Дәріс№2.
Жиындардың декарттық көбейтіндісі және оның қасиеттері. Жиындар алгебрасының негізгі заңдары.
х1...хn n элементтен тұратын реттелген тізбекті (x1,x2,…,xn) немесе 1,x2,…,xn> деп белгілеуге болады. Мұндағы дөңгелек, бұрышты жақшалар элементтердің жазылу ретін көрсету үшін ғана қолданылады. Мұндай нөмірлерінің ретіне қарай орналасқан тізбек ұзындығы реттелген тізбек немесе ұзындығы n болатын кортеж деп аталады. -элемент 1,x2,…,xn> кортежінің і- координатасы деп аталады.
Мысалдар
{a,b,c} және {1,2} жиындарынан ұзындығы 2-ге тең 6 кортеж құруға болады:
(a,1), (a,2), (b,1), (b,2), (c,1), (c,2)
Кез-келген әріптерден құралған сөз кортеж, натурал сандардың ондық жүйедегі жазылуы цифрлардан тұратын кортеж т. б.
Кез-келген координаттары әртүрлі реттелген ақырлы жиын кортеж.Ұзындығы 2-ге тең кортеждер реттелген жұптар, ұзындығы 3-ке тең кортеждер реттелген үштіктер, ұзындығы n-ге реттелген n-діктер деп аталады. Жиындар екі элементпен алу амалының көмегімен төмендегі ережеге сәйкес кодталады.
< >⇋, 1> ⇋x1, 1, x2>⇌{{x1},{x1,x2}}, 1,…,xn>⇌< 1,x2,…,xn>, xn+1 >
Анықтама. Екі кортеж ұзындықтары бірдей, әрі бірдей нөмірлі координаттары тең болса ғана тең болады. Яғни x=(x1,x2,…,xn) , y=(y1,y2,…,yn) кортеждері x1=y1; x2=y2,…xn=yn болғанда ғана тең болады
( x=y ). Мысалы (12, 22 , 32 ) және ( ) кортеждері тең. (1,2,3) және (3,1,2) әртүрлі ; (1,2,3) және (1,2,3,4) әртүрлі; (1,2)(2,1) ал {1,2} және {2,1} жиындары тең. Кортеждердің координаттары жиын, кортеж т. б. болуы мүмкін. Мысалы, ({a,b},c)=({b,a},c) себебі {a,b}={b,a}, ал ( (a,b ), c ) және ( (b,a), c ) кортеждері тең емес, себебі (a,b)(b,a). Бір де бір координаты жоқ кортеж (ұзындығы 0) бос кортеж деп аталады.
Сонымен жиын мен кортеж ұғымдарының айырмашылығы:
а) жиындардың элементтерінің орны, реті бәрі бір, ал кортеждерде элементтерінің ұзындығы бірдей болып элементтерінің реті басқаша болса тең емес (құрамы бірдей болса да);
б) жиында элементтер әртүрлі, кортежде бірдей бола береді.
Анықтама. А және В жиындарының тура( декарт) көбейтіндісі деп элементтері реттелген (х ,у) жұбынан тұратын жиынды айтамыз.Мұндағы, хА, ал уВ. Декарт көбейтіндісі әр түрлі жиын элементтерінен құралады, А В болып белгіленеді: А В = {(х ,у) | хА және уВ}.
жиындары үшін Декарт көбейтіндісі?
= = болады.
Егер A1=A2=…=An=A болса, онда A1хA2х,…,хAn жиыны А жиынының n-ші Декарт дәрежесі деп аталады және Аn болып белгіленеді. Анықтама бойынша A0⇌{}
Мысалдар:
1.A={1,2}, B={3,4} берілсін. AхB={ (1,3),(1,4),(2,3),(2,4) };
BхA={ (3,1),(3,2),(4,1),(4,2) };
AхA={ (1,1),(1,2),(2,1),(2,2) }; Бұл мысалдардан AхBBхA.
2. (Шахмат тақтасы).
A={a,b,c,d,e,f,g,h}; B={1,2,3,4,5,6,7,8} жиындары берілсін. Олай болса әр (х,у) жұбына x,yAхB шахмат тақтасының торлар жиыны сәйкес келеді.
3. [0,1]2 жиыны { (a,b) | 0 a 1, 0 b 1 } ;Бұл жиынға жазықтықтың 1-ден аспайтын теріс емес координаттары бар нүктелер жиыны сәйкес келеді.
4. A={a,b,c}; B={1,2}; AхB={(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2)}; BхA={(1,a),(2,a),(1,b),(2,b),(1,c),(2,c)}; AхB BхA
5. А={1,2,3}; АхА={(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1 ), (3,2), (3,3) };
6. ; ; - жиындарының Декарт көбей-тіндісін табайық. Декарт көбейтіндісінің элементтері әр түрлі жиын элементтерінен алынған жұптардан тұратындығы белгілі.
Оларды кестеге орналастырайық: Бұл кестеде m жол, n бағаннан тұратын элементтер жұбын көреміз. - саны х-элементтерінің жиыны мен ү элементтерінің жиындарының көбейтіндісіне тең. (1)
Бұл жиындарды көбейту ережесі. Егер декарт көбейткіштері n жиыннан тұрса, онда (1) төмендегідей жалпылауға болады:
(2)A х B х C; (A х B) х C; A х (B х C) жиындары да әр түрлі. A х B х C- (a,b,c); (A х B) х C-
((a,b),c ) aA, bB, cC; A х (B х C)=(a, (b,c) ); Егер А,В жиындарының бірі бос болса, олардың Декарт көбейтіндісі де бос деп есептеледі. A х = х A = х = ;
Мысал, А={a1,a2,a3}, B={b1,b2,b3} ; ;
Декарт көбейтінді қарапайым амал емес, себебі
1) АВВА (неге?) – коммутативтік емес
2) (АВ)СА(ВС) – ассоциативтік емес, себебі
L=(AB)C={((a, b), c)/(a, b)AB, cC} – сол жағы
Оң жағы R=A(BC)={(a, (b, c))/aA, (b, c)BC}
Бірақ, декарт көбейтінді дистрибутивті:
А(ВС)=(AB) (AC){, , }. Мысалы: А(ВС) =(АВ)(АС),
А(ВС)=(АВ) (АС)
2. Кардинал дәреже: АВ={f: BA}.
Негізгі қасиеті:
3. Жиындар алгебрасының негізгі заңдары:
АА…А=A, {, }:
a) A…A=A
A…=A идемпотентті (idempotent ion) заңы
б) AB=BA, {, , } – коммутативтік заң,
в) A(BC)=(AB)(AC), , {, , } () – дистрибутивтік заң.
Достарыңызбен бөлісу: |