Өте аз үйкеліс кезіндегі сұйықтықтар қозғалысы туралы

жүктеу/скачать 0,6 Mb.

бет	1/2
Дата	02.02.2023
өлшемі	0,6 Mb.
	#167128

1 2

Байланысты:
Оспан Дастан МӨЖ5

Кіріспе
1904 жылы неміс ғалымы Л. Прандтль "өте аз үйкеліс кезіндегі сұйықтықтар қозғалысы туралы" еңбегін жариялады, онда ол мыналарға назар аударды қатты дененің ағуы тұтқырлық күштерінің әсері тек жіңішке шекара қабатының аймақтарында маңызды болуы мүмкін және одан тыс жерлерде оны елемеуге болады. Басқаша айтқанда, ол сұйықтықтың бүкіл ағынын екіге бөлді: сыртқы ағын және шекаралық қабат. Сыртқы ағын үшін идеалды қозғалыс теориясы қолданылады (яғни Эйлер теңдеулері). Шекаралық қабат үшін Навье-Стокс теңдеулерін қолданамыз.
Шекаралық қабат-бұл тұтқыр, төмен қалыңдықтағы жылу өткізгіш сұйықтықтың (оның бойлық өлшемдерімен салыстырғанда) ағынының аймағы және үлкен көлденең градиент, оның өзгеруі сұйықтың қозғалыс мөлшерін, жылуды беру процесіне байланысты. Қозғалыс мөлшерінің көлденең тасымалдануы жүзеге асырылатын жылдамдықтың бойлық компонентінің үлкен көлденең градиентімен сипатталатын шекаралық қабат динамикалық деп аталады.
Шекаралық қабат жылдамдықтың (динамикалық) немесе температураның (жылу немесе температура.) немесе жеке химиялық компоненттердің концентрациясының (диффузиялық немесе концентрациялық) күрт өзгеруімен сипатталады. Негізгі әсер тұтқырлық, жылу өткізгіштік және сұйықтықтың (газдың) диффузиялық қабілеті болып табылады. Динамикалық шекаралық қабат ішінде жылдамдық оның сыртқы ағындағы мәнінен қабырғадағы нөлге дейін біртіндеп өзгереді (тұтқыр сұйықтықтың қатты бетке жабысуына байланысты). Сол сияқты, шекаралық қабат ішінде температура мен концентрация біртіндеп өзгереді.
Динамикалық шекаралық қабатта ағын режимі Рейнольдс санына байланысты және ламинарлы немесе турбулентті болуы мүмкін. Ламинарлық режимде сұйықтықтың (газдың) жекелеген бөлшектері пішіні жеңілдетілген дененің пішініне немесе екі сұйық (газ тәрізді) орта арасындағы шартты интерфейске жақын траекториялар бойынша қозғалады. Шекаралық қабат турбулентті режимде сұйықтық бөлшектерінің негізгі ағын бағытындағы орташа қозғалысына жеке сұйық конгломераттардың хаотикалық, пульсациялық қозғалысы қолданылады. Нәтижесінде қозғалыс мөлшерінің берілу қарқындылығы, сондай - ақ жылу және масса алмасу процестері күрт артады, бұл беттік үйкеліс, жылу және масса алмасу коэффициентінің жоғарылауына әкеледі. Рейнольдс критикалық санының мәні, онда шекаралық қабат ламинарлы ағынның турбулентті ағынға ауысуы, жеңілдетілген беттің кедір-бұдыр дәрежесіне, сыртқы ағынның турбуленттілік деңгейіне, М Мах санына және кейбір басқа факторларға байланысты. Бұл жағдайда ламинарлы ағын режимінің Рейнольдс санының жоғарылауымен турбулентті режимге ауысуы кенеттен емес, ауыспалы ламинарлы және турбулентті режимдер ауысатын өтпелі аймақ болады.
Жылулық шекаралық қабат дамуы Рейнольдс санынан басқа, сонымен қатар динамикалық және жылулық шекаралық қабат қалыңдығының арақатынасын сипаттайтын санмен анықталады. Тиісінше, диффузиялық шекаралық қабат дамуына Прандтльдің немесе Шмидттің диффузиялық саны қосымша әсер етеді.
Газдың сыртқы ағынының үлкен жылдамдықтарында шекаралық қабат молекулалардың кинетикалық энергиясы жылу энергиясына ауысады, нәтижесінде газдың жергілікті температурасы жоғарылайды. Жылу оқшауланған бет жағдайында газдың температурасы шекаралық қабат тежеу температурасына жақындайды.

«Дәрежелік» сұйықтардың шекаралық қабат теңдеулері

Реологиялық дәрежелік заңға және Фурье заңына бағынатын және интенсивтілігі аз жылу алмасуды қарастырып көрейік:

(1.1)

(1.2)

(1.2) –теңдеу Фурье заңы деп аталады.

Энергияның диссипациясы мен массалық күштерді ескермейміз, ал сұйықтың физикалық сипаттамалары тұрақты деп аламыз. Екі өлшемді ағысты ғана қарастырамыз. Бұл жағдайда импульс, үзіліссіздік және энергия теңдеулері мына түрде жазылады (декарттық координата жүйесінде):

(1.3)
(1.4)
(1.5)

(1.1) сәйкес үйкеліс кернеуінің компоненттері:

(1.6)
мұндағы

(1.7)

Шекаралық қабат теңдеулерін алу үшін екі өлшемсіз комплексті шама енгізейік:

(1.8)

жалпыланған Рейнольдс саны және

(1.9)

жалпыланған Прандтль саны.

(1.3), (1.9) теңдеулерінде және - сәйкесінше х және у бағыттарындағы жылдамдық векторының компоненттері, - температураөткізгіштік коэффициенті, U және L – жылдамдық пен ұзындықтың масштабтары, - Пекле саны.
(1.3), (1.7) теңдеулеріндегі өлшемсіз айнымалыларға жазайық:

(1.10)

Бұл кезде:

(1.11)

(1.12)

(1.3), (1.5) теңдеулері жаңа айнымалылармен (өлшемсіз айнымалылардың үстіндегі сызықшалар түсіп қалады) мынадай түрге енеді:

(1.13)

Соңғы өрнектердегі В шамасы мына теңдіктен анықталады:

(1.14)
(1.14) теңдеуінің құрамына коэффициент ретінде әртүрлі дәрежедегі шамасы кіреді. Re деп санап, осы теңдеудің әрбір мүшесін бағалап шығайық. Бұл жағдайда В шамасы:

(1.3), (1.5) теңдеулері мына түрге келеді:

Re шарты орындалғанда бұл теңдеулер мынадай түрге түрленеді:

(1.15)

(1.10) өрнегінде, Рейнольдс санының үлкен мәндерінде өлшемсіз шамасының шекті мәндеріне у өлшемді координатасының кіші мәндеріне сәйкес. Жылдамдықтың көлденең компоненттері және 𝜈-де болады. Соған орай (1.15) теңдеулері сұйықтың жұқа қабатындағы нөлдік ток сызығының маңайындағы қозғалысты сипаттайды. Бұл облыста 𝜈 , сондықтан мұндай облысты реологиялық дәрежелік заңға бағынатын сұйықтардың шекаралық қабаты деп атайды.
(1.15) теңдеуді өлшемі бар айнымалылармен жазатын болсақ:

(1.16)

Рейнольдс саны ньютондық сұйықтардың гидродинамикасындағыдай мағынаға ие болады. Сонда күштердің қатынасы:

(1.17)
1.2 Шекаралық шарттар
Енді шекаралық шартты асимптотикалық деп қарастырамыз. Егер қозғалмайтын қатты бет бойынша, сырғанау жоқ кездегі сұйық ағысын қарастыратын болсақ, онда жабысудың мынадай классикалық шарттары орындалуы тиіс:
(1.18)
Қозғалыстағы өткізгіш бет жағдайында шекаралық шарттар өзгеше болады:
(1.19)
Шекаралық қабаттың сыртқы шекарасындағы (y→∞болғанда) шекаралық шарттарға жүгінейік. Шекаралық шарттың физикалық идеясы, жоғарыда атап өтілгендей, тұтқырлық күштерінің әсері қатты бетке жақын маңайдағы немесе сұйық ішіндегі жұқа облыста байқалатындығына негізделген. Одан тысқары ауданда қозғалыстағы сұйықты идеал деп санауға болады. Егер жылдамдықтың нормаль құраушысы қабаттың кез келген нүктесінде бойлық құраушыдан анағұрлым аз болса, онда шекаралық қабат бар деп есептеледі.
Шекаралық қабаттың сыртқы шекарасында идеал сұйық теңдеулері орындалады, мұндағы шамасын ескермеуге болады:
(1.20)
(U – шекаралық қабаттың сыртқы шекарасындағы жылдамдық). (1.20) теңдеуге кіретін U(x,t) жылдамдықтың құраушысы жылдамдықтың бойлық құраушысының бастапқы шекаралық мәні болып табылады:
(1.21)
U(x,t) функциясының түрі денені идеал тұтқыр емес, құйынсыз сұйықтың орағытып ағуы жөніндегі есептің шешімі арқылы табылады. Егер шекралық қабаттың сыртқы ағынға қайтымды әсерін ескермесек, жоғарыдағы тұжырым орындалады. Егер бұл әсер аз болмаса, онда (1.20) теңдеуін шешу үшін орай ағып жатқан дененің бетіндегі тәжірибелік тұрғыдан өлшенген қысымның таралуын қолдануға болады, өйткені, шекаралық қабаттың сыртқы қабатында (1.17) теңдеулер жүйесінің екінші теңдеуінің көмегімен ол өзінің түрін сақтайды. Цилиндрді псевдопластикалық сұйықтардың орай ағуы бойынша
жасалған тәжірибелер өлшенген және теориялық қысымның таралуының арасында 60◦C – қа дейін сәйкестік болатындығын көрсетті. Бұл – псевдопластика-лық сұйықтардың сыртқы ағынға кері әсері туралы болжам ньютондық сұйықтармен бірдей дәрежеде орындалатын-дығының белгісі. Осы кезде жанама жолмен шекаралық қабаттың сыртқы қабатында идеал сұйық теңдеулерін қолдану мүмкіндігі расталады.
Динамикалық шекаралық қабаттың шекаралық есебін нақты өрнектеу үшін x=x0 бастапқы қимада жылдамдық-тың көлденең құраушысының:
(1.22)
сонымен қатар t=t0 уақыт мезетіндегі мәнін беру керек:
(1.23)
Энергия теңдеуі үшін бастапқы және шекаралық шарттарды қарастырайық. Орағытып ағып жатқан дененің бетінде тек тұрақты және айнымалы температуралар ғана емес, сонымен бірге жылу ағыны да болуы мүмкін:
(1.24)
Жылулық шекаралық қабаттың сыртқы шекарасында температура тұрақты немесе қалауымызша алынған заң бойынша берілуі мүмкін:
(1.25)
Бастапқы қимадағы x=x0 және t=t0 бастапқы уақыт мезетіндегі температураның профилін де көрсеткен жөн:
(1.26)
1.3 Температуралық шекаралық қабаттағы жылуалмасу
Жылуды өткізбейтін клиннің бетіндегі температура таралуын қарастырайық. Үзіліссіздік теңдеулерінен:

Шекаралық шарттарды қамтысақ,
(1.27)
Қарапайым жолмен энтальпияның ағын шығынының интегралдық сақталу шарттарын таптық:
(1.28)
Бұл теңдеуге u шамасының мәнін және

өрнегінен ΔТ шамасының мәнін қойсақ:
(1.29)
Жоғарыда көрсетілгендей, кезде сол себептен соңғы теңдеуден:
(1.30)
Алынған γ тұрақтысының мәні

өрнегінде қарапайым интегралдық түрге келеді:
(1.31)
Оған сәйкесінше шекаралық шарттар:
(1.32)
Олар (1.27) өрнегінен туындайды. Функция:
(1.33)
(1.31) теңдеуінің жалпы шешімі болып табылады.
Шешімнің жалпылығын азайтпай, С3=1 деп алып, себебі бұл тұрақты Г тұрақтысына қосылуы мүмкін, ал ол температураға арналған

өрнекте қолданылады. θ (∞)=0 шарты, кез-келген С4 мәнінде орындалады, ал θ`(0) =0 шартынан С4=0 екені шығады. Осыған орай, біздің функциямыз:
(1.34)
(1.30) теңсіздігімен бірге бұл теңдеу бұрышымен жылуөткізбейтін клиннің бетіндегі шекаралық қабаттың температуралық өрісін сипаттайды әрі есептерінің шешімін анықтайды.
1 – суретте температура профильдерінің Pr және n параметрлеріне тәуелділігі көрсетілген. Бұл тәуелділік бір анықталған температураға ие клиннің шекаралық қабатындағыдай сапалы.

1– сурет. Клиннің жылуөткізбейтін бетінде шекаралық қабатындағы температуралар таралуы ( Pr2› Pr1)

Температура өрісінің Pr және n параметрлерінен тәуелділігі өзінің күшін және жоғарыда γ=0, γ=-2/3 шамалары үшін анықталған сапалы шешімдерін сақтайды. Теріс градиент кезінде, (γ<0) температура профильдері γ шамасының бір мәнінен бастап жартылай болып, кейіннен S- тәріздеске ауысады.

Жылулық шекаралық қабаттың қалыңдығы мына өрнекпен анықталады:
(1.35)

2–сурет. Изотермиялық емес клиннің бетіндегі температура профильдері (γ≠0).

δ секілді жылулық шекаралық қабаттың қалыңдығы реологиялық көрсеткішке тәуелсіз δт ≈ . Сандық есептеулердің нәтижесінде, δт/ δ қатынасы мына теңдікте аса дәлдікпен көрсетіледі:
(1.36)
δт/δ қатынасының псевдопластикалық сұйықтықтар үшін жалпылама Прандтль санына тәуелділігі тәжірибе жүзінде дәл ньютондық сұйықтықтар секілді.
Қабырғадағы жылулық ағынның тығыздығын есептелік:
(1.37)
Жылу берудің локальді коэффициенті:
(1.38)
Нуссельт санының локальді мәні:
(1.39)
Бұл жерде А ны өрнегіне алмастырсақ,
(1.40)
Бұл жердегі θ`(0) = θ`( γ, Pr, n). γ=0 кезінде θ(0) жоғары есептелген.

жүктеу/скачать 0,6 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 2