Правило исключения интервалов.
Пусть функция
f(x)
унимодальна
на отрезке [
a, b
], а ее минимум достигается в точке
х
*
. Рассмотрим точки
х
1
и
х
2
, расположенные
a
х
1
х
2
b
.
Если
f
(
x
1
)
f
(
x
2
), то точка минимума
f(x)
не лежит в интервале (
а, x
1
).
Если
f
(
x
1
)
f
(
x
2
), то точка минимума
f(x)
не лежит в интервале (
b, x
2
).
Это правило позволяет реализовать процедуру поиска путем после-
довательного исключения частей исходного ограниченного интервала. По-
иск завершается тогда, когда оставшийся подынтервал уменьшается до до-
статочно малых размеров.
Сущность метода полиноминальной аппроксимации заключается в
том, что непрерывную функцию в некотором интервале можно аппрокси-
мировать полиномом достаточно высокого порядка. Следовательно, если
функция унимодальна и найден полином, который достаточно точно ее ап-
проксимирует, то координаты точки оптимума функции можно оценить
путем вычисления координаты точки оптимума полинома.
Методы с использованием анализа производных заключаются в сле-
дующем: необходимыми условиями того, что точка
х
*
является точкой ло-
кального минимума (максимума) дважды дифференцируемой функции
f(x)
на интервале (
a, b
), являются следующие отношения:
(4.4)
Условия (4.4) являются необходимыми,
но недостаточными, так как они характерны
не только для точек оптимума, но и для то-
чек перегиба (рис. 4.7).
Пусть в точке
х
* первые (
n
− 1) произ-
водные функции обращаются в нуль, а про-
изводные порядка
п
отличаются от нуля.
Рис. 4.7. Функция с точкой
перегиба
Электронный
архив
УГЛТУ
96
Если
n
– нечетное, то
х
* – точка перегиба.
Если
n
– четное, то
х
* – точка локального оптимума, причем если
производная положительна, то
х
* – точка локального минимума, если
отрицательна, то
х
* – точка локального максимума.
Пусть имеется функция, определенная на всей действительной оси:
Первая производная этой функции
Корни этого уравнения (стационарные точки)
Вторая производная функции
Значения функции и ее второй производной в стационарных точках
даны в табл. 4.3.
Таблица 4.3
Функция и ее производные
х
f(x)
f(x)/dx
2
1
2
3
4
36
27,4
44
5,5
0
60
-120
540
Из приведенного решения следует, что
х
= 1,3 – точка локального
минимума,
х
= 2 – точка локального максимума.
Для идентифицирования точки
х
= 0 необходимо взять третью про-
изводную:
Так как третья производная в точке
х
= 0 отлична от нуля и имеет
нечетный порядок, точка
х
= 0 является не точкой оптимума, а точкой
перегиба. Следовательно, глобальный минимум функции
f
Г
min
= 5,5, гло-
бальный максимум
f
Г
max
= 44.
Если функция имеет ограничения в интервале [
а, b
], то определяются
также значения этой функции на границах этих интервалов.
Электронный
архив
УГЛТУ
97
Несмотря на то, что безусловная оптимизация функции одной пере-
менной – это наиболее простой тип оптимизационных задач, она занимает
центральное место в теории оптимизации как с теоретической, так и с
практической точек зрения. Это связано с тем, что задачи однопараметри-
ческой оптимизации достаточно часто встречаются в инженерной практике
и, кроме того, находят свое применение при реализации более сложных
итеративных процедур многопараметрической оптимизации.
Достарыңызбен бөлісу: |