§ 2. Виды движений: симметрия относительно плоскости

ные прямые (плоскости)». Можно ли эту теорему сформулировать так:
«Центральная симметрия и параллельный перенос сохраняют парал
лельность прямых (плоскостей)»?
9. а) Имеются ли неподвижные точки при симметрии относительно
плоскости? Какую фигуру они образуют?
б) Если при преобразовании прямая переходит сама в себя (при
этом ее точки не обязательно являются неподвижными), то она назы
вается инвариантной прямой этого преобразования. Имеются ли инва
риантные прямые при симметрии относительно плоскости? Как они
располагаются относительно плоскости симметрии?
в) Если при преобразовании точка А переходит в точку A
1
, а точка
A
1
— в точку A (для любой точки А), то такое преобразование называет
ся инволюцией. Является ли инволюцией симметрия относительно
плоскости?
10. а) Даны две прямые (плоскости), симметричные относительно
некоторой плоскости. Как они могут располагаться по отношению друг
к другу?
б) Докажите, что если две прямые (плоскости) симметричны отно
сительно некоторой плоскости и пересекаются, то точка (прямая) пе
ресечения лежит на плоскости симметрии.
в) Докажите, что две точки имеют лишь одну плоскость симметрии.
г) Докажите, что каждая точка, лежащая на плоскости симметрии
двух данных точек, равноудалена от этих точек.
д) Докажите обратное предыдущему: если точка равноудалена от
двух данных точек, то она лежит на плоскости симметрии этих точек.
е) Если некоторая фигура при симметрии относительно плоскости
переходит сама в себя, то говорят, что эта фигура имеет плоскость сим
метрии. Сколько плоскостей симметрии имеет куб? Имеет ли плоско
сти симметрии правильный тетраэдр?
11. а) Можно ли составить задачи, аналогичные задачам 9, а—в, для
центральной симметрии?
б) Если при центральной симметрии некоторая фигура переходит
сама в себя, то она называется центральносимметричной. Является ли
параллелепипед центральносимметричной фигурой?
в) Может ли ограниченная фигура иметь два центра (две плоско
сти) симметрии?
г) Докажите, что середина любого отрезка, соединяющего точки двух
параллельных плоскостей, есть центр симметрии этих плоскостей.
—
132
—
© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»

д) Найдите геометрическое место центров симметрии двух парал
лельных плоскостей.
е) Можно ли утверждать, что геометрическое место центров сим
метрии двух параллельных плоскостей есть плоскость симметрии этих
плоскостей?
12. а) Пусть
b ^ a
. Докажите, что плоскость
b
при симметрии отно
сительно плоскости
a
переходит сама в себя:
a
(
b
)
= b
.
б) Докажите, что прямая а, перпендикулярная плоскости
a
, при
симметрии относительно плоскости
a
переходит сама в себя: а
^ a Þ
Þ a
(а)
=
а.
в) 1) Докажите, что если при движении две пересекающиеся пря
мые переходят каждая сама в себя, то плоскость, проходящая через эти
прямые, также переходит сама в себя.
2) Пользуясь этим утверждением, докажите, что плоскость, прохо
дящая через центр симметрии, при центральной симметрии с этим цен
тром переходит сама в себя.
г) При последовательном выполнении двух центральных симмет
рий с центрами О
1
и О
2
прямая а переходит в прямую а
1
. Докажите, что
a || a
1
.
д) Пользуясь симметрией относительно плоскости, докажите, что
если одна из параллельных прямых перпендикулярна плоскости сим
метрии, то ей перпендикулярна и вторая прямая.
е) Пользуясь симметрией относительно плоскости, докажите, что
если одна из параллельных плоскостей перпендикулярна плоскости
симметрии, то ей перпендикулярна и другая плоскость.
ж) Прямая а проходит через центр симметрии и перпендикулярна
некоторой плоскости
a
. Докажите, что прямая а перпендикулярна об
разу плоскости
a
в данной центральной симметрии.
з) Докажите, что если плоскость
a
проходит через центр симметрии
и перпендикулярна некоторой плоскости
b
, то плоскость
a
перпенди
кулярна образу плоскости
b
в данной центральной симметрии.
и) Пусть a,
a
и
b
— данные прямая и плоскости. На прямой а по
стройте точку X, которая при симметрии относительно плоскости
a
пе
реходит в точку, принадлежащую плоскости
b
.
к) Даны точки A, A
1
и прямая а. На прямой а постройте точку X, рав
ноудаленную от точек А и A
1
.
л) При последовательном выполнении двух центральных симмет
рий с центрами O
1
и О
2
плоскость
a
переходит в плоскость
a
1
. Докажи
те, что
a
||
a
1
.
—
133
—
© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»

жүктеу/скачать 9,35 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: