ортогоналдық  шарттарын 

қанағаттандырады, 

 

                                      

ij

ik

jk

i

a a







,                          (1.18) 

 

немесе 

                                      

ji

ki

jk

i

a a







.                          (1.19) 

 

Мұндағы 



jk



Кронекер символы, 

 

                           

1,

,

0,

.

jk

егер

j k

егер

j k







 





                      (1.20) 

 

ij

a

  мәндерін  (1.12)  теңдеуінен  (1.18)  және  (1.19) 

теңдеулеріне қойсақ, онда белгілі теңдеуді аламыз: 

 

2

2

1

sin

cos









 

(1.18)  теңдеуінің  дұрыстығына  көз  жеткізу  үшін  (1.16)  

өрнегін пайдаланалық: 

 

                       

j

j

j

k

i

i

i

i

i

i

k

k

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x









































.          (1.21) 

 

Қорытынды.  Вектордың    компоненттерін  түрлендіру 

заңдарының жаңа анықтамасынан 2 жайт шығады: 

1.  Әртүрлі      физикалық      құбылыстарды     сипаттауға 

қолайлы; 

2.  Математиканың   жаңа    бөлімі – тензорлық    талдауға  

көшуге мүмкіндік береді. 

 

 

10 

1.3. 

Скаляр көбейтінді 

 

Векторлардың  математикалық  көбейту  заңдары  бір-біріне 

қайшы  келмеуі  керек.  Барлық  мүмкін  болатын  анықтамалар 

ішінен  физикаға  және  математикаға  қатысты  қажетті  екі 

анықтаманы таңдалық. Үшінші тарауда басқа анықтама беріледі. 

A B cos



 

  көбейтіндісі  физикада  жиі кездеседі.  

Мұндағы,  А,  В  –  екі  вектордың  абсолют  шамалары, 





олардың арасындағы бұрыш. 

Мысалы:  жұмыс =күш



жол



.

cos



 

Скаляр  көбейтіндіні  анықтайық    (

A



  және 





-векторы 

үшін): 

 

             





















i

i

i

z

z

y

y

x

x

B

A

B

A

B

A





.      (1.22) 

 

(1.22)  



   























. 

 

 Бірлік векторлар үшін: 

 

                                 

1













k

k

j

j

i

i













,                  (1.22а) 

 

                

0

i j

i k

j i

j k

k i

k j

           

. (1.22б) 

 

Егер осьтерді қайта бағыттап, х осін 

A



 векторы бойынша  

бағыттасақ,  онда 

0

,









z

y

x

A

A

A

  және   

.

x

B

B cos



 

 

(1.22)  



  

 

11 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                  

 

 

 

6-сурет 

 

 

                                      

B cos



   

                     (1.23)  

 

Егер 

0













 және 

0

,

0





B

A





 болса, онда (1.22) 



 

0

0

270

,

90





 және т.с.                                                       

Басқаша айтқанда, 

A



 және 





– ортогонал векторлар. 

j

i





,

  

және 

k



 векторлары да өзара ортогонал.  

 

12 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7-сурет 

 

Ортогоналдық  түсінігін  жалғастыралық. 



n



  бірлік  векторы 

болсын,  ал 

y

j

x

i

r











  –  нөлдік  емес,  ху  жазықтығында 

жататын  вектор.  Егер   

0





r

n





  болса,  онда  мұндағы   

r



  –

кезкелген  вектор,  онда   

n



  векторы    ху  жазықтығына 

перпендикуляр (7-сурет) 

Енді  скаляр көбейтіндінің скаляр шама екенін дәлелдейік. 

Ол үшін 











 көбейтіндісін координаттар жүйесін бұру арқылы 

зерттейік. (1.15) теңдеуінің арқасында:   

 

     

x

x

y

y

z

z

xi

i

xj

j

yi

i

yj

j

zi

i

zj

j

i

j

i

j

i

j

a A

a B

a A

a B

a A

a B













        



















 (1.24) 

 

13 

k  және l индекстерін пайдаланып, қысқаша жазалық: 

 

             

k

k

li

i

lj

j

k

l

i

j

A B

a A a B

  







                                  (1.25)      

   

             

(

)

li

lj

i

j

ij

i

j

i

i

i

j

l

i

j

i

a a A B

A B

A B















     (1.26) 

 

Сонымен           

                                       

k

k

i

i

k

i

A B

A B

  





.                   (1.27)   

  

Скаляр шама, координаттар жүйесін бұруға инвариантты. 

B

A

C











 

векторының 

өз-өзіне 

көбейтіндісін 

қарастырайық: 

 

        

(

) (

)

2

C C

A B

A B

A

A

 







     



,  (1.28) 

 

                                       

2

C C

C

 

,                                 (1.29) 

 

                         

2

2

2

1

(

)

2

C

A

B

 





.                  (1.30) 

 











  -  координаттар  жүйені  бұруға    инвариантты,  себебі 

(1.30) теңдеуінің оң жағы скаляр шама. 

(1.28) теңдеуін қайта,  басқа түрде жазалық: 

 

                              

2

2

2

2

C

A

B

A B cos









 

            (1.31) 

 

 

косинустар  заңы.  (1.28)  және  (1.31)  теңдеуін  салыстырып,  

косинустар заңының векторлық табиғатын байқаймыз (8-сурет). 

 

 

14 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8-сурет