Жордан – гаусс әдісі

Бұл әдісті қолдану үшін жүйенің матрицасының басшы элементтері немесе диагональ элементтері нөлден өзгеше болуы керек ([11] қараңыз). Егер матрицаның басшы элементтері нөлге тең болса, қандай да бір алмастырулар, ауыстырулар қолдану арқылы нөлден құтылады. Жордан - Гаусс әдісін сондықтан басшы элементті таңдау әдісі деп те атайды. Әдістің негізгі идеясы модулі бойынша ең үлкен элементті басшы элемент деп алып, сол элемент орналасқан жолдағы сәйкес белгісізді жою. Бұл әдіс те тура және кері жолдан тұрады. Келесі жүйе берілсін.

1. 
   (3.15) – жүйенің кеңейтілген матрицасын құрамыз.
   
2. 
   элементтерінің арасынан модулі бойынша ең үлкен
   

3. 
   Барлық мәндері үшін (3.16)
   

4. 
   Әрбір басшы емес жолдан көбейткішіне көбейтілген басшы жол
   

Сонда q-шы бағанның басшы элементтен басқа элементтері нөлге

айналады.

5. 
   q-шы баған және басшы жолды тастап кетіп жаңа М₁ матрица аласыз. Бастапқы матрицаның бағаны мен жол саны азаяды.
   
6. 
   М₁ матрицасына 2-5-ші пункттерді қайталап қолдану арқылы М₂ матрицасын аламыз.
   
7. 
   Осы процессті бір белгісізді бір жолдан тұратын теңдеу қалғанша жалғастырамыз.
   
8. 
   Тастап кеткен басшы жолдардан жаңа жүйе құрастырамыз.
   

Басшы жолдардан құралған матрицаны әлдебір ауыстырулар арқылы үшбұрышты түрге келтіріп, ең соңғы теңдеуден ең соңғы белгісізді, оны қолданып оның алдындағы белгісізді, т.с.с. барлық белгісіздерді кері бағытта анықтаймыз.

Есептеу қадамдарының нәтижелерін 3- кестеге толтыруға болады:

3- кесте . (3.18) – есептің кестелік алгоритмі.

а₄₄=1,2671 басшы элемент болады. 4-жол басшы жол деп аталады.

1. 
   (3.16) - формула көмегімен m_i, i=1,2,3 мәндерін анықтаймыз:
   

2. 
   (3.17) – формула бойынша басшы бағанда орналасқан басшы элементтен өзге элементтерді нөлге айналдырамыз да қалған жаңа элементтерді табамыз:
   

i=1; j=2 болғанда

i=1; j=3 болғанда

i=1; j=4 болғанда

i=1; j=5 болғанда

i=2; j=1 болғанда

i=2; j=2 болғанда

i=2; j=3 болғанда

i=2; j=4 болғанда

i=2; j=5 болғанда

i=3; j=1 болғанда

i=3; j=2 болғанда

i=3; j=3 болғанда

i=3; j=4 болғанда

i=3; j=5 болғанда

3. 
   Жаңа матрицадан модулі бойынша үлкен элементті табамыз: ол - . 3-жолды басшы жол деп аламыз да жаңа көбейткіштерді анықтаймыз:
   

4. 
   2-пункттегі сияқты (3.17) – формула бойынша басшы бағанда орналасқан басшы элементтен өзге элементтерді нөлге айналдырамыз да қалған жаңа элементтерді тауып тағы жаңа матрица құраймыз:
   

5. 
   Осы жаңа матрицадан модулі бойынша үлкені . Тағы көбейткішті есептейміз: .
   
6. 
   2-пункттегі сияқты (3.17) – формула бойынша басшы бағанда орналасқан басшы элементтен өзге элементтерді нөлге айналдырамыз да қалған жаңа элементтерді тауып тағы жаңа матрица құраймыз:
   

Кесте да қоршалған басшы элементтер орналасқан жолдардан жүйе құрамыз:

X₁=1.04059

X₂=0.98697

X₃=0.93505

X₄=0.88130.