3 Жай сандар 1 анықтама. Егер p натурал саны 1-ден үлкен болса және 1 мен p –дан өзге оң бөлгіштері болмаса, онда p натурал саны жай сан деп аталады.
2 анықтама. Егер n натурал саны 1-ден үлкен болса және 1 мен n –нен өзге ең болмағанда бір оң бөлгіші бар болса, онда n натурал саны құрама сан деп аталады.
1 жай сан да, құрама сан да емес.
Натурал қатардағы алғашқы жай сандар: 2, 3, 5, 7, 11, 13, … Жай сандардың арасында жалғыз жұп сан – 2.
Сонымен натурал сандар жиынының 3 ішкі жиыны бар: жай сандар, құрама сандар, 1 саны.
Жай сандардың қасиеттері: Егер p жай саны қандай да бір n 1 натурал санға бөлінсе, онда p=n .
Дәлелдеуі: p n болсын p санының үш бөлгіші болушы еді: 1, p, n.
Берілгені бойынша p жай сан, ендеше бұлай болуы мүмкін емес.
2. Егер p1мен p2 –әртүрлі жай сандар болса, онда p2 саны p1 ге бөлінбейді.
Дәлелдеуі: p2 – жай сан, онда p2-нің бөлгіштері 1 және p2 өзі болады. Шарт бойынша p2 p1 , ал анықтама бойынша p1 1. Демек p2 саны p1 ге бөлінбейді.
3. Егер n N сан, ал p – жай сан болса, онда n саны p –ға бөлінеді немесе n мен p өзара жай болады.
Дәлелдеуі: (p, n)= d болсын p- жай сано d= 1 немесе d = p, d = 1 (d, n) 1; d = p n d, т.е. n p
Егер екі немесе бірнеше натурал сандардың көбейтіндісі p жай санға бөлінсе, онда көбейткіштердің кемінде біреуі p – ға бөлінеді.
Яғни ab p a p b p
Дәлелдеуі: егер a p – онда теореманың шарты тура болады, ал егер
саны a p-ға бөлінбесе (a, p) = 1 ab p b p
