Функциялары орындалады және барлық тригонометриялық формулалар орындалады



Дата01.08.2020
өлшемі1.51 Mb.

;

функциялары орындалады және барлық тригонометриялық формулалар орындалады:



; и т.д.

Гиперболалық функциялар нақты аргументтің функциялары тәрізді анықталады:



;

.

Бұлар тригонометриялық функциялармен былай байланысады:



; ;

; ;

; ;

; ;

(өздерің тексеріңдер).



50. функциялары сәйкес , , , функцияларына кері функциялар ретінде анықталады, және де олардың бәрі де көп мәнді функциялар.

Дәлелдеңдер: , , , .
§14.2 Комплекс айнымалылы функцияның туындысы
Z облысының бір мәнді функциясын қарастырамыз.

Анықтама. Егер

(2)

ақырлы шегі бар болса, онда ол шек функциясының туындысы деп аталады және былай белгіленеді:

Бұл шек ∆ z -тің нөлге қалай ұмтылғанына тәуелсіз.



Анықтама. Z облысының нүктесінде үзіліссіз туындысы бар функциясы осы облыстың аналитикалық функциясы деп аталады.

Шектің қасиеттері негізінде туындының негізгі қасиеттері шығады.



Қасиеттері:

  1. ,

  2. ,

  3. .

  4. Егер күрделі функция түрінде берілсе, мұнда - комплекс айнымалы функция, және туындылары мен бар болса, онда мына формула орынды:

.
14.2.Функциялардың туындыларының кестесі. 1. , мұндағы n – бүтін сан. Туындысын табамыз, ол үшін функцияның өсімшесін анықтаймыз:



.

Сонда туынды мынаған тең:



Көрсеткіштік және тригонометриялық функцияларды қарастырамыз:

;

;

.

Бұл қатарлар z-ң кез келген мәндерінде жинақты, . Осының негізінде бұл қатарларды дифференциалдауға болады.



.

Оң бөлігі Маклорен қатарына дәл келеді ( -ң жіктелуі).)

.

Осы тәрізді қалған қатарларды да дифференциалдаймыз:



3.

; яғни .

4.

; яғни .

5. .

6. .

.

7.,

; , ,

(өздерің табыңдар).


14.2.2 Нөлге тең емес туындының геометриялық кескіні. Комплекс сандар жазықтығын және оның Z нүктесін қарастырамыз.

z+z

y
0 x

Z облысының басқа z+z нүктесін аламыз. w=f(z) – функциясы осы Z жазықтығын басқа бір W жазықтығына бейнелейді, яғни z нүктесін → w нүктесіне,

z+∆z нүктесін → w+∆w- нүктесіне көшіреді.




v

w+w

w W

0 u

Туындысын қарастырамыз:

.

Шектер туралы негізгі теоремалар бойынша:





ақырсыз аз шама.

; ;

- функция өсімшесінің бас мәні.

туындысын көрсеткіштік функция түрінде береміз:

f ′(z)=rei.

Бас мәнінің берілуінен мынаны аламыз:



w ≈ r∙ei(φ+).

Функцияның өсімшесінің аргументі сол және кейбір бұрышы, ал ол z-ң аргументі болып табылады: .

Анықтама. Егер Z облысының барлық нүктелерінде нөлден өзге үзіліссіз туындысы бар болса, онда бейнелеу конформдық деп аталады. Бұл бейнелеуде екі жатық қисық арасындағы бұрыш өзгермейді.

w=f(z) аналитикалық функциясы жәрдемімен орындалған бейнелеу конформдық болып табылады.


y

F2

F1

z



  1. x

v

F2
F1


w




  1. u






Достарыңызбен бөлісу:




©engime.org 2020
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет