Геометрия. 11 класс. Многообразие идей и методов : по- собие для учащихся общеобразоват учреждений с белорус и рус яз обучения / Н. М. Рогановский, Е. Н

Доказательства.
1. Дадим радиусу R (рис. 146) прираще
ние
D
R. Нормальным слоем будет тело, ог
раниченное двумя сферами с радиусами R
и R
+ D
R. Тогда площадь сферы есть число,
к которому стемится отношение
D
D
V
R
при
D
R
®
0. Но это отношение стремится к V
¢
(R).
Поэтому S
=
V
¢
(R)
=
(
4
3
p
R
3
)
¢=
4
p
R
2
.
2. Дадим радиусу R (рис. 147) прираще
ние
D
R. Тогда сферический сегмент покро
ется нормальным слоем толщиной
D
R. Объ
ем этого слоя обозначим через
D
V. Величину
D
V можно рассматривать
как приращение объема шарового сектора AОВ. Тогда отношение
D
D
V
R
при
D
R
®
0 стремится к производной от объема V(R) этого шарового
сектора. Имеем: S
=
V
¢
(R). Осталось найти V
¢
(R). Учтя, что
H
=
R – R cos
a =
R (1 – cos
a
), найдем объем сектора:
(
)
V
R H
R
=
=
-
2
3
2
3
1
2
3
p
p
a
cos
.
Тогда
( )
(
)
(
)
(
)
¢
=
-
¢ =
-
=
-
V R
R
R
R
2
3
1
2
3
1
3
2
1
3
2
2
p
a
p
a
p
a
cos
(
)
cos
cos
.
Заменив R(1 – cos
a
) на H, получим S
=
V
¢
(R)
=
2
p
RH.
—
126
—
Рис. 147
Рис. 146
© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»

3. Площадь сферического пояса получим как разность площадей
двух сферических сегментов с высотами H
1
и H
2
(рис. 148):
S
=
2
p
RH
1
– 2
p
RH
2
=
2
p
R(H
1
– H
2
)
=
2
p
RH.
12.2. Примеры решения задач
Задача 1
(128, а, рис. 149).
Замысел решения. Так как S
сферы
=
4
p
R
2
,
то решение задачи сводится к нахожде
нию радиуса R сферы.
Решение.
1) Пусть
D
АРВ — осевое сечение конуса.
Точка О — центр вписанной сферы — являет
ся центром окружности, вписанной в
D
АРВ,
и, значит, является точкой пересечения бис
сектрис
D
АРВ, ОО
1
=
R — радиус вписанной
сферы,
Ð
АРО
1
= a
,
Ð
ОАО
1
=
45
°
–
a
2
;
2) имеем:
p
a
p
AO AP
Q
AO
AP
APO
AP
Q
1
1
×
=
=
ü
ý
þ
Þ
=
(по условию),
(в
)
si
1
sin
D
n
a
;
3) поэтому
AO
AP
APO
AP
Q
AO
Q
1
1
=
=
ü
ý
ï
þï
Þ
=
×
=
sin
sin
a
p
a
p
a
a
(в
),
sin
sin
1
D
Qsin
a
p
;
—
127
—
P
O
O
А
В
α
R
1
Рис. 149
H
H
H
O
1
2
Рис. 148
© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»

4) тогда R
=
OO
1
=
AO
Q
1
45
2
45
2
tg
tg
°-
æ
èç
ö
ø÷
=
×
°-
æ
èç
ö
ø÷
a
a
p
a
sin
;
5) искомая площадь сферы S
сферы
=
4
p
R
2
=
4
p ×
Q sin
a
p
×
tg
2
45
2
°-
æ
èç
ö
ø÷
a =
=
°-
æ
èç
ö
ø÷
4
45
2
2
Q sin tg
a
a
.
Ответ:
S
сферы
=
4
45
2
2
Q sin tg
a
a
°-
æ
èç
ö
ø÷
.
Задача 2
(129, а, рис. 150).
Замысел решения. Часть земной поверх
ности, обозреваемой космонавтом, пред
ставляет собой сферический сегмент. Пло
щадь сферического сегмента находится по
формуле: S
сег
=
2
p
RН. Радиус сферы дан (R
=
=
6370 км), остается найти высоту Н сфери
ческого сегмента (на рисунке высотой сфе
рического сегмента является отрезок NP).
План решения. 1) OK
=
ON
+
KN
=
6370
+
+ 1060
=
7430 (км);
2)
D
OKB — прямоугольный;
3) KB
=
OK
OB
2
2
2
2
7430
6370
-
=
-
=
… ;
4) по формуле высоты, проведенной к гипотенузе прямоугольного
треугольника,
PB
=
OB KB
OK
×
=
-
=
6370 7430
6370
7430
2
2
… ;
5) KP
=
… ;
6) H
=
NP
=
KP – KN
=
… ;
7) S
сег
=
2
p
RН
=
2
p ×
6370
×
H
=
… .
(Завершите решение задачи.)
—
128
—
ü
N
K
B
R
O
А
P
Рис. 150
© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ
РАБОТЫ
Тема 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
§ 1. Движение. Преобразование подобия. Их общие свойства
1. а) При преобразовании пространства каждая точка A(х; у; z) пере
ходит в точку A
1
(х; у; –z). Является ли это преобразование движением?
Постройте точки A и A
1
. Какую закономерность в их расположении вы
заметили?
б) При преобразовании пространства каждая точка A(х; у; z) перехо
дит в точку A
1
(х; у;
1
2
z). Является ли это преобразование движением?
в) При преобразовании пространства каждая точка A(х; у; z) перехо
дит в точку A
1
(х
+
a; у
+
b; z
+
c). Является ли это преобразование движе
нием?
г) При преобразовании пространства каждая точка A(х; у; z) перехо
дит в точку A
1
(х; у; z
+
2). Является ли это преобразование движением?
2. а) Являются ли преобразования, данные в задачах 1, а—г, преоб
разованиями подобия?
б) При преобразовании пространства каждая точка A(х; у; z) перехо
дит в точку A
1
(kх; kу; kz). Является ли это преобразование преобразова
нием подобия?
3. а) Пусть точки A, B и С принадлежат плоскости
a
и не лежат на
одной прямой. При движении эти точки переходят соответственно
в точки A
1
, В
1
и С
1
. Возьмите на плоскости
a
некоторую точку Х и по
стройте ее образ в этом движении.
б) Составьте и решите задачу, аналогичную задаче 3, а, для преобра
зования подобия.
4. а) Из планиметрии известна симметрия относительно прямой
(осевая симметрия). Нельзя ли определить аналогичное преобразова
ние в пространстве?
—
129
—
© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»

б) Из планиметрии известна симметрия относительно точки (цен
тральная симметрия). Нельзя ли определить аналогичное преобразо
вание пространства?
5. а) В какие прямые переходят при движении две параллельные,
две пересекающиеся, две скрещивающиеся прямые?
б) Составьте и решите задачу, аналогичную задаче 5, а, для преобра
зования подобия.
в) Сохраняет ли движение (преобразование подобия) перпендику
лярность двух прямых, параллельность прямой и плоскости, перпен
дикулярность прямой и плоскости, параллельность двух плоскостей,
перпендикулярность двух плоскостей?
г) Сохраняет ли движение (преобразование подобия) величину
угла между: 1) пересекающимися прямыми; 2) скрещивающимися пря
мыми; 3) прямой и плоскостью; 4) двумя плоскостями?
д) Сохраняет ли движение (преобразование подобия) расстояние
между: 1) двумя параллельными прямыми; 2) точкой и плоскостью;
3) параллельными прямой и плоскостью; 4) двумя скрещивающимися
прямыми?
6. а) При преобразовании пространства каждая точка A(х; у; z) пере
ходит в точку A
1
(х; у; z
+
3). Является ли это преобразование движени
ем? Будет ли оно переводить прямые в прямые? Постройте образ пря
мой ВС, задаваемой точками B(1; 2; 3) и С(–1; –2; –3).
б) Если при преобразовании некоторая точка переходит сама в себя,
то она называется неподвижной точкой этого преобразования. В усло
виях предыдущей задачи выясните, имеются ли в данном преобразова
нии неподвижные точки. В какую прямую переходит в этом преобразо
вании ось аппликат?
в) В условиях задачи 6, а выясните, будет ли данное преобразование
переводить плоскость в плоскость. Постройте образ плоскости MNP,
задаваемой точками M(4; 0; 0), N(0; 3; 0), P(0; 0; 2). Запишите уравне
ния плоскости MNP и ее образа в данном преобразовании.
г) Будет ли преобразование, данное в задаче 6, а, переводить сферу
в сферу? Запишите уравнение образа сферы (x – 2)
2
+
(y – 3)
2
+
(z – 5)
2
=
36.
д) Пусть A
Îa
— данные точка и плоскость, А
1
и
a
1
— их образы в не
котором движении (они тоже являются данными). Через точку А про
ведена прямая а, перпендикулярная плоскости
a
. Как будет распола
гаться образ прямой а относительно плоскости
a
1
?
е) Составьте и решите задачу, аналогичную предыдущей, для преоб
разования подобия.
—
130
—
© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»

ж) Пусть в некотором движении все точки какойлибо плоскости
остаются неподвижными. Докажите, что прямая, перпендикулярная
этой плоскости, в данном движении переходит сама в себя.
з) Докажите, что если при движении две точки прямой остаются не
подвижными, то каждая точка этой прямой является неподвижной.

жүктеу/скачать 9,35 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: