Решение уравнений в целых числах

Решение уравнений в целых числах сведением их к квадратным

жүктеу/скачать 100,62 Kb. бет 4/6 Дата 21.12.2022 өлшемі 100,62 Kb. #163701 түрі Решение

4. Решение уравнений в целых числах сведением их к квадратным. Пример 4.1. Решить в простых числах уравнение х2 – 7х – 144 = у2 – 25у. Решим данное уравнение как квадратное относительно переменной у. Получим: у = х + 9 или у = 16 – х. Поскольку при нечётном х число х + 9 является чётным, то единственной парой простых чисел, которая удовлетворяет первому равенству, является (2; 11). Так как х, у – простые, то из равенства у = 16 – х, имеем 2 < х < 16, 2 < у < 16. С помощью перебора вариантов находим остальные решения: (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3). Ответ: (2; 11), (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3). Пример 4.2. Решить в целых числах уравнение x + y = x2 – xy + y2.  Рассмотрим данное уравнение как квадратное уравнение относительно x: x2 – (y + 1)x + y2 – y = 0. Дискриминант этого уравнения равен –3y2 + 6y + 1. Он положителен лишь для следующих значений у: 0, 1, 2. Для каждого из этих значений из исходного уравнения получаем квадратное уравнение относительно х, которое легко решается. Ответ: (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 2), (2; 1), (2; 2). Пример 4.3. Решить уравнение в целых числах: 5х2+5у2+8ху+2у-2х+2=0. Решение: Рассмотрим уравнение как квадратное относительно х: 5х2 + (8у - 2)х + 5у2 + 2у + 2 = 0 D = (8у - 2)2 - 4·5(5у2 + 2у + 2) = 64у2 - 32у + 4 = -100у2 - 40у – 40 = = -36(у2 + 2у + 1) = -36(у + 1)2 Для того, чтобы уравнение имело решения, необходимо, чтобы D = 0. -36(у + 1)2 = 0. Это возможно при у = -1, тогда х = 1. Ответ: (1;-1). жүктеу/скачать 100,62 Kb. Достарыңызбен бөлісу: