Конспект лекций Модуль Механика
жүктеу/скачать 1,17 Mb. Pdf көрінісі
|
1 физика- механика
- Бұл бет үшін навигация:
- 1.2. Траектория, длина пути, вектор перемещения
- 1.4. Ускорение и его составляющие
- 1.5. Поступательное движение твердого тела
- II. Динамика материальной точки и поступательного
| 10
Конспект лекций
Механика – раздел физики, в котором изучаются закономерности механического движения и причины, вызвавшие или изменившие его. Механическое движение состоит в изменении с течением времени взаимного расположения тел или их частей. В классической механике рассматривается движение макроскопических тел со скоростями, много меньшими скорости света (с) в вакууме. Законы движения макроскопических тел со скоростями, сравнимыми со скоростью c , изучаются
атомов и элементарных частиц) применяются законы квантовой механики. Механика состоит из трех разделов: статики, кинематики и динамики. Мы ограничимся изучением только кинематики и динамики. I. Кинематика Кинематика – раздел механики, рассматривающий закономерности движения тел вне зависимости от причин, вызывающих или изменяющих его. Всякое перемещение твердого тела можно представить как комбинацию поступательного и вращательного движений. Поступательным называется движение, при котором любая прямая, жестко связанная с перемещающимся телом, остается параллельной своему первоначальному положению. При вращательном движении все точки тела описывают окружности, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения. Тела существуют и движутся в пространстве и во времени. Произвольно выбранное тело, относительно которого определяется положение других тел, называется телом отсчета. Совокупность тела отсчета, связанной с ним системы координат и часов, представляет собой
Рис.1.1 Материальной точкой называется тело, размерами и формой которого можно пренебречь в данной задаче. В декартовой системе координат (рис.1.1) положение материальной точки
в определенный момент времени, задается тремя координатами z y x , , или радиус-вектором r , проведенным из начала координат О в
данную точку А . При движении точки ее координаты изменяются с течением времени. Кинематические уравнения движения
) (
( ), ( t z z t y y t x x (1.1.1) или в векторной форме: ). (t r r (1.1.2) 1.2. Траектория, длина пути, вектор перемещения Линия, описываемая движущейся материальной точкой относительно выбранной системы отсчета, называется траекторией ее движения. В зависимости от формы траектории различают прямолинейное и криволинейное движения.
Рис.1.2
Рассмотрим движение материальной точки
вдоль траектории AB (рис.1.2). Длина криволинейного участка AB называется длиной пути
. Это скалярная величина, являющаяся функцией времени ) (t S S . Вектор
в положение ее B в данный момент времени, называется
11
вектором перемещения. Это приращение радиус-вектора точки за время t . . 1 2 r r r При прямолинейном движении в одном направлении вектор перемещения совпадает с соответствующим участком траектории и модуль перемещения равен пройденному пути S :
S r . (1.1.3) Единица перемещения - м . 1.3. Скорость Скорость – это векторная величина, определяющая быстроту и направление движения точки в данный момент времени. Средняя скорость точки за время t определяется отношением длины пути S к
промежутку времени t : . / , s m t S (1. 1.4) Единица скорости - с м .
за время t определяется отношением приращения радиус-вектора точки r к промежутку времени t :
. t r (1. 1.4) Единица скорости - с м . Мгновенная скорость (скорость) – векторная величина, равная первой производной по времени от радиус-вектора
0 lim . (1. 1.5) Вектор
направлен по касательной к траектории точки в сторону ее движения. Модуль скорости определяется выражением: . lim
lim 0 0 dt dS t S t r t r im t o t t (1.1.6)
Откуда
, (1.1.7) 2 1 0 t t S dt dS S . (1.1.8) При равномерном движении ( const ) формула пути имеет вид: t S . (1.1.9)
материальной точки по модулю и направлению. 12
Вектор среднего ускорения точки a за время t определяется отношением изменения скорости к промежутку времени t :
. t а (1.1.10) Единица ускорения - 2
м . Мгновенное ускорение (ускорение) – векторная величина, равная первой производной по времени от скорости точки или второй производной по времени от ее радиус-вектора: . lim
2 2 0 dt r d dt d t a t (1.1.11) С учетом (1.1.6) модуль ускорения равен 2 2 dt S d dt d a
(1.1.12) . / 3 ; / 14 ; 5 ; ) ( 2 2
m C s m B m A where Ct Bt A t S
. 2 ) ( Ct B dt dS t . / 6 2 2 s m C dt d a
Движение с постоянным ускорением ( const a ) называется равнопеременным (равноускоренным, если 0 a , и равнозамедленным, если 0
). Обозначим скорость в начальный момент времени ( o t ) через 0 . Тогда из зависимости (1.1.11) .
a d dt d a
t t d a d 0 0 можно определить закон скорости при равнопеременном движении:
0 (1.1.13) Подставив (1.1.13) в (1.1.8), получим:
2 )
2 0 0 0 0
a t t d t a t d S t t . (1.1.14) Направление вектора
. Поэтому при прямолинейном ускоренном движении направление вектора
совпадает с направлением вектора
, а при замедленном движении противоположно ему. Рис.1.3
При криволинейном движении (рис.1.3) вектор
, так же как и вектор
, направлен в сторону вогнутости траектории. Удобно разложить вектор
на две компоненты (рис.1.4):
Рис.1.4
тангенциальную ( a ) в направлении вектора и нормальную (
a ), перпендикулярно ему, так, чтобы .
a a a n (1.1.15) Тангенциальное ускорение характеризует быстроту изменения величины скорости ), ( dt d a нормальное – быстроту изменения направления вектора скорости. Можно показать, что модуль нормального ускорения при равномерном вращении точки по окружности радиуса R определяется формулой 13
. 2
a n (1.1.16) Модуль полного ускорения точки равен: . R dt d a 2 2 2 (1.1.17) Сопряженная окружность-окружность, часть которой совпадает с траекторией вблизи некоторой точки. Радиус кривизны траектории – радиус сопряженной окружности: . 2
a R Значения составляющих ускорения при различных видах поступательного движения точки приведены в табл.1.1. Таблица 1.1 Движение Тангенциальное ускорение
Нормальное ускорение
Равномерное прямолинейное 0
Равнопеременное прямолинейное const a a
0 Равномерное вращение 0
const a a n Равнопеременное криволинейное const 0 1.5. Поступательное движение твердого тела При поступательном движении твердого тела все его точки тела имеют одинаковые (совпадающие при наложении) траектории, одинаковые по численному значению и направлению скорости и ускорения. Поэтому рассмотренные выше кинематические характеристики материальной точки целиком и полностью применимы к поступательному движению твердого тела. 1.6. Кинематика вращательного движения При описании вращательного движения удобно пользоваться полярными координатами R и
- полярный угол (угол поворота). Угловое перемещение – аксиальный скользящий вектор, модуль которого равен углу поворота, направление определяется правилом правого винта, а модуль равен углу поворота. При малых углах поворота
. R S (1.1.18) Угловая скорость: t d d , (1.1.19) Рис.1.5
Угловое ускорение: . 2 2 dt d dt d (1.1.20) Единицы углового перемещения, угловой скорости и углового ускорения - 2 , , с рад с рад рад . Векторы
и лежат на оси вращения. Направление вектора совпадает с направлением вектора d . Вектор
при ускоренном движении и противоположен ему при замедленном (рис.1.5). В случае равнопеременного вращения тела ( сonst ) из (1.1.20) t dt d 0 0
получаем закон скорости: t 0
(1.1.21)
14
Подставив (1.1.21) в (1.1.19), получим: . 2 ) ( 2 0 0 0 t t dt t dt t (1.1.22) Установим связь между линейными и угловыми кинематическими характеристиками точки. Если за время t точка A описала дугу S (рис.1.6), то модуль ее линейной скорости (с учетом (1.1.3) и (1.1.18)) равен: . lim lim lim
0 0 0
t R t R t S t t t (1.1.23)
Рис.1.6
В векторном виде последняя формула имеет вид: r . (1.1.24) Тангенциальное ускорение
:
R dt d dt d a ) ( или
a . (1.1.25) Нормальное ускорение
2 2 или
a n 2 . (1.1.26) В табл. 1.2 приведены кинематические характеристики тела при поступательном и вращательном движениях. Таблица 1.2 Поступательное Движение Вращательное Движение Связь между характеристиками Радиус-вектор
Угол поворота
Вектор перемещения
Вектор углового перемещения d
Длина пути dS
Длина пути dS
d R dS Скорость dt r d
Угловая скорость t d d
r Ускорение 2 2
r d dt d a a a a n
Угловое ускорение 2 2
d dt d
Тангенц. ускорение dt d a
a
r a Нормальное ускорение
2
R a n 2
a n 2
движения твёрдого тела Динамика – раздел механики, изучающий законы движения тел и причины, вызывающие или изменяющие эти движения. 15
жүктеу/скачать 1,17 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|