Решение уравнений в целых числах
жүктеу/скачать 100,62 Kb.
|
aksanova ii. olimpiadnye zadaniya.reshenie uravneniy v tselyh chislah
| 3. Метод остатков.
Этот метод основан на исследовании возможных остатков левой и правой частей уравнения от деления на некоторое фиксированное натуральное число. Замечание. Говоря строго математическим языком, для решения уравнения в данном случае применяется теория сравнений. Рассмотрим примеры, которые раскрывают сущность данного метода. Пример 3.1. Решить уравнение в целых числах x3 + y3 = 3333333; Так как x3 и y3 при делении на 9 могут давать только остатки 0, 1 и 8 (смотрите таблицу в приложении 1), то x3 + y3 может давать только остатки 0, 1, 2, 7 и 8. Но число 3333333 при делении на 9 даёт остаток 3. Поэтому исходное уравнение не имеет решений в целых числах. Ответ: целочисленных решений нет. Пример 3.2. Решить уравнение в целых числах x3 + y3 = 4(x2y + xy2 + 1). Перепишем исходное уравнение в виде (x + y)3 = 7(x2y + xy2) + 4. Так как кубы целых чисел при делении на 7 дают остатки 0, 1 и 6, но не 4, то уравнение не имеет решений в целых числах. Ответ: целочисленных решений нет. Пример 3.3. Решить в целых числах уравнение x2 + 1 = 3y. Решение. Заметим, что правая часть уравнения делится на 3 при любом целом y. Исследуем какие остатки может иметь при делении на три левая часть этого уравнения.По теореме о делении с остатком целое число х либо делится на 3, либо при делении на три в остатке дает 1 или 2. Если х = 3k, то правая часть уравнения на 3 не делится. Если х = 3k+1, то x2 + 1= (3k+1)2+1=3m+2, следовательно, опять левая часть на 3 не делится. Если х = 3k+2, то x2 + 1= (3k+2)2+1=3m+2, следовательно, и в этом случае левая часть уравнения на три не делится. Таким образом, мы получили, что ни при каких целых х левая часть уравнения на 3 не делится, при том, что левая часть уравнения делится на три при любых значениях переменной y. Следовательно, уравнение в целых числах решений не имеет. Ответ: целочисленных решений нет. Пример 3.4. Решить в целых числах x³ - 3y³ - 9z³ = 0 (1) Решение. Очевидно, что решением уравнения будет тройка чисел (0; 0; 0). Выясним, имеет ли уравнение другие решения. Для этого преобразуем уравнение (1) к виду x³ = 3y³ + 9z³ (2) Так как правая часть полученного уравнения делится на 3, то и левая должна делиться на три, следовательно, так как 3 - число простое, х делится на 3, т.е. х = 3k, подставим это выражение в уравнение (2), получим: 27k3 = 3y³ + 9z³, откуда 9k3 = y³ + 3z³ (3) следовательно, y³ делится на 3 и y = 3m. Подставим полученное выражение в уравнение (3): 9k3 = 27m³ + 3z³, откуда 3k3 = 9m³ + z³ (4) В свою очередь, из этого уравнения следует, что z3 делится на 3, и z = 3n. Подставив это выражение в (4), получим, что k3 должно делиться на 3. Итак, оказалось, что числа, удовлетворяющие первоначальному уравнению, кратны трём, и сколько раз мы не делили бы их на 3, опять должны получаться числа, кратные трём. Единственное целое число, удовлетворяющее этому условию, будет нуль, т. е. решение данного уравнения (0; 0; 0) является единственным. Ответ: (0;0;0). жүктеу/скачать 100,62 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|