9 дәріс. Үзіліссіз кездейсоқ шамалар және олрадың сипаттамалары.
Кездейсоқ шаманың үлестіру функциясы және үлестіру тығыздығы
Үлестіру функциясының қасиеттері
Ықтималдықтар үлестіруінің тығыздығы
Кездейсоқ шаманың үлестіру функциясы
және үлестіру тығыздығы
Кездейсоқ шамаларды қарастырғанымызда дискретті және үздіксіз шамалардың болатынын айттық. Дискретті кездейсоқ шаманы оның барлық мәніне сәйкес ықтималдықтарымен берілген таблица арқылы көрсеттік, ал мұндай таблицаны үздіксіз кездейсоқ шама үшін құра алмаймыз. Сондықтан осыған байланысты үздіксіз кездейсоқ шамалар үлестіруін сипаттайтын заңды іздестіруге тура келеді. Әрине әрі дискретті, әрі үздіксіз кездейсоқ шамаларды сипаттайтын кейбір универсал үлестіру заңын табу қолайлы болар еді.
Кездейсоқ шама үздіксіз болғанда мәндеріндегі оқиғалар ұғымын пайдаланбайды, мұның орнына теңсіздігін алады. Мұндағы х-айнымалы шама. Бұл теңсіздікті, кездейсоқ шама х-тен кіші болатын барлық мүмкін мәндерді қабылдайды деп аталады, яғни . Сөйтіп, оның ықтималдығын түрінде жазады. Сондықтан бұл ықтималдық х-тің кейбір функциясы болады, оны деп белгілесек, онда немесе
(1)
болады. Бұл функцияны үлестіру функциясы немесе үлестірудің интегралдық функциясы деп атаймыз.
Х дискретті кездейсоқ шама болса, онда ол шекті немесе санамалы шексіз мәнді қабылдайды және оның әрбір мәніндегі ықтималдық болады. Сондықтан
Үлестіру функциясының қасиеттері
1. х-тің әрбір мәнінде болады.
Д/уі: дейік. Ал болғандықтан, болады.
2. Кездейсоқ шама Х-тің үлестіру функциясы аргументтің теріс емес, кемімейтін функциясы болады, яғни болғанда, болады.
Д/уі: болса, . Мұнда және оқиғалары үйлесімсіз. Олай болса,
.
Бұдан
Демек, .
3. аралығындағы мәндерді қабылдайтын кездейсоқ шама Х-тің ықтималдығы осы интервалдағы функциясының өсімшесіне тең, яғни
.
4. функциясы аралығының кез келген нүктесінде сол жағынан үздіксіз, яғни
.
5. Егер Х кездейсоқ шамасы аралығындағы барлық мәндерді қабылдаса, онда х-тің а-дан кіші барлық мәндерінде , ал мәндерінде .
Д/уі: болса, онда мүмкін емес оқиға болады, олай болса, . Егер болса, онда ақиқат оқиға, демек, .
6. Егер кездейсоқ шама аралығындағы кез келген мәнді қабылдаса, онда болады.
7. Үздіксіз шаманың әрбір жеке мәніндегі ықтималдығы нөльге тең, яғни .
Мұны пайдаланып мынаны жазуға болады:
.
Достарыңызбен бөлісу: |
