Инерция моменті. Гюйгенс-Штейнер теоремасы Қатты дененің оське қарағандағы инерция моменті формула бойынша осы денені құраушы эрбір бөлшектің массасы мен бөлшектен оське дейінгі кашықтық квадраты көбейтінділерінің қосындысына тең физикалық шама.
Таңдап алған ось- ке сәйкес инерция моменті тек дене массасына тәуелді емес, сонымен қатар массаның оське салыстырма- лы үлестірілуіне де тәуелді. Мыса- лы, дене бөлшектерін осьтен алыста- та отырып, дене инерция моментін өсіреміз.
Халықаралық бірліктер жүйесін-де инерция моментінің өлшемдігі — кг-м2.
Түтас дененің инерция моментін есептеу үшін оны эуелі жеткілікті кішкентай бөлшектерге бөліп, эр бөлшектің оське дейінгі қашықты- ғын анықтау керек. Содан кейін эр бөлшектің массасын оське дейінгі сол бөлшекке сэйкес қашықтык квадратына көбейтіп, барлық көбейтін- ділерді қосу нәтижесінде толық инер- ция моментін табамыз.
Егер дене массасы үзіліссіз үлес- тірілсе, инерция моментін
І = \г2с/т
интеграл арқылы есептеуге болады. Мұндағы г —масса элементінен
айналу осіне дейінгі кашыктық. Ин- тегралдау дененің бүкіл массасы бо- йыншажүргізілуі керек. Мүндай инте- гралдардың аналитикалык шешулері тек геометриялык пішіндері дүрыс қарапайым денелер үшін ғана мүм- кін. Ал пішіні күрделі денелер үшін интегралды сандық эдістермен есеп- теуге тура келеді.
Көптеген жағдайларда инерция моментін есептеуді жеңілдету үшін Гюйгенс-Штейнер теоремасын, нүк- теге сэйкес инерция моменті түсінігін, массалардың жазык үлестірілуін, т.б. мүмкіндіктерді қолданған колайлы.
Гюйгенс-Штейнер тео- ремасы. Бүл теорема бойынша, кез келген оське салыстырмалы инерция моментін есептеу дененің инерция центрі арқылы өткен оське сәйкес инерция моментін есептеумен айыр- басталады. Гюйгенс-Штейнертеоре- масын былай тұжырымдауға бола- ды: Кез келген оське царагандагы 1 инерция-моменті сол оське параллель және дененің инерция центрі арқылы өткен басқа осъке сәйкес /(| инер- ция моменті мен дененің т толық массасының осътер арасындагы сіқа- иіықтық квадратына көбейтіндісі- нің қосындысына тең:
І = І0+тсІ2. Теореманы дәлелдеу үшін пішіні кез келген денені карастырайык Сурет жазықтығына
перпендикуляр өзара параллель ОО жэне ОО’ екі айналу осін таңдап ала- мыз. Ось ОО оның үстіне дененің инерция центрі арқылы өтеді. Бүған косымша 2 жэне г’ координаталық осьтер ОО жэне 0’0′ айналу осьтері- мен бірдей болатындай кылып, охут. жэне о’х’у’г’ координаталык санак жүйелерін таңдап алайық. Сонда х жэне х’ осьтері дененің инерция центрі арқылы өтеді. Қарастырылып отырған дененің инерция моментін ОО жэне 0’0′ осьтеріне салыстырма- лы анықтасак, ОО карағанда инерция моменті
/о = 2>,2Д/п,- = Х(с2 +уІ)Аті, (6.12)
і=і і=і
ал 0’0′ осіне карағанда —
1 = Х(г7 Ат/ = Х[(‘у + х, У + уЦАт,
і = I 1=1
(6.13)
болады.
Қарапайым түрлендірулерден кейін
мынадай түрге келеді:
7 = Х(х,2 + Уі)Аті +й2^т, + 2(іү^хЛт:.
й 1 /=1 1=1
Қатты дене динамикасы
Соңғы теңдеудің қосылғышта- рын талқылайық. Бірінші қосыл- ғыш, қарағанда, /0-ге тең. Екінші қосылғыш — дене массасы мен екі ось арасындағы қашықтық квадратының көбейтіндісі, яғни тсі 2-қа тең. Үшінші косылғышты былай түрлендірейік:
N2»,Д/я, =2тсі =2тсіх, мұндағы хс — охуг жүйесінде дененің инерция центрінің координаты. ОО осі инерция центрі арқылы өткендіктен хс = 0, демек, соңғы мүше нөлге тең. Сонымен, дәлелдеу керек болған теореманың математикалық өрнегі түріне келеді:
I = І0+ тсі2.
